北京科技大学——学年度第一学期量子力学与原子物理试题

1、北京科技大学20022003学年度第一学期量子力学与原子物理试题题号一二三四五总分学院： 班级： 学号： 姓名： 得分1。无限高势阱中的粒子38分质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：1-1列出定态薛定谔方程，用别离变量法求系统能量本征值和归一化波函数；8分1-2求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。8分1-3假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数提示：要考虑电子自旋；12分1-4假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；10分解：1-

2、1定态薛定谔方程：别离变量：，；，1-2系统基态能量：，简并度：1第一激发态能量：，简并度：31-3电子是费米子，波函数应是反对称的：由于自旋局部波函数可取反对称，轨道局部波函数可以取对称的，即轨道局部可取相同的态；基态：，基态波函数：1-4玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：2。玻色-爱因斯坦凝聚25分承接上题，假设有个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，当温度时，将发生玻色-爱因斯坦凝聚，即全部玻色子都布居在系统基态。实际上，当趋于某个临界温度时，就可观察到玻色-爱因斯坦凝聚的发生。这可以解释为：时，量子效应不明显，粒子可看作是经典粒子，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。当时，量子效应

3、不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生。1995年，Ketterle2001年诺贝尔物理奖使用Na原子为玻色子，在实验中观测到了Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚。2-1实验中Na原子气的数密度为：，估算粒子间平均距离。5分2-2根据能均分原理，估算粒子在温度时的平均动能。5分2-3根据德布罗意关系，估算粒子物质波波长。5分2-4当粒子平均距离小于物质波波长时，相邻原子波函数交叠很厉害，量子效应不可以忽略，玻色-爱因斯坦凝聚开始发生；而当粒子平均距离大于物质波波长时，相邻原子波函数几乎不交叠，量子效应可以忽略，不发生玻色-爱因斯坦凝聚。利用条件：，估算发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度。10分注：实验

4、观测值为数量级物理常数：Na原子质量：，普朗克常数：，玻尔兹曼常数：解：2-1，所以：2-2根据能均分原理，单粒子平均能量：2-32-4，讨论实验测量值为：，与估算值相差还是较大的。更严格的计算：假设有个无相互作用玻色子，在温度时，局部玻色子由于玻色-爱因斯坦凝聚占据最低能态，其余玻色子那么占据各激发态，为态密度，假设玻色子自旋为0，在绝对零度时，全部玻色子发生玻色凝聚，重新选择能量零点为系统基态能：由于宏观系统，所以：变量变换：其中Zeta函数：，Gamma函数：由于：，可以定义：所以：与实验数据吻和很好。参考：K.B. Davis, et al., Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).参考：黄克逊，?统计力学?3。自旋在磁场中的运动37分电子在均匀磁场中运动，假设磁场沿正z方向：，电子自旋为1/2，质量为，电荷为，磁矩为：，。自旋用泡利矩阵：表示；，3-1求自旋在均匀磁场中的哈密顿量，并写出自旋的运动方程：；5分提示：磁矩在均匀磁场中的能量：3-2在表象中求解，自旋波函数可表示为：，并满足归一条件：；假设，求时刻，波函数的表达式；10分3-3求时刻，自旋的平均值：；即求：，12分3-4求时刻，自旋延y方向取值为的几率是多少？10分解：3-1，玻尔磁子：所以：，运动方程：3-2在表象中求解，自旋波函数可表示为：，即：，这里：。如果：，即：，