导数常见题型方法总结

1、导数题型总结例1：设函数y f(x)在区间D上的导数为f (x), f (x)在区间D上的导数为g(x)，假设在区间D上,g(x) 0恒成立，那么称函数y f(x)在区间D上为“凸函数，实数m是常数，f(x)x4 mx3 3x1 212 6 2(1 )假设y f (x)在区间0,3上为“凸函数，求m的取值范围;a的最大值4 x3 mx3x例 2:设函数 f (x)- x3 2ax2 3a2x b(0 a32x mx解:由函数f (x)得 f (x)3x g(x)126232(1)y f (x)在区间0,3上为“凸函数，那么 g(x) x2mx30在区间0,3上恒成立(2)假设对满足 m 2的任

2、何一个实数 m，函数f (x)在区间a,b上都为“凸函数，求b解法一：从 二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x) 02小x mx 33解法二：别离变量法：t当 x 0时，g(x)当 0 x 3 时,g(x)2x mx 330恒成立，2x mx 30恒成立等价于mx2 3x 3的最大值x0x3 )恒成立,3而 h(x) x ( 0x那么等价于当m 2时g(x)2x mx 30恒成立x 3)是增函数，贝U h max (x)h(3) 2/当m 2时f (x)在区间a,b上都为“凸函数变更主元法再等价于F(m) mx x2 3 0在m33002恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)1 x 11

3、,b R)a恒成立，求a的取值范围x 3a x a令f (x)0,得f (x)的单调递增区间为(a,3 a)令f (x)0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，8)和(3a, +)3 3 当x=a时，f (x)极小值= a b；4(n)由I f (x)| wa,得：对任意的当 x=3a时，f (x) 极大值=bx 2aV0a1, a 1 a即定义域在对称轴的右边，g(x)2g(x) x4ax3a；2 在a 1,a g(x)maxg(a2)2a 1.g(x)ming(a1)4a 4.于是，对任意xa 1,ag(a 2)4a4a4a,解得4g(a 1)2a1a5那么等价于g(x)这个a 1,a2,

4、 a函数gmax(X)gmin (x)2a (放缩法)4axg(x)3a2 a恒成立x24 ax3a2的对点评:例3:(I)(n)(出)解:a这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。2上是增函数.2，不等式恒成立，等价于1.重视二次函数区间最值求法：对称轴2 ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为函数f(x) x3求a,b的值;当x当xf (x)的值域;1.4时，求1.4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数tf/(1)3,解得 ab 1 ab/ 2f (x) 3x2ax 的取值范围。4又 0 a 1, a 1 -5(重视单调区间)与定义域的关系3，g(x)(9分)")由

5、(I)知， f(x)在1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2, 4上单调递减又 f( 1)4, f(0)0, f(2)4, f (4)16 f(x)的值域是4,16t 2(川)令 h(x) f (x) g(x)-x2 (t 1)x 3 x 1,4思路1 ：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0，即t(x22x) 2x 6别离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f'(x)0或f '(x) 0在给定区间上恒成立，回归根底题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求

6、的增或减区 间的子集；做题时一定要看清楚“在(m , n )上是减函数与“函数的单调减区间是(a , b )，要弄清楚两句话的 区别：前者是后者的子集13a 12例 4: a R，函数 f(x) xx (4a l)x .12 2(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(n)如果函数 f (x)是(，1 2解：f (x) x (a 1)x(4a4(I)： f (x)是偶函数，a 1.令 f (x)0 ,解得：x 2 3.)上的单调函数，求a的取值范围.1).1 3此时 f (x)x3 3x , f (x)12列表如下:x(,2 J3 )2 73(2丟,2 J3

7、)2吴(2 */3，+ g )f (x)+00+f (x)递增极大值递减极小值递增可知：f(x)的极大值为f( 2 3) 4 3 , f (x)的极小值为f(2 3)4 3.(n)：函数f (x)是(，)上的单调函数，二 f (x) x2 (a41)x(4 a1)那么(a 1)2414(4 a1)综上，a的取值范围是a0a2.0 ,在给定区间R上恒成立判别式法2a 2a 0,解得：0 a 2.1 3 1 2例 5、函数 f (x) x3(2 a)x2(1 a)x(a 0).32(I )求f (x)的单调区间；(II )假设f (x)在0,1上单调递增，求a的取值范围。子集思想 解：(I)f (

8、x)x(2a)x1 a (x1)(x 1a).1 、当a0时，f(x)(x1)0恒成立，当且仅当x 1时取“=号，f(x)在(，)单调递增。2 、当a 0时，由 f (x) 0,得X11,X2a 1,且人x?,单调增区间：(，1),(a1,) 单调增区间：(1,a1)(II )当f (x)在0,1上单调递增，贝U 0,1是上述增区间的子集：1、 a 0时，f (x)在(，)单调递增 符合题意2、0,1 a 1, a 10 a 1 综上，a的取值范围是0, 1。2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图(即解导数

9、不等式)和“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增还是“先减后增再减；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可。例6、函数f(x) lx3 也 x2，g(x) - kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数.3 23(1) 求实数k的取值范围；(2) 假设函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意 f (x) x2 (k 1)x / f(x)在区间(2, f (x) x2 (k 1)x0在区间(2,即k 1 x恒成立，又(2)设 h(x) f(X)h (x) x2令 h (x)

10、 I 当 当x 2, k 13X (k ' g(x)32k (x k)(x 1)上恒成立2，故k1)x2 kx)上为增函数，(别离变量法)1 k的取值范围为k 13，(k 1)x0得x k或x 1由(1 )知k 1 ,1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在r上递增，显然不合题意1时，h(x), h (x)随x的变化情况如下表：x(,k)k(k,1)1(1, ) |h(x)0一r 0h(x)/极大值.3. 2.kk1623极小值k 12/0 ,欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点,由于即方程h(x) 0有三个不同的实根，故1 20,即(k 1)(k2 2k 2)32k

11、，解得k 1 灵2 0综上，所求k的取值范围为k 1根的个数知道，局部根可求或。312例7、函数f(x) ax3 x22(1)假设x 1是f (x)的极值点且2x cf(x)的图像过原点，求f (x)的极值;1 2(2)假设g(x)bx x d，在(1)的条件下，是否存在实数 b，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的2图像恒有含x1的三个不同交点？假设存在，求出实数b的取值范围；否那么说明理由。解：(1) v f(x)的图像过原点，贝U f (0)0 c 0 f (x) 3ax2 x 2,又v x 1是f (x)的极值点，贝U f ( 1) 3a 120 af (x) 3x2 x 2(3x

12、 2)(x 1) 03 2 22f极大值(x) f( 1)3f小值(x) f(?石1的三个不同交点,(2)设函数g(x)的图像与函数f (x)的图像恒存在含 x1等价于f(x) g(x)有含x 1的三个根，即：f( 1) g( 1) d (b 1)23 1 2121x x 2x bx x (b 1)整理得：2 2 211即：x3(b 1)x2 x (b 1) 0恒有含x 1的三个不等实根223 121h(x) x (b 1)x x (b 1)0 有含 x 1 的根，2 2那么h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，322XXX1(b 1)x221x 尹 1) 0X2(

13、x 1)丄(b 1)x2 x (b 1)02 2x2(x1) 2(b1)x2 2x(b1)十字相乘法分解：x2(x 1)i(b1)x(b 1) x100AA(x 1) x2-(b 1)x -(b 1)02231x(b21)x2X1(b1)等价于x21尹1)x2(b1)4(b 1)2441(b1)(1)21(b1)2(b1)0恒有含x 1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。0b (, 1)( 1,3)(3,0题2切线的条数问题，即以切点x0为未知数的方程的根的个数32例7、函数f(x) ax bx cx在点Xo处取得极小值一4,使其导数f '(x)0的x的取值范围为(1,3)，求

14、：(1) f (X)的解析式；(2)假设过点P( 1,m)可作曲线y f (x)的三条切线，求实数 m的取 值范围.(1)由题意得：f'(x) 3ax2 2bx c 3a (x 1)(x 3),( a 0)f'(3)27 a 6b c 0 在(，1)上 f '(x)0 ；在(1,3)上 f '(x)0 ；在(3,)上 f '(x)0a1由联立得：b6 , - f(x)32x 6x 9xc9因此f (x)在X0 1处取得极小值4- a b c4，f'(1) 3a 2b c 0 ,(2)设切点Q'(t, f (t), y f (t)f'

15、;(t)(x t)y(23t 12t 9)(x t)(t3 6t2 9t)(3t212t 9)x t(3t212t9) t(t2 6t9)(3t2212t 9)x t(2t6t)过(1,m)m (3t2312t 9)( 1) 2t6t2g(t)2t322t 12t 9 m0令g'(t)2 26t 6t 126(tt 2)0,求得：t1,t2，方程 g(t)0有三个根。需：g(1) 02 3 12 9 m 0m16g(2')0 16 1224 9 m 0m11故：11 m16 ;因此所求实数m的i范围为：(11,16)题3f(x)在给定区间上的极值点个数那么有导函数=0的根的个数

16、解法：根分布或判别式法例8、函数/(工)=yx3 -文(m +3)/ + (皿+6)乱(I )当肌=4时,求函数只灯的单调区间;(H )假设函数y-/(x)在区间(I, + R )上有两个极值点,求实数肌的取值范圈.解：函数的定义域为 R (I)当f (x) = x 7x+ 10,令 f(X) 令f (x)0 ,解得2x5m= 4 时，f (x) = 3x3 7x2 + iox,0 ,解得x 5,或x 2.可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和(5,+)，单调递减区间为2,52(n) f (x) = x ( m+ 3)x+ 耐 6,要使函数y= f (x)在(1,+)有两个极值点， f (

17、x) = x ( m3)x + m+ 6=0的根在(1, +)4解: (1) f (x) ax2 x x(ax 1)解得m> 3(a R,a 0) (1 )求 f (x)的a的取值范围.当a0 时，令 f'(x)0解得x1 '或x 0 ,令f (x) 0解得1x 0,aa所以f (x)的递增区间为(1,丄)(0,1)，递减区间为(丄,0).aa1,0)(,当a0时，同理可得1f (x)的递增区间为(0,)，递减区间为(aa(2) g(x)1 4 a 3 xxx2有且仅有3个极值点432g(x)32x ax x2 2x(x ax 1) =0 有 3 个根，那么 x 0 或

18、x ax10 , a方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2 或 a 2而当a 2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点其它例题：).21、(最值问题与主元变更法的例子)32.定义在R上的函数f(x) ax2axb (a0)在区间2,1上的最大值是5,最小值是11.(I)求函数f (x)的解析式；(n)假设t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围 解：(I) 丁 f(x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)4令 f (x)=0,得 Xi 0,X22,13因为a 0，所以可得下表:x2,000,1f'

19、(x)+0-f(x)/极大因此 f (0)必为最大值， f (0 5 因此 b 5， 丁 f( 2)163 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511 , a 1 , f(x)x3 2x2 5.() f (x) 3x2 4x f (x) tx 0等价于 令g(t) xt 3x2 4x，那么问题就是g(t) 0在t 为此只需g( 1)0，即3x2 5x 0，g(1)0 x2 x 0解得0 x 1，所以所求实数x的取值范围是0，1.2、(根分布与线性规划例子)2函数f (x)x3 ax2 bx c3(I )假设函数f (x)在x 1时有极值且在函数图象上的点23x

20、4x tx 0,1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围,(0,1)处的切线与直线 3x y 0平行,求f (x)的解析式；(n )当f (x)在x (0,1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时，设点M(b 2, a 1)所在平面区域为S,经过原点的直线 L将S分为面积比为1:3的两局部，求直线L的方程.解：(I ).由f (x) 2x2 2ax b ,函数f (x)在x 1时有极值, 2a b 2 0/ f (0)1 c 1又 f (x)在(0,1)处的切线与直线 3x y 0平行， f(0) b3故a22 31 :- f (x)xx2 3x1 -32)解法一：由 f (x)2x22

21、axb与f (x)在xf (0)0b0f (1)0即2ab20f04ab80x 20ay 12y x20故点M 所斤在平面Ibx 24y x60易得A( 2,0), B(2,1)，C(2,2),同时ABC的中位线,S DEC四田边形ABED令 M (x, y),(0,1)取得极大值且在所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两局部,x 0D(0,1)，E(0,S为如图 ABC,3)(1,2)取得极小值，S ABC 2设直线L方程为y kx ,它由丫得点F的横坐标为：xF22yx202k1由y奴得点G的横坐标为:xG4yx604k1S四边形DEGFS O

22、GES OFD解得：k综上，所求直线方程为：4k 1(舍去)故这时直线方程为：y-1 即 16k2 2k 5 011x2(n)解法由 f (x)2x22 ax1x.2b与f (x)在x (0,1)取得极大值且在(1,.12分2)取得极小值，f (0) 0f (1)0 即f (2) 0b 02a b 204a b 80令 M(x, y),ax20y1-2yx20故点M所在平面区域S为如图 ABC,bx2604yx易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,321同时DEABC的中位线，S DEC&边形abed 所求一条直线L的方程为：x 03S ABC1另一种情况

23、由于直线 BO方程为：y -x,设直线BO与 AC交于H ,21由y 2x2y x 2得直线L与AC交点为:H (1,所求直线方程为11)Sdec3、(根的个数问题)函数f(x)(I)求1 221x23ax1, Sabh2ABO S AOH2bx (c 3a 2b)x d (a0)的图象如下列图。c、d的值；(n)假设函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3x求函数f ( x )(出)假设y 110,的解析式；x0 5,方程f(x) 8a有三个不同的根，求实数 a的取值范围。2f (x) 3ax 2bx+c-3a-2b解：由题知：(I)由图可知函数 f ( x )的图像过点(0,3

24、 )，且f 1 = 0得d 33a 2b c 3a 2b 0(n)依题意f 2 = - 3且12a 4b 3a8a 4b 6a2b 3解得4b 3 5(3 a + 2 b ) x + 3 ( a>0 )所以 f ( x ) = x3 - 6 x2 + 9 x + 3 (川)依题意 f ( x ) = ax + bx -2f x = 3 ax + 2 bx - 3a - 2b 由 ff ( 5 )< 8a< f ( 1 )假设方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根，当且仅当满足1由得-25a + 3 v 8av 7a + 3v a< 3111所以当 < a&l

25、t; 3时，方程f ( x ) = 8 a有三个不同的根。114、(根的个数问题)1函数f(x) 3x3 ax2x 1(aR)2，求a的值与f(x)的单调区间;(1)假设函数f(x)在x X1,X X2处取得极值，且 X1 X21 1 25x 1)的交点个数.(2)假设 a ,讨论曲线 f(x)与 g(x) x2 (2a 1)x( 22 朴丿2'6解：(1) f(x) x2 2ax 1 x-i x2 2a,x1 x21x1 x2(% x2)2 4x1x2J4a22 2f (x) x 2ax 1 x 1 令 f (x) f (x)的单调递增区间为(，1), (1,0得x1,或x 1令 f (x)1,1)(2)由题 f (X)1 3 g(x)得-X32 1 2 ax x 1x2(2a1)x即-x3 (a-)x2 2ax1 0326令(x)1X312(a )x12ax( 2 x1)，单调递减区间为(326562(x) X (2 a 1)x 2a (x 2a)(x 1) 令 (x)0得x 2a或x 1a 1当2a 2即a 1时2X2(2,1)1(X)一(X)9 8a2、a91此时，8a 0, a 0,有一个交点；当 2a 2即1 a 时，22X2(2,2 a)2a(2a,1)1(x)+0一(X)8a 9