史上最全三角函数公式

1、三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数城。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 公式分类锐角三角函数公式sin =的对边 / 斜边 cos =的邻边 / 斜边 tan =的对边 / 的邻边 cot =的邻边 / 的对边 倍角公式sin2A=2sinAcosA cos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1 ta

2、n2A=（2tanA）÷（1-tan2A） 三倍角公式sin3=4sin·sin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =

3、(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina(3/2)²-sin²a =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°

4、;-a)/2cos(60°-a)/2 =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosacos²a-(3/2)² =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°

5、)/2sin(a-30°)/2 =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a) =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1

6、-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B

7、)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2 双曲函数sinh(a) = ea-e(-a)/2 cosh(a) = ea+e(-a)/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k）= cot 公式二： 设为

8、任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）= -sin cos（）= -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）=

9、-tan cot（2-）= -cot 公式六： /2±及3/2±与的三角函数值之间的关系： sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan (以上k

10、Z) A·sin(t+)+ B·sin(t+) = (A2 +B2 +2ABcos(-) sin t + arcsin (Asin+Bsin) / A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根号,包括中的内容 诱导公式sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan（/2）co

11、t tan（/2）cot tan（）tan tan（）tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanA

12、tanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 编辑本段

13、内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 三角函数的本质来源于定义，如右图： 根据右图，有 sin=y/ R; cos=x/R; tan=y/x; cot=x/y。 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为，BOD为，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 A(c

14、os,sin),B(cos,sin),A'(cos(-),sin(-) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 1 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。

15、根据勾股定理，单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosA

16、cosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tan ·cot1sin ·csc1cos ·sec1sin/costansec/csccos/sincotcsc/secsin2

17、cos211tan2sec21cot2csc2（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot  sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（）sincos（）c

18、ostan（）tancot（）cotsin（）sincos（）costan（）tancot（）cotsin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cotsin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot(其中kZ)  两角和与差的三角函数公式万能公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）c

19、oscossinsin              tantantan（）             1tan ·tan              tantantan（） &

20、#160;           1tan ·tan         2tan(/2)sin       1tan2(/2)       1tan2(/2)cos       1tan2(/2)  &#

21、160;    2tan(/2)tan      1tan2(/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式  二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2         2tantan2        1tan2sin33sin

22、4sin3cos34cos33cos       3tantan3tan3        13tan2  三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式                        s

23、insin2sin·cos                  2          2                  

24、0;     sinsin2cos·sin                  2          2             &

25、#160;          coscos2cos·cos                  2          2       

26、0;                  coscos2sin·sin                    2        &#

27、160; 2           1sin ·cos-sin（）sin（）           2           1cos ·sin-sin（）sin（）      

28、0;    2           1cos ·cos-cos（）cos（）           2              1sin ·sin -cos（）cos（） 

29、;             2 化asin ±bcos为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三角函数两角和与差的三角函数cos(+)=cos·cos-sin·sincos(-)=cos·cos+sin·sinsin(±)=sin·cos±cos·sintan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan)tan(-)=(tan-tan)/(

30、1+tan·tan) 二倍角公式sin2=2sincostan2=2tan/(1-tan2()cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2cos2(/2)=(1+cos)/2tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin积化和差公式sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin·sin=-(

31、1/2)cos(+)-cos(-)和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=

32、0诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（k）tancot（k）cot 公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2）sincos（2）

33、costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±与的三角函数值之间的关系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan辅助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+）（tan=B/A）Asin-Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=-A/B）降幂公式s

34、in2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三角和的三角函数：sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·cos+cos·cos·sin-sin·sin·sincos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·costan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan)正弦定理于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和