应力状态与应变状态分析(20211109203753)

1、第8章典型习题解析1.试画出下列图所示简支梁 A点处的原始单元体。=图8.1解：1原始单元体要求其六个截面上的应力应或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由外表，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图 d所示。2分析单元体各面上的应力：A点偏右横截面的正应力和切应力如图b、c所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得 A点单元体左右侧面的应力为:*QSz£ =Izb由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力前后边面为自由外表，应

2、力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图d。2. 图a所示的单元体，试求1图示斜截面上的应力；2主方向和主应力，画出主单元 体;3主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解: 1求斜截面上的正应力二-30和切应力30由公式二 30= 一50 100 一50 一100 cos(-60 ) _(-60)sin(-60 ) = -64.5MPa 2-5°00 si门(_60) (60)cos(-60 ) = 34.95MPa(2)求主方向及主应力tan2亠 y込0.8-5° -10°2: - -38.66宀19.33: 2 = 70.67最大

3、主应力在第一象限中，对应的角度为>0 =70.67，主应力的大小为-50+100 + - 50-100 cos(2 70.67 )-(-60)s in (270.67 )=121.0MPa2 2二 + ； = . .由 >1-'2 X y可解出症= Py = (-50) +100 - (121.0) = -71.0MPa因有一个为零的主应力，因此(第三主方向：七=-19.33 )画出主单元体如图8.2(b)。(3) 主切应力作用面的法线方向七毗皿辱1.25-1202 宀 51.34：i =25.67：2 =115.67主切应力为.'二 - 50 - 100 sin(

4、51.34 ) (-60)cos(51.34 ) =-96.04MPa = - 匕此两截面上的正应力为丁 = 一5； 100 . 5010°cos(51.34)(_60)sin(51.34 ) =25.0MPa5 100-50100cos(231.34 ) (60)sin(231.34 ) =25.0MPa-2 亠 亠主切应力单元体如下图。25.0 25.0 = 50MPa = ；x ；y由:1：-2，可以验证上述结果的正确性。3. 试用图形解析法，重解例2。解：(1 )画应力圆建立比例尺，画坐标轴 '、'O对图 所示单元体，在 ；- 平面上画出代表 二x、-x的点

5、a(-50,-60)和代表 f y的点B(100,60) o连接A B,与水平轴二交于C点，以C点为圆心，CB (或CA) 为半径，作应力圆如下图 .巩254, 96.04)(2) 斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过60 ,到达G点。G点在匚、-坐标系内的坐标即为该斜 截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值：% = _64.5MPat a =34.95 MPa(3) 主方向、主应力及主单元体图所示应力圆图上 H点横坐标OH为第一主应力，即十 OH =121.04MPaK点的横坐标OK为第三主应力，即6 =OK = -71.04MPa由应力圆图上可以看出

6、，由B点顺时针转过20为第一主方向，在单元体上那么为由y轴顺时针转'0，且2、；° = 38.66 , 、*-0 =19.33应力圆图上由A顺时针转到K点( ACK =38.66)，那么在单元体上由x轴顺时针转 过19.33为第三主方向，画出主单元体仍如图(b)所示。(4) 主切应力作用面的位置及其上的应力图所示应力圆上 N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N,逆时针转过51.34，单元体上 max作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过25.67，且max 二- min 二 CB = 96.04MPamax和-min作用面上的正应力均为 25M

7、Pa主切应力作用面的单元体仍如图(C)所示。4. 如下图两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒外表 a点用应变仪测出与x轴分别成正负45方向两个微小线段 ab和ac的的应变 冷=629.4 x 10-6, ；-45 =-66.9 x 10-6,试求压强P和外力矩薄壁筒的平均直径 d= 200mm厚度t = 10mm解：(1) a点为平面应力状态，在a点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力:Pd4tPd2t2m二 d2t(2)求图8.4(c)斜单元体efgh各面上的正应力:CT +CT = x y_.=3 pd.2m452x 8t-：d2tcr + crxyCJ -=_3P

8、d _2m452x8t二 d 2tJE 浮12m二 d2t1丄3凶1一空1E |I8 t二 d2t将给定数据代入上式629.4 10 2m 106-66.9 10 启-200 103_200 103得内压强和外力矩p= 10MPa5.直径 d=20mm、L=2m 的算出单元体上的应力的数值乞竺空975+2,810jtx2002 x10102m 1063 P 200 0.75 一28 10 二 2002 1 010m = 35kNm如.25)1.25圆截面杆，受力如图。试绘杆件中A点和B点的单元体受力图并确定这些点是否为危险点。(b)(c)(d)应力计算：图a解：以下列图为图各单元体受力图:(c

9、)(d)(b):;=_63.69MPa A空二 50.96MP a图b图cc=N=127.38MFa=127.38MFaAa80=50.96MP兀16d320 103图(d)中A点(压应力):,=25.48MPa1 a 3.14 (20 10；)332QSzT =Izb-0.17MP a3A(b )中的A为危险点,(c)中的A、B为危险点，(d)中的A , B点均为危险点，相比之下A点的应力较大。6.应力状态如下图(应力单位:MPa)。试用图解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力；并用解析法校核之(c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向，在单元体上画出主平面的位置，求最大切应力。

10、(a)30 0斜截面单元本；(b)45斜截面单元体;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体(e)拉压切单元体。50(c)40解：(a)按比例画出应力圆如下列图,可得a =300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为B2°a =解析法校核:二 X -cos2xsin2,沦沁込60；2 2 2= 45MPa si n2： x cos2、=50一30 仝=5.3=8.5MPa2 x 2 2 a(b)用比例画出应力圆，E点的坐标为-45 = 5MPa45 = 25MPL2050f(b)解析法校核:E* -x7cos2xsin 2,50 5°cos9020sin 902 2 x 2 250 sin 90= 25MP5MPaa(c )应力圆如下列图，与(T轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为:G 二 0A二 50MPa，；二2 = 0， 6 二 0A?二-50MP&主平面的方位可由应力圆上量得，因2- DQA广-90°最大主应力作用面与 x平面之夹角为从D1到A1是顺时针转的:八45：最大切力；max50d 应力圆与b轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应 力之值分别为:=OA 2 = 30MP a ,二3 = 0最大主应力作用面与x平面之夹角为可由应力圆上得:2 二 F