常州大学怀德学院大学数学A中试题库

1、常州大学怀德学院大学数学 A 中试题库一定积分应用一、选择题1 图中阴影局部的面积的总和可表示为 .py、ao亠/ 5h xb(A)f (x)dx(C) a f(x)dx c2 .曲线y =x(x_1)(x2)与x轴所围成的图形面积为()C2b(B) | L f(x)dx|；bc1c2bf (x)dx f (x)dx ( D)f(x)dx- f(x)dx f(x)dx.c?acc 2C22(A) o x(x-1)(x-2)dx;2(C) I °x(x-1)(x-2)dx|；(B)(D)1 2°x(x-1)(x-2)dx- j x(x-1)(x-2)dx;1 2°x

2、(x-1)(x-2)dx J x(x-1)(x-2)dx .3.由曲线y =cosx和直线x=0.y=0所围成的图形面积为(A)0 cosxdx;JT(B) | p Cosxdx|;JIJL(C) ( cosx dx ;-兀(D)o2 cos xdx + .二 cos xdx .24.曲线y =1 nx与直线y =1 na,y=l n b,0 ： a : b及y轴所围成的面积值为In b(A)eydy;In aIn b(C) f In xdx;“n ab(B)eydy;ab(D)In xdx.*a5.曲线y*与该曲线过原点的切线及y轴所围成的面积值为1 x(A) o (e - ex)dx ;e

3、(C) (ex - xex)dx;e(B) v (In y - yin y)dy ;1(D)0(l ny-yl n y)dy .6 .曲线r =2acosra > 0所围成图形的面积 A为1：.(A) 02 3(2a cos 二)2d=;兀12(B) (2acosR d71 ;(C)-(2 a cos?) d r ；丑1(D).討承魯沧.1 2 2二 0f (x) -g (x)dx;1 1 2 2(D)0 f (x)-g (x)dx .7.曲线y=f(x)、y二g(x)(f(x) g(x) .0)及直线x二a,x=b所围成图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为()1 2(B)(A)二 0f

4、(x) -g(x) dx;1 1 2(C) 2二。f (x) g(x) dx;&曲线y =1 n(1 _x2)在0乞x乞*上的一段弧长为()1(A).o21 ： 2 J dx ;1-x2(B)1彳 221 x22 dx ；1 -x2(C) 0( dx；9.矩形闸门宽am，高hm，将其垂直放入水中，上沿与水面平齐，那么闸门一侧所受 压力为(0ag 上 xdx;h(D)+ n(1 x2)dx.(A)(C)a(B) ag °xdx;hag °(x-h)dx;(D) ag °xdx.矩形闸门宽am,高hm，将其垂直放入水中，上沿与水面相距为bm，那么闸门10*.一

5、侧所受压力为()h(A) ag 0 (b h -x)dx;h(C) ag 0 (b h x)dx ;二、填空题h(B) ag 0 (b x- h)dx;h(D) ag 0 (x -h -b)dx.1. 由f (x) _ y g(x),a _ x b围成图形的面积S二2. 设曲线y = f ( x )在a,b上连续，贝U曲线y=f(x),x=a,x=：b及x轴所围成的图形的面积S二。3. 曲线 y = f (x), y =g(x), (f (x) - g(x) - 0)与 x轴及两直线 x = a, x = b (a ： b)围成平面图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积为 。4. 设平面图形由曲线r

6、二f(R0及射线围成，那么其面积可用定积分表示为2 25. 椭圆x2 y2 =1所围图形的面积为 。a b6. 由曲线y与直线y p及x=2所围成的图形的面积是 。7.曲线r =2acos所围成的平面图形的面积为8. 曲线y=x2、x=1和x轴所围成的图形绕y轴旋转产生的旋转体的体积为 9. 心形线r二acos| ia .0的弧长。10弹簧拉长0. 02m需要98N的力，弹簧拉长0. 10m所作的功为三、计算题(基此题20题)1. 计算曲线 心, 2 与直线x=1所围成的图形的面积。2. 计算曲线y =sin x , y hcosx与直线x =0所围成的图形的面积。3. 计算曲线r =2, c

7、ost所围成的图形的面积4. 计算曲线y = lnx与直线x=,x=e和y=0所围成的图形的面积.e，5. 求由曲线y=x2与y=2-x2所围成的图形的面积，6. 求由曲线y=x3与直线x=0、y=1所围成的图形的面积，7. 求在区间0,-上.由曲线y=sin x与直线x=0、y=1所围成的图形的面积，28. 计算心形线r =a 1 >cosv a 0所围成的图形的面积。9. 求曲线y=ln x, x=2及x轴围成的平面图形的面积.10. 求抛物线x =2y-y2与直线 2 x围成的图形的面积.11. 计算由抛物线y=x2-1与直线y二X/所围成的图形的面积.12. 计算阿基米德螺线r二

8、a(a 0)上相应于二从0到2二的一段弧与极轴围成的图形的面积.13.计算由椭圆各 y_ =1所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.a b14. 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x二h及x轴围成一个直角三角形.求这个直角三角形绕x轴旋转所成的旋转体体积.15. 求由曲线xy=4 , y=1,y=2 , y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的 体积.2 216. 计算曲线y=-x。上相应于0_x_1的一段弧的弧长.317. 求心形线r =a 1 posva 0的弧长.18. 计算摆线*=弩"叮J的一拱(0绑為的长度.y =a(1 -cos日 J19. 弹簧拉伸1厘米需

9、要的力是3牛顿，如果把弹簧拉伸3厘米需要作的功是多 少？20. 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷，那么距原点x处单位正电荷受到|z的电场力F(x)=qp，求单位正电荷沿x轴从x=a移动到x=b时电场力F(x)所作的功.x四、综合题与应用题(20题)1.求c(c>0)的值使两曲线y=x2与y=cx3所围成的图形的面积为-.32. 求由心形线r =1 co与圆r =3cos所围成的标有阴影线局部的图形的面积.3. 求曲线r =1及r =1 co所围成图形的公共局部的面积。4求摆线x*(t-sint)(a p,o十公)的一拱与x轴围成的图形的面积.y =a(1 -cost)L5.求

10、摆线x二at _sint , y =a1_cost的一拱(0 _t ： 2二)，和x轴所围成图形绕x轴旋转 产生的旋转体的体积.6求介于曲线y=ex与它的一条通过原点的切线以及 y轴之间的图形的面积.7. 计算曲线y=x3与直线x=2、y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积8. y=x2和x轴，x=1所围成图形分别绕x轴和y轴旋转所产生的旋转体的体积；9. 求曲线y= x与直线x=1、x=4、y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转产生的 立体的体积10. 求曲线x2 y1与y2 =?x所围成的两个图形中较小的一块分别绕x轴、y轴旋转2产生的立体的体积.11. 两根电线杆之间的电

11、线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线称为悬xx链线，悬链线方程为y =a ch =a e ，其中a为常数，计算悬链线上介于x =b与 a2x=b之间(对应于两根电线杆之间)的一段弧长.12. 求星形线/ =acos3t,<)所围成图形绕x轴旋转产生的立体的体积.y =asin t,13. 求星形线/ =acos3t,<)的弧长.y =asin t,14. 一物体按规律x=ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比.计算物体由X =0移至X =a时，克服媒质阻力所作的功.15* .过抛物线y =/上一点P(a,a2)作切线，问a为何值时所作切线与抛 物线y = -x2

12、4x -1所围成的图形面积最小？16*.设y = x2定义在0 ,1 上, t为(0,1)内的一点，问当t为何值时图2中两阴影e1y = x2Ot 1就图2O R要把桶内的水全部吸出，局部的面积A1与A之和具有最小值。17. 一个底半径为R(m)，高为H(m)的圆柱形水桶盛满了水, 需要作多少功(水的密度为103kg/m3, g取10m/s2)?2米.求闸门上所受的18. 有一闸门，它的形状和尺寸如以下图所示，水面超过门顶 水压力.Vhi12米FJi13米2米19*. 一等腰梯形的闸门，两底长分别为10m与 6m高为20m且上底位于水面，计 算闸门一侧所受到的水压力.20* 一底为8米、高为6

13、米的等腰三角形水泥板，铅直地漂浮在水中，顶在上，底 在下且与水面平行，而顶离水面3米，水的密度为，试求它一侧所受的压力.21*. 一根弹簧按螺线r 盘绕，共计10圈，每圈的间隔10 mm试求弹簧的 全长.二常微分方程一、选择题1 .微分方程xyy x y - y4 y = 0的阶数是A 3B4C5D22. 在以下函数中，能够是微分方程 y y = 0的解的函数是(A) y =1(B) y = x (C) y =sin x (D) y 二 ex3. 以下方程中是一阶线性方程的是()(A) y-3 Inxdx-xdy=0 (B)xd = y lny Tnxdx(C) xy =y2 x2 sinx(

14、D) y y -2y = 04 .方程的xy ' y = 3通解是(A)y=C 3(B)xy =3 c (C) y = -c -3(D)xx5. 微分方程 虫+史=0满足初始条件yx=3 = 4的特解是y x(A) x2 y2 = 25 (B) 3x 4y = c (C)x2 y2 = c (D)y2 - x2 = 76 .微分方程1 -x2 y 一 xy = 0的通解是右Cx2y = cxe 2(D)1 3y x cx27.微分方程八'#的通解是1carcta nx c (D) arcta nx xx4 = 1的特解是1(A) arctanx c (B) arctanx c

15、(C)x8. 微分方程yInxdx=xIn ydy满足初始条件(A) In2 x In2 y = 0(B) In2 x ln2 y = 1(C) In2 x = In2 y (D) In2 x = In2 y 19. 方程S 2y =0的通解是(A)y=Gex- c2e2x(B)yge"(C)y =cexce2x(D)exe x10. 求微分方程y 4y ' 4y = excosx的一个特解y*时应设特解的形式为y* =()(A) ex acos2x bsin2x(B) ex acosx bsinx(C) ex acosx(D) xex acosx bsinx二、填空题1.

16、微分方程 y"-2/ s in x=1的阶数为 。2. 设某微分方程的通解为y c2x e2x ，且y xm = 0 ， y xm =1那么3. 通解为y=cex c为任意常数的微分方程是。x4. 满足条件f x + 2 J。f x dx =的微分方程是 。5. xy' = 4y的通解为 。6. 翌二y 1的满足初始条件y 0 = 1的特解为 。dx7. 设y二y x,g,C2,Cn是微分方程y -xy*2y=1的通解，那么任意常数的个数8. 设曲线y二y x上任意一点x,y的切线垂直于该点与原点的连线，那么曲线所满足 的微分方程为。9设y (x)是目p(x)y二q(x)的一

17、个特解，Y(x)是该方程对应的齐次线性方程y p(x)y =0的通解，那么该方程的通解为 .;10y(x) =ex是岁p(x)y =x的一个特解，那么p(x) =，该一阶线性方程的通解为y二ex ;11. 齐次方程xdy二yiny作变换可化为别离变量的微分方程dxx，且通过此方法可求得该齐次方程的通解为;12. 微分方程 矽=匚不是一阶线性微分方程，但是将x看作因变量，而将ydx xy _ x _ y看作自变量，那么可化为一阶线性微分方程，进而用此方法可求得该方程的通解为。13 .二sinx和y2二cosx是y'py'qyO ( p,q均为常数)的两个解，那么该 方程的通解为

18、。14. y启-y 2y = 0的通解为。15. y"-2y ' 4y =0 的通解为。16. y-7y：6y=0 的通解为。17. 设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为* =1 2i，a =1 - 2i，那么该二阶常系数齐次线性微分方程为。18. 设a =3, d =4为方程y py* qy =0 (其中p,q均为常数)的特征方程的两个根，那么该方程的通解为。19. 微分方程y 2y y二xex的特解可设为形如 y (x)二20. 设yx, yex, ye均是讨 py，qy = f (x)(其中p,q都是常数)的三个特解，那么该方程的通解为三解答题1 求微分方程

19、y sin x = y In y，满足初始条件y 一. = e 的特解。2 .求微分方程cosydx亠1-e公sin ydy = 0，满足初始条件y x=0的特解。-43. 求微分方程y= e2x，满足初始条件yx= 0的特解。TT4. 求微分方程sin ycosxdy =cosysin xdx，满足初始条件y x申的特解。-45. 求微分方程2x2 yy = y21的通解。6. 求微分方程.1 -x2y> .,1二y2的通解。7. 求微分方程xy ylny=0的通解。8. 求微分方程=eaxby的通解。dx9. 求微分方程xy - y - . y2 -X2 =0的通解。10. 求微分方

20、程x = yln '的通解。dxx11 .求解微分方程(1 ex) yy = ex 。12. 求解微分方程xy -y=xtan"。x13. 求解微分方程(x2+2xy _ y2)dx+(y2 +2xy _x2)dy = 0 , y =1。x = 114. 求微分方程xdy (x2 siny -y)dx = 0的通解。15. 求微分方程xy * y = x2 3x 2的通解。16. 求微分方程旳ycosx二©""的通解。17. 求微分方程x2y3 dy2ydx = 0 的通解。18. 求方程y y：2y =0的通解。19. 求方程y y =0的通解

21、。20. 求方程y -4/ 40的通解。21. 求方程2y_-y、0的通解。22. 求方程y-4y ：上0的通解。23. 求方程y 6y 13y =0的通解。24. 求方程y 5y4y =3 _2x的通解。25. 求方程 y6y9y =(x 1)e3x 的通解。26. 求方程2y； 5y、5x2 - 2x-1的通解。27. 求方程2y；y'y=2ex的通解。28 .求方程 y “ _4y 73y =0,y 乂卫=6; y"=1。的特解。29. 求方程 y“+4y*29y=0,y x 卫=0；丫*=15 的特解。30. 求方程 y"+25y = 0, y x=0 =2

22、；y"x=0 =5 的特解。31 求方程 4y" + 4y " + y = 0, y xa = 2; y x兰=0 的特解。32. 求方程 y"-y =4xex, y xz0 =0; y I卫=1 的特解。33. 求方程 y “ -3y " + 2y =5, y=1； y" x± = 2的特解。34. 求方程 yy+sinNiyxwhWxw"的特解。35. 求方程dy = ex y的通解。dx36. 求方程x2dy二y2-xy x2 dx的通解。x、xr x、37.求方程1 +2eydx +2eydy = 0的通解

23、。< 丿< y丿38. 求方程y =e"的通解。dx39. 求方程-2y =2x的通解。dx40. 求方程=-r1)56.试求曲线，使它每一点的斜率为(x y)，且过点2，又当x为何值时切线的 2的通解。dx x+y41 .求方程y - y -2y=0的通解。42. 求方程y 5y 6y=2e"的通解。43. 求方程 y -2y ' 5y = ex sin2x 的通解。44. 求方程 y-8y： 16y 二 e4x,y 0 = 0, y 0 =1 的特解。45. 求方程 y-3y'-4y =0,y 0 =0,y，0 =一5 的特解。46 .验证函

24、数y=C|XC2ex是微分方程1 一 x y" xy' - y = 0的通解，并求满足初始 条件yx=0 =y"x=0 =的特解。47. 验证函数y=x1 丄斜率为4 ?57上凸曲线过点A01)及点B(10)，且对曲线上任一点P(x,y)与弦环所围面积为 -是微分方程x2y-2y=x的解。248. 求一曲线的方程：这曲线过原点，并且它在点x，y处的切线斜率等于2x，y。49. 函数 f x -： ：: XJ：满足(1) f(x) = f“(x) ； (2) f (01, f (02，求f x o50. 求方程y-y=0的积分曲线，使其在点(0,0)处与直线y = x

25、相切。51. 某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的 方程。22y352. 设函数y=(1 xu(x)是微分方程y _C=(x丿的通解，求函数u(x).53. 一条曲线通过点(2, 3)，它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求该曲线 方程.54. 质量为1克的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动 的速度成反比.在t =10秒时，速度等于50厘米/秒，外力为4克厘米/秒2 .问从开始经 过了1分钟后质点的速度是多少？55.求微分方程f (x) xf (x)二x的通解.质点的运动规律.60. 个质量为m的质点从水面由静止开始下沉，所受阻力与下沉

26、速度成正比比 例系数为k.求此质点下沉深度x与时间t的函数关系.三向量代数与空间解析几何、选择题和填空题A.2B.3C.-22.设向量a = g,1,0?，b1,0,1，那么a与b夹角为)B.JI亠JIA.C.-6433.过点1，-1，2和点(2, 1,-1 的直线方程为A.x 2 y 1z -1B x-1 y+1z -2-1-231 0-3C.x -2y -1 z 1D x +1 y 1z 21 - 2-10_ 31.设向量 a = i j"_2k,b = i 2 j2k，那么 a b ()D.)4.在空间直角坐标系中，方程2x_3y=0的图形是D.-3A. 通过z轴的平面B. 垂

27、直于z轴的平面C. 通过原点的直线D. 平行于z轴的直线5.设有平面 p:x-2y+z-1=0和直线L:jiA.-6D.-26.过点3,-2,-1并且平行于xoz坐标面的平面方程为B.C.二口 ,那么p与L的夹角为 -2JiB.z-1=0A. x-3=0C.y+2=0D.y-2=07.在Oxy面上的曲线4x2-9y2=36绕x轴旋转一周，所得的曲面方程为A. 4 x2 z2 -9y2 =36B. 4 x2 z2 -9 y2 z2 =36C.4x2-9 y2 z2 =36D.4x2-9y2=368.以下曲面中，母线平行于y轴的柱面为()八22_22丄A. z = xB. z = yC. z =

28、x + yD. x + y + z =19.方程 y2+z2 4x=0，表示A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.旋转抛物面D.锥面10.在空间直角坐标系下，方程 2x2+3y2=6表示的图形为A椭圆B.柱面C.旋转抛物面D.球面11. 在空间直角坐标系中，方程2 2 2笃每冷=1表示的图形是a b cB.圆柱面D.椭球面A.椭圆抛物面C.单叶双曲面12.在空间直角坐标系中，方程A.圆x2+y2=2的图形是B.球面C.圆柱面13.以(-1，A. (x-1 ) 2+C. (x+1) 2+2, -3)为球心,(y+2) 2+ (z-3 ) 2=4(y-2 ) 2+ (z+3) 2=42为半径的球面方程为

29、B. x+1 2+ y-2 214.在空间直角坐标系中，方程D. (x-1 )x2+2y2=2的图形是(+ (y+2)(z+3) 2=2(z-3 ) 2=2D.旋转抛物面A.圆C.柱面B. 球面D.旋转抛物面15.以下曲面中，母线平行于A. z = x2B. zx轴的柱面为2=y2 :C. z = x + yD. x + y + z =116.方程 y2+z2 4=0,表示(A.单叶双曲面B.圆柱面C.旋转抛物面D.锥面17.过点2,-3,5并且平行于yoz坐标面的平面方程为A.x-2=0B.z-5=0C.y+3=0D.y-3=018.在Oxy面上的曲线x2 y2 =1绕x轴旋转一周，所得的曲

30、面方程为A. x2 z2 y2 = 1B. x2 z2 y2 z2 =1C. x2-：；：y2 z2 = 1D. x2 - y2 = 1219.在Oxy面上的曲线22-1绕x轴旋转3周，所得的曲面为(B.圆柱面D.椭球面A.双曲面C. 抛物面2 220.在。xy面上的曲线1绕x轴旋转一周'所得的曲面为(A.双曲面B.圆柱面C.抛物面D.椭球面21 点P (0, 2, 1)到原点的距离为22. 向量亍=4,-3,4的模为23. 两点A(4, 7,1), B(6,2, z)之间的距离为11,那么z=24. 点A(1,-2,3)到x轴的距离为25. 两点A(5, 1,3), B(3,2,3)

31、,那么向量AB的模为26. 向量并=1,-1,1与x轴的夹角余弦cosa=27. 点P (1, 1, 2)到平面x+y-z+1=0的距离为28. 向量a =2,2,1在向量b = 1,-1,2上的投影为29. 向量a =2,2,1与向量b =1,-1,21的夹角余弦=30. 向量/ = 1,-2,2，那么与a同方向的单位向量为 31. 向量a =1, -1,1与z轴的夹角余弦cos ' =32. 假设向量b1,1,k?与a"22,1?平行，那么k=33. 向量a=-2,5,1与b=3,-2,k垂直，那么常数k=34. 过点(-1，2，5)并且平行于oxz坐标面的平面方程为 3

32、5. 平面x_2y+z_3 = 0的法向量为_36. 设平面二1：x-4y，z-4=0 和平面二2：2x-2y-z-1=0,二 1 与二 2的夹角为37. 过点P1 (1，2, -4 )和R (3, -1，1)的直线方程为38. 过点P1 (2, 2, 3)和原点的直线方程为 39. 过点Pi (1, 1, 2)且平行于向量a=2,5,3?的直线方程为40. 设平面n : 2x - y z =1，直线L: x 1二,平面冗与直线L的夹角1 1 2为二、计算题41. 设向量 a = 2i3jl5k；bir j2k'，求(1)2a-3b，( 2)(2 2 b) b .42. 设向量 a&#

33、163;1,2,1，b=1,1,2?，求(1) a b,(2) b 在 a 上的投影.43. 设向量 aA.2,2,1?，b1,-12，单位向量 c 满足 b_c,a_c,求 c.44. 设向量a “0,3,2?， b = 3-1,1，求向量ab与a b的夹角余弦.45. 设向量a4,3,1，b1,-1,1，求以a,b为边的平行四边形的面积. 46. 设向量a,b,c为单位向量，且满足ab 0，求a bb cc a47. 一平面过点M0 1 ,- 2，且垂直于两个的平面x - 2y z -3 =0 ，x y -z 2 = 0，求此平面方程.48. 求过点(3, - 1,3)且通过直线L:迸二专

34、煜的平面方程.49. 求过点P (-1,2，-3)，并且与直线x=3+t，y=t，z=1-t垂直的平面方程.50. 求过点P(2,-1,3),并且垂直于平面x-2y z-3=0的直线方程.51 将直线/x+2y+z=0化为参数式和对称式方程.x +2y +3z _4 =052. 设平面n过点P1 (1, 2，- 1)和点P2 (-5, 2，7)，且平行于y轴，求平面n的方程.53. 求过点P(3,-1,0)并且与直线-口 垂直的平面方程.1-2054. 求过点P (4, -1，2)并且与直线L:x+y-z=7平行的直线方程.g -y -z = -155. 求过点(-1 , -2 , 3)并且与

35、直线二-垂直的平面方程.3-2-256求过点 P1 (4, 2, 1), P2 (2, 3, 0)和 Pa (0, 1, 0)的平面方程.57 .求过点(3 , -1 , 5)并且与直线二平行的直线方程.x 一 v = 258. 求直线-与平面2x+3y-z+1=0的交点坐标.V _z =359. 求过点(3, 3, -2)并且与平面2x- y+z-3=0垂直的直线方程.60. 求与点R(3,-1,2)和点P2(5,0,-1)的距离都相等的动点轨迹方程.61. 求过点Pi( 1, 2, -4 )和R(3, -1，1)的直线方程.62. 设平面n经过点P1 (4, 2, 1 )和P2 (-2 ,

36、 -3 , 4),且平行于y轴，求平面n的 方程.63. 求过点(-1 , -2 , 3)并且与直线口二口 =耳垂直相交的直线方程.1-2-264. 求过点(1,2, -1 )与直线：3x+2y + z=0平行的直线方程.、x +2y +3z4 = 065. 求过点P(3,-1,0)并且通过直线x二口 二口 的平面方程.1-2166. 求以P1 (1 , 2 , 1) , B (1 , 3 , 5)和R (2 , 1 , 4)为顶点的三角形面积.67.1T TT Ta=hb=5,a b = 3, 求ax bx2 z268.将xoz坐标平面上,曲线丁1分别绕x轴和z轴旋转一周,求所生成的曲69.

37、求曲线_2xzlz=3面方程.0在xoy坐标平面上的投影曲线,并指出原曲线是什么曲线.70. 求过点P (1 , -3 , 2)且垂直于直线L:7二的平面方程.123x 1y+1 z + 271. 求平面6：xyz-1=0与直线L:=-的夹角1-212 272. 将xoy坐标平面上曲线 -11分别绕x轴和y轴旋转一周,求所生成的曲49面方程.73. 求平面x-2y，z-3=0与各坐标平面的夹角余弦74. 求过点(2,1 , -1),且在x轴和y轴上的截距分别为2,1的平面方程.75.求曲线_x y2-X =1z2 =0在yoz坐标平面上的投影曲线，并指出原曲线是什么曲三、证明题76.证明:以

38、Pi (1, 2, 0), P2 (2, 0,-1 ), P3 (2, 5, -5)为顶点的三角形为直角三角形.77.证明:平面:x - 2y z - 3 =0垂直于平面 二2：xyz2 = 0.78.证明:平面:x-2y z-3 =0垂直于直线L:79.证明:平面! : x 2y 3z -仁0平行于直线L:80.证明：直线Li: 2P与二宁垂直于直线L2：x -1y 1z 21-21x-1y 1z 21 '-2 11x-1y 1z 21-2-1(四) 多元函数微分学'、选择题1.函数z二f(x,y)在点(x°,y°)处连续是它在该点偏导数存在的()(B)充

39、分而非必要条件(D)既非充分又非必要条件(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件2. 函数Z = f( x y在点(心y。)处具有偏导数是它在该点存在全微分的()(B)充分而非必要条件(D)既非充分又非必要条件(A)必要而非充分条件(C)充分必要条件3.函数 f (x, y)= “11xsinysi n ,yx0,(A)不存在4 .设 f (x, y)二 x3yxy =0,(B)等于1xy2 -2x，3y-1，贝U fx(3,2)的值为那么极限叫f (x, y)等于 二0)(D)等于2()(A) 59(B) 56(C) 58(D) 555. 假设 f (x, x2) =x2e： fx(x,x2

40、) =-x2e"那么 fy(x, x2)为()(A) 2xe(B) (-x2 2x)e"(C) e(D) (2x-1)e*6. 设z=xy)，那么三等于()exx .1x1(A )yxxy( B )yX(|n xln y )( C )yxxy (In xln y )xxx1(D) yxxy (ln x 丄)x7.设 u = ln(1 x y2z3),那么匕 Uy u；(计)等于(A) 3;(B) 6;(C)1 ,52(D)|dz8. x yz = ex,xex =tant,y = cost,贝U|to 等于dt -11(A)丄；(B) - 丄229.函数f (x, y, z

41、) =z 2在4x2 2y2 z2 =1条件下的极大值是(C) 1;(D) 0.(A) 1(B) 0(C) -1(D) - 210.曲线 x =arctant，y = 1 n(1 t2)，z5丁在点P处的切线向量与三个坐标4(1+t )轴的夹角相等，那么点P对应的t值为(A) 0(B)乎1(D) -211. 曲线 2x2=y,z2相应的x值等于(1(A) 12=x在某一点处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相等，求此点(B) 2(D) 112. 曲面z = f (x, y)上对应于点(Xo,yo, Zo)处与z轴正向成锐角的法向量n可取为(A) 1,fx(Xo,y°), fy(xo,y。

42、)(B)fx(Xo,y°), fy(Xo,y°),1(C) fx(Xo,yo), fy(Xo,yo), -1(D)-fx(Xo,y。)，-fy(Xo,y°),113.设u二f(t)，而t二eX，e_y， f具有二阶连续导数，那么(A)(e2x-ey)f (t)(exe)f (t)(B)(e2xe'y) f (t)(ex- e_y) f (t)(C)(e2x -ey)f (t)(ex-y)f(t)(D)(e2xy)f(t)(exy)f (t) ： 2： 2： 214.设u=f(r)，而r =x2 y2 z2， f (r)具有二阶连续导数，那么弋 U -专等于

43、x7'z()(A)1 ' f (r) 一 f (r)(B)2 ' f (r) f (r)rr(C)1" 1 'Wf (r) - f (r) rr(D)1" 2 '-2 f (r) -f (r) rr15.设z =z(x,y)由方程-所确定，那么x y2 等于 ()z x yexcy(A) 0(B)In z(x2ln x-y2ln y) (C)z2(D)2z2、填空题16.函数z = In(xln y)的定义域为17.函数 u(x,y,z)=arcsd的定义域为18.19.设 f (x y,x - y)二 xy y2，那么 f (x,y

44、)=假设 f (x, y)二 ecos(y -x2)，贝U fx(x, x2)=20. 设函数z = f (x, y)在点(x°, y°)处可微，那么点(x°, y°)是函数z的极值点的必要条件为21. 设z = xy，那么z在点(1,1 )处的全微分dz =.z22.设z二f ( u, v, w)具有连续的一阶偏导数，其中u = x2,v =siney, w = ln y,那么23 设 x2 y2 z2 - 4z = 0 ,那么24. 函数f (x, y, z) - -2x2在x2 -y2 -2z2 =2条件下的极大值是 25. 曲面x2 +2y2 +

45、3z2 =12上的点(1 , -2,1 )处的切平面方程为 法线方程为.三、计算题26.求以下函数z = ln( y - x).x的定义域27. 求以下函数z = arcsin z :.的定义域 4?28.求极限li.xy 1-1xy29. 求极限 lim arCSin(Xy). 冯 y230. 证明极限却为31. 求函数z =arctan(?)的一阶偏导数。x32. 求函数z =ln sin xy的一阶偏导数。V33. 求函数u=(X)z的一阶偏导数。y34. 设函数 z=(1 xy)y，求 zx,zy.35求函数z = (2x +3y jx*y)的一阶偏导数。36.设函数 z = x y

46、_ . x詞240. 设函数z=xf(Z),求 z y2，求 zx(1,1),zy(1,1).37.设函数2yZ =X ,-2一 2c zd z ；2 ， ；x x：y38. 设函数 z = xx故勿 sin y y3 sin x , 求一z3z39. 设函数 z=xln(xy)，求 ex by41.42.43.44.45.46.47.48.求函数设函数求函数二arcsin 的全微分.y= ln(x2 +y2)，求 dz (1,1.u = xy'的全微分.设 z = y，而 x=et， y=1 -e2t，xax (_)设 u =z)，而 y = asin x，求dzdtz = cosx

47、，a2122. .设 z=uv-uv，而 u=x cos y， v = xsi n y，求屯dxL、求三，二:x : y设z 二 xy xF(u)，而 u 二，F (u)为可导函数，求证 x= z xy .xexcy设 U = f X,:2，(其中f有二阶连续的偏导数)，求=u49.50.2 _2 设函数f二阶连续可微，求z= f(x,Z)的二阶偏导数'-.xdxcy2z ,求 法点y.2设z = f(exsiny, x2y2)，(其中f有二阶连续的偏导数)51.52.，(其中f有二阶连续的偏导数)，求'z ； £x£y_ 2 设= f (x y z, xy

48、z ),(其中f有二阶连续的偏导数)，求W设f (u, x, y)，u = xey53.设 ln X2y2 = arctan ，求业.x dx= .2所确定的函数54. 分.55. 函数z =z(x, y)由方程 dz.56. 函数z =z(x, y)由方程 dz.由方程xyz , X - yf (xz,z-y) = z 所确定,f (Xz,z-y) = z 所确定,z = z(x, y)在点(1,0,- 1处的全微其中f(u,v)具有连续的偏导数，求其中f(u,v)具有连续的偏导数，求dzdx58.59.设 ez - xyz = 0，求三，-z , exdy严2z设 z3 -2xz y =

49、0，求' 2exC2z:xy-2:z-2 .y60.61.62.设F(x,y)具有连续偏导数，方程fO)=0,求dz.z z_u ；:u : v :：v 设xu-yv=0, yu xv=1，求 ,.:x : y :- x ； y设 x2 y2 z2 = 1, x y z = 1，求业,虫.dx dx63.求曲线x=y2，z = x3在(1,1,1)处的切线与法平面方程.57.设z二xf(x y) , F(x, y,z) =0,其中f ,F分别具有一阶导数和偏导数，求64.求出曲线x =t，y =t2，z上的点，使在该点的切线平行于平面x 2y 4 .65.求曲面x2+2y2+3z2 =

50、12的平行于平面x+4y+3z = 0的切平面方程.2 + 2 + 266求曲线x y z在点(1,1,2)处的切线方程.Z = X + y67 求曲面3x2 y2 -z2 =27在点(3, 1, 1)处的切平面与法线方程.68.在曲面z =x2 2y2上求一点，使该点处的法线垂直于平面 2x 4y z 0， 并写出法线方程.269求曲面x2z2上平行于平面2x 2y 4z 仁0的切平面方程.270. 求函数z = x - 4x2 2xy - y2的极值。71. 求函数z =e2x(x+ y2十2y)的极值。72. 求函数z =xy在条件x y 1下的极值.73. 求 z=x2 y2xy-xy

51、 在区域 D: x _ 0, y _ 0, x y 乞 3 上的最值.四、证明题74.设 f(x, y) =*xy2x44x4+y4' x y严0，证明函数f (x, y)在(0, 0)处偏导数存在,0,x4 +y4 =0但不连续.75.设 r = Jx2 +2 2 2 C 厶irC 厶 irC 厶 irC2 丄 2、十口口 crc rc r2y +z ，证明.excyczr76. 证明由方程：:(cx 一 az, cybz) =0 ( (u, v)具有连续的偏导数，a , b , c为常 数)所确定的函数z = f (x, y)满足关系式a - b = c .dxdy五、应用题。77. 建造容积为一定的矩形水池.问怎样设计，才能使建筑材料最省.78. 求内接于半径a的球且有最大体积的长方体.79. 在椭圆x2 4y4上求一点，使其到直线2x，3y-6=0的距离最短.80. 求平面-y z =1和柱面x2 y2 =1的交线上与平面xoy距离最短的点.3 4