自动控制原理总结之判断系统稳定性方法

1、判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正；将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即则方程无正根，系统稳定。赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为 试判断系统是否稳定。解：系统特征方程的各项系数均为正数。根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。由得各阶子行列式；各阶子行列式都大于零，故系统稳定。2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A、系统特征方程的各项系数均大于零，即ai>0；B

2、、劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。（2）劳思计算表的求法：A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即： B、计算劳思表系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c，d，e等各行的系数。（3）劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数代替0进行计算，再令0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行

3、各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对s求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例1：已知系统特征方程为 判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得： 当 0时， 故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。例2：已知控制系统的特征方程为 试判定系统的稳定性。 解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。列写劳思计算表并计算得：因s3行各项全为零，故以s4行的各

4、项作系数，列写辅助方程如下：将A(s)对s求导，得： 再将上式的系数代替s3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表： 从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。但是因s3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得 其共轭虚根为 ，这四个根同时也是原方程的根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。二、 根轨迹法（复域）系统稳定的充要条件：所有的闭环极点都在S平面的左半平面。例：已知系统的开环传递函数为GS=kss+10.5s+1，试应用根轨迹法分析系统的稳定性。解：GS=2kss+1s+2=K*SS+1S+2 (K*=2k)做根轨迹：（

5、a） 有三条根轨迹（n=3 m=0 n-m=3）（b） 实轴上（0,-1）(-2,-)为根轨迹段（c） 渐近线的夹角与坐标：a=(2k+1)n-m=±60°,180°,a=-1+(-2)3=-1 （d） 分离点坐标d：1d+1+1d+2+1d=0解得 d1= -0.423d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上（e） 与虚轴的交点坐标：DS=S3+3S2+2S+K*令S=jw 代入到式中得：Djw=(jw)3+3(jw)2+2jw+K*解得： -w3+2w=0-3w2+K*=0故 W1=0,W2=±1.414,W3=±1.414,K*=

6、6,K=3根轨迹图如下所示： 三、 频率特性1、 奈氏判据（奈奎斯特判据）Z=P-2N 系统稳定时Z=0由开环传递函数在S平面的极点个数P，奈氏曲线绕 （-1，j0）的圈数N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数ZP通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正当V0时，需要做增补线 W:00+从幅相曲线W=0+位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧增补线（理论半径为） 计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为GS=KS2TS+1试用奈氏判据判别闭环稳定性。解: W：0+ 幅值趋于0，相角趋于-270°。N=-1，P=0，Z=P-2N=2故闭环系统不稳定。2、 对数频率判定系统稳定性N=N+-N-=P2在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°在V0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上W=0+处开始，用虚线向上补90°角（补到0