根与系数的关系、韦达定理

1、环球雅思学科教师辅导教案学员编号： 年 级：八年级 课 时 数：3 学员姓名：朱俊宇 辅导科目：数学 学科教师：沈奕楠授课类型 T(同步)一元二次方程星 级 授课日期及时段 教学内容你还记得吗？1、一元二次方程ax2bxc = 0（a0）当时，X1,2 = 2、运用公式法解下例方程：（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0知识梳理1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 32、探索活动一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程

2、得出方程的解的情况呢？3、解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 04、通过解上述方程你能得出什么结论？ 探索一元二次方程的根的情况与b24ac的符号有什么关系？总结：1、一元二次方程ax2bxc = 0（a0）有两个不相等的实数根时 ，b24ac 有两个相等的实数根时， b24ac 没有实数根时 b24ac 2、反过来呢？典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两

3、边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若，则二次三项式为完全平方式；反之，若为完全平方式，则.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？1、不解方程，判断下列方程根的情况：（1）； （2）； （3）（4） 3x2x1 = 3x （5）5（x21）= 7x （6）3x24x =42、 方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .3、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D

4、.不能确定4、下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=05、方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac06、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .7、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k = .8、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .9、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m满足_。10、当k

5、为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？ 11、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。12、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？13、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .14、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.15、当取何值时，方程的根与均为有理数？一元二次方程根与系数的关系：韦达定理 专题提升：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：常用变形：， ， ， ， 等根系关系的三大用处1、计算对称式的值例题

6、若是方程的两个根，试求下列各式的值： （1），；（2）；（3），；（4）1已知是方程的两个实数根。求（1） （2）； （3）； （4） （5） （6） （7）2已知：、是方程的两根，且（-1）（-1）=3，求m的值3已知关于x的方程的根为2和-2，求的两根。（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组    解：显然，x，y是方程z2-5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3           

7、0;     x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知k2-4×2×20，k4或k-4 为所求。课堂练习：【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成

8、立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值课堂小结 本节课主要学习了什么？你学到了什么？课后练习 练习一：一先判别下列方程是否有解，若有解用公式法解下列方程(1)x212x+20 (2)x212x150 (3)x27x20(4)9x26x10 (5)5x22x (6)3x24x2(7)x22x10； (8)x(x8)16； (9)x2x2；二用适当的方法解下列方程(1)4x210； (2)x27x；(3)3x212x； (4)12x27x10(5)x24x30； (6)(x2)2256； (7)x23x10(8)x22x30； (9)(2t3)23(2t3

9、)； (10)(3y)2y29；3、设x1、x2是方程的两个实数根，则x1+x2= ；x1·x2= 4、如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a5、若、为方程的两根，则6、 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 7、若是方程的两个根，则的值为 8、已知关于x的方程x2-3x+k=0,问k取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？练习二：一、选择1、下列方程中,常数项为零的是 ( )A、x2+x=1 B、2x2-x-12=12 C、2(x2-1)=3(x-1) D、2(x2+1)=x+22、已知是方程2的一个根，则代

10、数2的值等于 （ ）A、B、C、0D、23、下列方程:x2=0, -2=0,2+3x=(1+2x)(2+x),3-=0,-8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是 ( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是 （ ）A、x=-1 B、x=3 C、 D、以上答案都不对二、填空5、把方程4 x2 = 3x化为ax2 + bx + c = 0(a0)形式为 ，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 。6、在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_时，它是一元二次方程；当m=_时，它是一元一次方程。7、方程的解为 8、已知关于

11、x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是2，那么k=_。9、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3。10、若方程有整数根，则的值可以是_（只填一个）。三、解答11、解下列方程（1）x24x+4=0（2）8y22=4y（配方法）（3）2（2x3）23（2x3）=0 （4）x2（1+2）x+3=012用适当的方法解下列方程：（）； （）；（）； （）13已知y12x7x1，y26x2，当x取何值时y1y2？ 14、如果一元二次方程x2ax b= 0的两个根是0和2，则a、b分别等于多少？15、如下图，用一块正方形纸板，在四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米。所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？（仅列方程，不求出解）16.设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x12+x22=11. (1)求k的值;(2)利用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方.17.设a、b、c是ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a