数学建模理论

1、第一章 概述科学实验是人类认识社会和改造自然的基本活动和有效手段。科学实验的两条重要途径：1.在实际系统上进行实验实物实验（物理实验）2.利用模型完成实验研究模拟（仿真）模型实验研究 系统建模与仿真模型充当着实际系统的替身，自然应该反映被研究系统的表征和内在特性。模型研究是一种最古老的工程方法和技术，其历史可追溯至我们祖先的仿鸟飞行、古代建筑及造船业中对比例模型（样板）的应用、三国时期的木牛流马（有两种说法：用轮和用腿。真实的模型还有待于考证，其中的原因，有句话说得比较好：在于搞历史的不通机械，而搞机械的又没有考证这些的习惯 ）。随着科学技术和计算机的发展，这种模型实验研究才逐渐形成一门崭新的

2、综合性边缘科学技术，即系统建模与仿真技术。它以相似原理、模型理论、系统技术、信息技术以及仿真应用领域的有关专业技术为基础，以计算机系统、与应用有关的物理效应设备及仿真器为工具，利用模型对系统（设想或实际）进行研究的一门多学科的综合性技术。建模与仿真技术的核心内容是模型的建立、验证、试验和运行。系统建模与仿真技术是一门通用的支撑技术，具有学科面广、综合性强、应用领域宽、无破坏性、可多次重复、安全、经济、可控、不受气候条件和场地空间的限制等独特优点，同时也是一门不断发展的高新技术，已成为现代实验工程和科学研究的主要技术手段，被广泛应用于国防和国民经济的各个领域。它被称为继科学理论和实验研究之后的第

3、三种认识世界和改造世界的工具，能以其他方法无法替代的独特功能为决策者、设计师和工程技术人员在面对一些重大、复杂的棘手问题时，提供一个灵活的、适用的环境，以检验关键性见解、创造的新观点和所作决断的正确性和有效性，高效地帮助人们理解实际系统的本质，便于进行科学决策与推断。它对于科学技术的发展越来越发挥着巨大的推动作用，被认为是各个学科的“交汇点”。1.1 系统 系统的一般概念系统概念：具有特定的功能，按照某些规律结合起来，相互作用、相互依存的所有物体的集合或总和（事物总体）。一个系统以特有的表征和内在特性区别于其他系统,主要由构成系统的四方面确定：实体：存在于系统中每一项确定的物体，是系统的具体对

4、象；确定了系统的构成、边界；属性：实体所具有的每一项有效的特征，是描述实体特性的信息（常以状态和参数表征）；也称为描述变量，描述每个实体的特征；活动：在系统内部发生的任何变化过程，是指随时间推移发生的状态变化；定义了系统内部实体之间的相互作用；环境：表示系统所处的界面状况（包括干扰、约束等），包括那些影响系统而不受系统直接控制的全部因素。系统是不断运动发展和变化的。由于 组成系统的实体之间的相互作用而引起的属性变化，使得在不同时刻，系统中实体与属性都可能会发生变化，这种变化通常用状态的概念来描述。系统状态：任意时刻由存在于系统内部的实体、属性、活动的信息总和称为系统状态，常用系统状态的变化研究

5、系统的动态情况。用于表示系统状态的变量称为状态变量。下面是两个实际系统的例子：比较器调节器电炉温度计温度偏差控制电压扰动温度实际温度温度给定值电炉温度调节系统 实体：比较器、调节器、电炉、温度计 属性：温度、温度偏差、控制电压 活动：控制电压的变化经理部市场部采购部仓储部销售部商品销售系统从商品销售系统图上可以看出：该系统的实体、属性、活动等。对一个系统进行分析时，必须考虑系统所处的环境 ，而首要的便是划分系统与其所处的环境之间的界线，即系统的边界。系统的边界中包含系统的所有实体。在商品销售系统中，如果仅考虑商品库存量的变化情况，那么系统只需包含采购部门、仓库和销售部门即可。但如果要研究商品进

6、货与销售的关系时，系统中还应包括市场调查部门，因为商品销售状况及对进货的影响这部分职能是由该部门完成的。这样，根据研究的对象与目的不同，系统可大可小，而且系统本身也可由一系列相互作用的子系统构成，子系统又可以有更低一级的子系统构成，并且系统和它的部分环境又构成一个更大的系统，这就是系统等级结构。研究系统，首先需要明确研究目的进而描述清楚所研究系统的三要素（实体、属性和活动）及环境。只有在对系统的三要素和环境作了描述之后，系统才是确定的。 系统的分类可以从不同角度对系统进行分类：按照系统特性：工程系统（物理）：机械、电气、化工、武器(为满足某种需要或实现某预定功能采用某种构造形成)非工程系统（非

7、物理） ：社会、管理、经济、交通、生物等(由自然和社会在发展过程中形成的，被人们在长期的生产劳动和社会实践中逐步认识)按照对系统内部特性的了解程度：白色系统：（内部特性全部已知）； 黑色系统：（内部特性全部未知）； 灰色系统：（内部特性部分已知，部分未知）按照系统的物理结构和数学性质：a)线性系统 与 非线性系统；b)定常系统 与 时变系统；c)集中参数系统 与 分布参数系统；d)单输入单输出系统 与 多输入多输出系统按系统内子系统的关联关系分类：简单系统：数/模转换、稳压、简单控制系统等复杂系统：军事作战系统、国民经济系统、大型仿真系统等按子系统的数量：小系统；大系统；巨系统：又分为简单巨系

8、统与复杂巨系统按照控制理论：开环系统：售票机、洗衣机； 闭环系统：舵系统、天线随动系统、宏观经济系统按照自然属性：人造系统：工程系统、社会系统等；自然系统：太阳系、海洋系统、生态系统等按照物质属性：实物系统：建筑物、计算机、机床、兵器等；概念系统：思想体系、管理、规章制度等（实物系统可以是人造或自然系统。而概念系统必定是人造系统。）按照运动属性：静态系统：静态平衡力系统等；动态系统：人体系统、控制系统、经济系统、动力学系统等按系统环境因素：开放系统：包含外生活动的系统任何一个系统都经常受到系统之外因素变化的影响，这种对系统的活动结果产生影响的外界因素成为系统的环境。考虑到系统环境因素，系统活动

9、可分为：内生活动系统内部发生的活动；外生活动系统外部发生的活动，即在系统环境中发生，且对系统有影响的活动。因此系统可以分为封闭系统：没有外生活动的系统；开放系统：包含外生活动的系统按照系统中起主要作用的状态随时间的变化：连续系统：状态随时间连续变化离散事件系统：状态的变化在离散的时间点上发生，且往往又是随机的混合系统从模型研究角度来讲，把系统分为连续系统、离散事件系统、混合系统是非常合理的，因为连续系统和离散事件系统在模型形式、建模方法和仿真技术上是截然不同的。 连续、离散事件和混合系统 连续系统：系统状态随时间连续变化的系统，系统“事件”所引起的效应大小和“事件时刻”之间的区别，在数学上都是

10、无穷小量。连续系统中发生的变化主要是平滑的变化，如：导弹飞行过程中的舵面变化、飞行位置的的变化，RLC电路。离散事件系统：系统状态（或参数）只在一些特定时刻被观测并产生相应离散数据，即系统操作和状态只在离散时刻发生，且这些时刻常常是随机的（不确定的）。离散事件系统中发生的变化主要是断续的变化，如：工厂系统中的产品数量、服务系统中的队列长度，电话系统、交通红绿灯等。混合系统：一部分具有连续系统特性，另一部分具有离散事件系统特性，即连续-离散混合系统。实际系统往往是混合系统，例如：导弹的一、二级分离（质量变化），工厂中的机器运行等。 系统研究的类型系统研究可分三类：系统分析：目的是为了了解现有系统

11、或拟建系统的性能和潜力。分析的方法是可以用系统做试验，但实际上往往先建立一个系统模型，将研究该模型所得的结果，用来分析实际系统的性能。系统设计：是为了得到具有所需要的某些性能的系统，利用建立模型中得到的知识，对系统进行设计，是系统达到需要的性能。 系统假设：是用于建立社会、经济、政治、医学系统研究模型的特有方法。这些系统的某些特征是知道的，但是产生这些特征的规律是完全不知道的。根据有关规律并和已知的系统性能合理的、良好的相匹配的假设模型，可以更好地帮助了解和研究系统。系统工程则是把系统分析和系统设计有机地结合起来，先了解现有系统的实际情况，后改进或自行设计新的系统。1.2 模型 系统模型科学实

12、验是人们改造自然和认识社会的主要基本活动。在实际系统上进行实验叫做实物试验或曰物理试验。除此之外，人们还常常希望在实际系统产生之前描述大型复杂系统，预测它们的功能和性能，或者由于某种原因（如有毒、有害、有危险、太昂贵）不易在现实系统上完成实验时，借助“模型”代替系统本身，在模型上进行实验。于是产生了模型及模型研究的概念。模型是相对于 现实世界或实际系统而言的。建模实际系统模型结论实际结论模型实物实验模型实验多次修改模型模型：一个系统（实体、现象、过程）的物理的、数学的或其他逻辑的表现形式，以某种确定的形式（如文字、符号、图表、实物、数学公式等）提供关于系统的知识。系统模型：是对实际系统的一种抽

13、象，是系统本质的表述，是人们对客观世界反复认识、分析，经过多级转换、整合等相似过程而形成的最终结果，它具有与系统相似的数学描述或物理属性，以各种可用的形式，给出研究系统的信息。系统模型可以各种可用的形式（数学的或实体的（物理的）给出被研究系统的信息，它具有与系统相似的数学描述或物理属性，通常用系统模型来指导对系统的研究。系统模型不应该比研究目的所要求的更复杂，模型的详细程度和精度必须与研究目的相匹配。用来表示一个系统的模型并不是唯一的，对于同一个系统当研究目的不同，所要求收集的与系统有关的信息也是不同的；关心的方面不同，对同一个系统就可能建立不同的模型。对于多数研究目的，建立系统模型并不需要考

14、虑系统全部细节，一个好的模型不仅是用来代替系统，而且是这个系统的合理简化，与此相联系的是要正确地确定模型的详细参数和精度。模型应能反映被替代系统的表征和特性，具有如下主要性质：1)等效性（普遍性）：指同一个模型可以从各个角度反映不同的系统。（或者说一种模型与多个系统可能具有相似性。）2)相对精确性：近似度和精确性不可超出应有限度和许可条件。过于粗糙的模型将失去过多系统特性而无用，太精确的模型往往会非常复杂，甚至给模型研究带来困难。满意的模型应具有考虑诸种条件折衷下的适合精确性。3)可信性：模型必须经过检验和确认，成为代表实际系统的有效模型，即具有良好的置信度。4)异构性：同一系统的模型可以具有

15、不同的结构和形式，研究中将选择最方便、合理的。5)通过性：可以视为“黑箱”，通过向其输入信息并获取信息建立起模型的输入-输出概念。为什么要使用系统模型：为了研究、分析、设计和实现一个系统，需要进行试验，可以分为两大类：在真实系统上进行；构造模型并用模型试验来代替在系统上的实验。后者必不可少，原因有四：1)系统还处于设计阶段，真实系统尚未建立需要了解未来系统的性能，只能通过对模型的试验来了解；2)在真实系统上进行试验可能会引起破坏或发生故障，如运行状态的化工、电力、火箭系统；3)系统无法恢复，如经济系统，新政策出台，经过一段时间才能看出效果，若造成损失已经无法挽回了；4)试验条件无法保证，如多次

16、试验，难以保证每次试验条件相同，或试验时间太长、或费用昂贵。 系统模型的分类对于系统模型，有许多分类方法：（1）按模型形式分：l 实体模型（物理效应） 物理仿真u 静态模型系统处于平衡状态时属性的取值u 动态模型用来描述系统状态变化的过渡过程，表示系统活动随时间变化的结果l 数学模型数学仿真（计算机仿真）u 静态模型u 动态模型l 概念模型对真实世界及其活动进行概念抽象与描述，是运用语言、符号和图框形式，对从所研究的问题抽象出的概念进行有机的组合。实体模型根据一定的规则(如相似原理)对系统简化或比例缩放而得到的复制品，其外观与实际系统极为相似，描述的逼真感较强，例如用于风洞试验的飞行器外形，航

17、模等。常用于水利工程、土木工程、船舶工程、飞机制造等方面。概念模型只用于抽象和常规设计，只是系统信息定义的规范描述，而不用于具体和专门的执行设计。比如军事行动概念模型，就是对某军事行动进行功能特征、行为特征等方面分析，不涉及到该军事行动的具体执行方案。（2）按基本的数学描述分：l 静态系统模型 代数方程，如：系统稳态解l 动态系统模型 连续 集中参数：微分方程、传递函数、状态方程 分布参数：偏微分方程 离散 时间离散：差分方程、Z变换、离散状态方程 离散事件：概率分布、排队论（3）按对模型求解的方法分：l 用解析法求解的数学模型l 用数值法求解的数学模型1.3 数学模型及其建立过程 数学模型的

18、概念定义：描述实际系统内、外部各变量间相互关系的数学表达式。主要包括数值表达式和逻辑表达式。数学模型更通俗的定义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，通过对其研究可揭示系统的内在运动和系统的动态特性。1)常量、变量、函数、方程、不等式、并、交、如果、那么、图形、表格、曲线、序列、程序等都是数学模型的重要形式。2)合理的数学模型应是能够正确反映系统表征和特性的最简数学表达式。即被简化的近似数学模型。一般描述：1)系统 S ：输入u，输出yS(u) 2)S 的数学模型为 SM：输入uM，输出yM(uM

19、)3)(u)：模型描述误差理想化： 即理想情况下，对系统s和系统模型sm输入同样的函数u，将获得相同的输出，但实际上任何理想化的数学模型都不可能无误差地描述实际系统。因此该式为一个近似式，于是有 实际： 数学模型的分类数学模型的类型一方面与所研究的系统特性有关，一方面与研究系统的方法有关。1)线性与非线性、静态与动态、确定性与随机性、微观与宏观、时不变与时变、集中参数与分布参数2)连续与离散、时域与频域、输入输出与状态空间数学模型表现形式(方程特征)数学模型表现形式(方程特征)线性线性方程非线性非线性方程静态联立方程、含空间变量的偏微分方程动态含时间变量的微分方程、差分方程、状态方程确定性不含

20、随机量的各类方程式随机性含随机量的各类方程式微观微分方程、差分方程、状态方程宏观联立方程、积分方程集中参数常微分方程分布参数偏微分方程时不变不含对时间的系数项的各类方程式时变含时间系数的各类方程式连续微分方程离散差分方程参数数学表达式(各类方程)非参数图、表时域状态方程、微分方程、差分方程频域频率特性输入输出传递函数、微分方程状态空间状态方程 数学建模及其过程数学建模：确定系统的模型形式、结构和参数，以得到正确描述系统表征和性状的最简数学表达式。建模过程的信息源：1)目标和目的：数学模型事实上是对一个真实过程给出一个非常有限的映像，同一个实际系统可以有多个研究目的，不同的研究目的将规定建模过程

21、不同的方向。2)先验知识：前人已经研究成果、类似的实际系统的试验可获得的合理的概念3)试验数据：关于系统的信息能通过对系统的试验与量测而获得。在三个信息源的支持下，建立的模型必须经过实际应用(模型应用)的检验，最终要看目的是否达到，如果没有达到，那还必须再进行一次建模。一般建立数学模型的方法有三类：1)分析法/演绎法/理论建模/机理建模； 2)测试法/归纳法/实验建模/系统辨识； 3)综合法分析法是根据系统的工作原理，运用一些已知的定理、定律和原理推导出描述系统的数学模型。也可称之为白箱问题。系统的动态特性必然表现在变化的输入输出数据中。通过测试系统在认为输入作用下的输出相应，或正常进行时系统

22、的输入输出记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出系统的数学模型。也称之为黑箱问题。上述两种方法也存在一些问题：分析法是各门学科大量采用的，但只用于比较简单的系统(如一些电路、测试系统、过程监测、飞行控制等)；而在建立数学模型的过程中必须作一些假设与简化，否则模型过于复杂无法求解。测试法无需深入了解系统机理，但必须设计一个合理的实验，以获得系统的最大信息量。这点往往很困难。因而实际应用时，是上述两种方法的综合，也就是综合法。运用分析法列出系统的理论数学模型，运用系统辨识法来确定模型中参数。综合法也可称之为灰箱问题。 这刚好 与系统的一种分类方式对应。数学建模的基本原则1)必须满足对数学模型的

23、简明性、精确性、层次性、多用性、集合性、可靠性、标准化和可辨识性等一般要求。简明性包括简单性和清晰性。简单性：从实用的观点看，由于在建模过程中忽略了一些次要因素和某些非可测变量的影响，因此，实际的模型是一个简化了的模型。一般而言，在实用的前提下，越简单越好。清晰性：一个复杂的系统是由多个子系统组成，因此对应的系统也是由许多子模型构成。在子模型间除为了研究目的所必须的信息联系外，互相耦合要尽可能少，结构要尽可能清晰。精确性：建立系统模型时，应该考虑所收集的、用以建立模型的信息的准确性，包括确认所对应的原理和理论的正确性和应用范围，以及检验建模过程中针对系统所做的假设的正确性。在建立实际系统的模型

24、时，精确性和复杂性是一对矛盾，找出这两者的折中解决方法往往是实际系统建模的关键。层次性：模型应当具有合理的层次。此外，模型中应该只包括与研究目的有关的那些信息。多用性和标准化可以放在一起理解：比如对防空导弹系统的研究，就需要考虑陆基的和海基两种环境下的情况，即多用性，除了研究单枚导弹的发射细节和飞行规律之外，还要综合计算多枚导弹发射时的作战效能，即集合性，同时也需要与其他系统进行联合，组成更大系统时，计算战场态势，这就需要对各系统进行标准化处理，即制定一个统一的规范标准，各子系统都适用，比如统一各子系统的输入输出格式，计算时的统一单位制都输入标准化内容。可靠性：简单理解就是 可靠性越高，实验中

25、模型可以无故障工作的时间越长。可辨识性：模型结构必须具有可辨识的形式，即系统的模型必须有确定的描述或表示方式，而在这种描述方式下与系统性质有关的参数必须是唯一确定的解。若一个模型结构中具有无法估计的参数，该模型就无实用价值 。2)必须考虑模型功能是否满足所研究问题的需要；满足需要条件下模型形式是否合理经济；模型是否易实现；模型运转是否稳定；是否可以达到预期的精度要求3)必须选择合理建模方法4)建立过程：观察和分析实际系统提出问题 做出假设系统描述构筑形式化模型模型求解模型有效性分析(模型校核、验证与确认) 修改模型(多次) 最终确认有效后验模型模型使用(必要时进一步修改)1.4 系统仿真系统仿

26、真技术是建立在系统科学、系统辨识、控制理论、计算方法和计算机技术等学科上的一门综合性很强的技术科学。它以计算机和专用实验设备为工具，以物理系统的数学模型为基础，通过进行数值计算方法，对已经存在的或商不存在的系统进行分析、研究和设计。系统仿真经历了三次大的变革，即模拟仿真、混合仿真与全数字仿真，得到了高度发展和广泛应用。目前计算机仿真技术不但是科学研究的有力工具，也是分析、综合各类工程系统或非工程系统的一种研究方法和有力的手段。 计算机仿真就是建立系统数学模型，并利用该模型在计算机上运行，进行系统科学实验研究的全过程。数学模型和仿真计算机是计算机仿真系统的核心。第2章 连续系统的建模技术连续系统

27、在概论中已经作了定义，它广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的数学模型虽然很多，但大体上可以归为三类：即连续时间模型、离散时间模型、连续-离散混合模型。为方便起见，下面分线性连续系统和非线性连续系统进行讨论。2.1 连续系统的数学模型形式 线性连续系统1)连续时间模型假定一个系统的输入量u(t)、输出量y(t)及内部状态变量x(t)都是时间t的连续函数，常有如下四种模型形式：u 微分方程u 传递函数u 权函数零初始条件下，系统对理论脉冲函数(t)输入的响应g(t)称为权函数，也成为脉冲过渡函数。且有，。且对任意函数u(t)作用的系统响应y(t)，可用卷积描述，。可以证明

28、，。u 状态空间表达式由状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为 A为状态系数矩阵，B为输入系数矩阵，C为输出系数矩阵，x为状态矩阵前三种模型仅描述系统的输入量与输出量之间的关系，并未涉及内部情况，故称为系统的外部模型。状态空间表达式 是系统的内部模型。2)离散时间模型假定一个系统的输入量、输出量及内部状态变量都是时间的离散续函数，分别为时间序列 u(k) , y(k) , x(k) ，亦有如下四种模型形式：u 差分方程u Z传递函数(脉冲传递函数)u 权序列，可以证明：u 离散状态空间表达式3)连续-离散混合模型假定有一个系统，它的环节中有的状态变量是连续量，而有的环节状态变量是离散变量，即系统

29、由离散和连续两部分组成，那么该系统自然要使用连续及离散时间两类模型来描述。非线性连续系统所有系统都具有一定程度的非线性。非线性可以分为固有(自然)非线性和外加(人工)非线性。若一个系统的工作范围较小，且包含的非线性较光滑，那么该系统可由某个线性化系统来适当逼近，它的数学模型形式可用前述任何一种线性系统模型形式描述。具有严重非线性不可线性化的系统称为本质非线性系统，必须引进系统非线性特性的数学描述，即建立系统的非线性模型。非线性的基本数学模型时非线性方程，可以是代数方程、微分方程和差分方程等。下表给出了这些模型形式与非线性系统类型的一般关系。非线性方程形式非线性系统类型代数方程具有静态非线性特性

30、的系统常微分方程集中参数的非线性系统偏微分方程分布参数的非线性系统差分方程非线性离散时间系统此外，根据数学特性还可以把 非线性 分为 连续非线性 和断续非线性(强非线性)。这里“强”非线性主要有：饱和特性、间隙特性、不灵敏区特性、继电特性、干摩擦或黏摩擦特性、变增益特性、多变量非线性等。这些特性的具体的描述函数，有兴趣的同学可以课外自己查阅资料。2.2 连续系统的建模方法 微分方程的机理建模方法微分方程是系统最基本的数学模型。在自然界里，许多系统，不管是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的等都可以通过微分方程来描述。由微分方程可以导出系统的传递函数、差分方程和状态方程等多种数学模型。因此

31、怎样建立系统的微分方程是建模技术中的重要内容。系统的微分方程可以通过反映具体系统内在运动规律的物理学定理来获得。如机械系统的牛顿定理、能量守恒定律，电学系统中的欧姆定理、基尔霍夫定律，以及其他一些物理学基本定律等。这些物理学定律是建立系统微分方程的基础。微分方程建模法有机理建模法、拉普拉斯逆变换法、变分法和非线性方程的线性化等方法。机理建模法也称为直接分析法或解析法，是应用最广泛的一种建模方法。 一般是在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量之间的关系和规律，而获得解析型数学模型。 其实质是应用自然科学和社会科学中被证明是正确的理论、原理和定律或推论，对被研究系统的有关要

32、素（变量）进行理论分析、演绎归纳，从而构造出该系统的数学模型。机理分析法建模步骤如下： 1) 分析系统功能、原理，对系统做出与建模目标相关的描述； 2) 找出系统的输入变量和输出变量； 3) 按照系统（部件、元件）遵循的物化（或生态、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数等； 4) 消除中间变量，得到初步数学模型； 5) 进行模型标准化； 6) 进行验模（必要时需要修改模型）。元件和环节：在了解利用机理建模法建立系统微分方程的步骤之前，先来学习一下元件和环节。一个系统是由许多具有不同功用的元件所构成的。同时，这些元件的动态性能又各不相同。在对元件和系统进行研究时，由于研究的内容不同，出发点

33、也不一样。例如，对控制系统的原件大都以下列两种观点加以讨论：第一种是根据元件的功用来研究元件。在这种情况下，可以分成测量、放大、执行等作用及其他作用的元件。当研究系统的结构组成时，采用这种方法比较方便。利用这种划分方法，根据系统原理图可以很容易画出系统方块图。第二种观点是按照运动方程式将元件或系统划分成若干环节。在建立数学模型，研究系统的动态特性时，用这种方法可以使问题得以简化。所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或几个元件。环节方程中的系数只取决于本环节中元件的参数，与其他环节无关。划分环节时应注意相邻两个元件间的相互影响。元件前后

34、连接时，前一元件的输出信号就变成后一元件的输入信号，后一元件就变成前一元件的负载了。元件承受负载后，其运动方程可能改变，即称后一元件对前一元件产生了负载效应。这样，前一元件就不能单独作为一个环节，必须与后一元件同时考虑。在环节划分时必须注意到这一点。利用机理建模法建立系统微分方程的一般步骤如下：1)将系统划分为若干环节，确定每一环节的输入及输出信号，此时应注意前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。2)根据物理学基本定律，写出每一环节输出量与输入量间的数学关系式，即环节的原始方程。3)对每一环节的原始方程进行一定的简化(如非线性因素的线性化处理)及数学处理。4)消去中间变量，最后得到只包含系统

35、输入量和输出量的方程，这就是系统的微分方程。下面按上述步骤建立几个简单系统的常微分方程：1.机械平移系统设有一个弹簧质量阻尼器系统，阻尼器是一种产生粘性摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞，因为这时油液必须从活塞的一端经过活塞周围的间隙(或通过活塞上的专用小孔) 而流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储藏任何动能和热能。可以这样理解，有一个杯子，杯子面积比手掌略大，里面装上大半杯水，然后把手掌平着往杯子里的水按下去，就会有水没过手背，同时手掌会感觉到有阻力。这就和阻尼器很

36、类似。此外，洗脸时倒上半盆水，然后把手掌平着往下按，同样感觉也有阻力。机械平移系统如图所示：图中k为现性弹簧，B为阻尼器，m为物体。记外力u为系统的输入量，输出量为质量m的物体的位移x。目的是求系统输出量x与输入量u之间所满足的关系式，即系统的微分方程。取质量m，根据牛顿第二定律有 。式中，u1为阻尼器的阻力，u2为弹力，u1和u2为中间变量，必须找出它们与系统有关参数之间的关系，这样才能消去它们。 设阻尼器的阻尼系数为B，弹簧弹性系数为k，则有如下两式：和 在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，系数即运动阻尼。 则是我们非常熟悉

37、的弹簧弹力公式。将u1和u2代入前页的方程式 式1，整理后即可得出系统的微分方程：。这是一个现性常系数二阶微分方程。2.机械转动系统设有一机械转动系统，它由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成，如右图所示： T 作用到系统上的转矩(N·m)； J 负载的转动惯量角速度(rad/s)； 粘性摩擦系数将机械转动系统的牛顿第二定律 。应用到本系统。设输入量为转矩T，输出量为角速度，则有：，式中为阻尼器产生的阻尼转矩，代入上式，即消去中间变量T1得到本系统的微分方程：。若设系统的转角为，则上式可表示为。可见，以转角为输出量时该系统亦为线性常系数二阶系统。 3.电气系统图为由电阻R、电感L和电容C组成

38、的R-L-C电路。试建立以电压ur(t)为输入量，电量q为输出量的系统微分方程：根据基尔霍夫定律写出电路方程如下：和。消去中间量i便得到系统的微分方程式：。 根据相似原理的连续物理系统规范化建模模型类型相似参数模型机械平移质量M阻尼N刚度K位移y速度V力F 机械转动惯性矩J阻尼刚度K角位移角速度力矩T R-L-C电路电感L电阻R电容1/C电量q电流I电压U  观察上一节的三个例子推出的各种系统的运动方程(数学模型)，尽管它们的物理模型不同，但却可能具有相同的数学模型，这种具有相同的微分形式的系统称之为相似系统。在微分方程中占据相同位置的物理量称之为相似量，比较上面

39、三个方程可以看出它们具有相同的数学模型，是相似系统。尽管各种物理系统的结构不一样，输入量、输出量以及中间变量可以是各种不同的物理量，但它们的运动方程却有下列几点共同之处：1）常参量线性元件和线性控制系统的运动方程都是常系数线性微分方程。2）运动方程的系数由元件或系统本身的参量组合而成，因而都是实数。3）运动方程式的形式取决于元件或系统的结构及在其中进行的物理过程，即取决于元件或系统本身的特殊矛盾。因此运动方程是揭示系统内部特殊矛盾的工具，它的解反映了元件或系统的运动规律。4）对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运动方程式的形式也就不同。5）所有一维常系数线性系统的运动微分方程式都可以表

40、示成下列普遍形式。式中，x和y分别为输入量与输出量，n>mA 下面来看连续物理系统的规范化建模方法。物理系统大都是连续系统。各类物理信息系统在信息传递规律上是相似的。它们都遵守基本的守恒原理(质量守恒、能量守恒和动量守恒等)和连续性原理。这就给数学建模带来了极大方便，并提供了规范化建模方法。这种规范化的建模方法和步骤可归纳如下： 1 确定系统基本物理变量设x代表该物理系统的基本物理变量，则任意时刻守恒原理可表达成下列模式 。式中，为x各分量之代数和。 2 选择独立的特征变量特征变量指一类物理系统的独有变量，即上述基本物理变量在特定物理系统下的表征，如电流、电压、质量、作用力、刚度等(见下

41、页表格)。通常，基本物理量需要用一个或多个特征变量来表示。如能量可用电流和电压来表示。3 推导数学模型：推导是以1和2为基础进行的。物理系统特征变量基本守恒变量功率对偶纵向的横向的电气的电流i电压e能量ie机械的(直线)作用力f速度v动量fv机械的(旋转)扭力矩T角速度w动量Tw流体的流量Q压力p质量Qp热力的热流量Q温度T能量QT化学的质量流Q浓度C质量QC结构的形变负载R能量R例1 设一简单电路系统如右图所示。试建立该物理系统的数学模型。解：1)该电路系统的基本变量显然是能量E。2)选择特征变量有两个，即电流i和电压es。3)分析知，能量的变化速率i×es ，这是注入系统的功率，

42、即。另外，贮存在电容C中的电场能量为。单位时间内电阻R的消耗功率是。于是根据电路中能量守恒规律有。这就是按照上述连续物理系统规范化建模方法得到的该电路系统的数学模型。我们不难看出它是节点A的电流方程式。可见，这种规范化方法同前述机理分析法建模的结果是一致的。B 物理系统的数学模型通式连续物理系统所涉及的工程技术领域大部分是电子的、机械的、气动的、液体的、热力的和结构的等物理分支学科。由上述，这些学科的系统模型一般可用一个积分微分方程式 来描述：。这就是连续物理系统的数学模型通用模式，简称“通式”。对此通式须作如下说明1）通式中的系数A、B、C为确定系统响应特性的常系数，它构成了系统的传输集。其

43、中系数A是容性的，如电容、质量惯性等，通过这类元件的流是超前于源的；系数B为耗散的，如电阻和阻尼惯性等，通过这类元件的流与源是同相位的；系数C为感性的，如电感和柔性惯性等，通过这些元件的流相位滞后于源。2）通式中的w和E分别为系统的输入与输出集合，这两个重要参数确定了通过系统的功率流。3）上述A、B、C、w及E可以是单变量，也可以为一个矩阵或列向量。4）借助此通式可方便地建立比较复杂物理系统的数学模型。5）典型工程技术学科中的微分方程式如下：电气的： 流体的： 机械的：对于直线运动有，对于旋转运动有热力的和结构的方程式就不在此介绍，想要了解的可以自己查阅资料。工程技术系统元件和源的一览表动能势

44、能耗散势能动能力变量流变量电气的电容C电导G=1/R倒电感1/L电压e电流(电荷通量)i=dq/dt机械的(直线)质量M阻尼D刚性K速度v力(线性冲量通量)F=dq/dt机械的(旋转)转动惯量J阻尼D刚性K角速度w转矩(角动量通量)T=dH/dt流体的容性传导性导容性压力p液体流Q=dv/dt热力的热容导热性r温度熵量(熵通量)=ds/dt结构的挠性阻尼迁移率负荷R应力流(形变通量)=d/dt 状态空间模型的建模方法连续系统的常用数学模型有微分方程、传递函数和状态空间模型。我们这里不详细学习传递函数的内容。1. 传递函数与状态空间模型的比较传递函数是描述线性连续系统输入输出特性的一种数学模型，

45、是经典控制理论的数学基础。系统传递函数的建模方法大体可以分为两类：u 直接法：对于简单系统，可对其微分方程(包括状态方程)进行拉普拉斯变化，然后求出Xc(s)/Xr(s)来建立传递函数。u 间接法：对于复杂系统，先求出环节的传递函数，绘制出系统的方块图，然后利用方块图的各种连接及简化法则来计算总的传递函数；或绘制出系统的信号流图，然后求系统总的传递函数。传递函数使用条件：系统初始条件必须为零；一般只适用于线性定常系统，且基本上只限于单输入单输出系统；只能展现给定输入时的输出，而不能提供该系统内部的有关状态信息。传递函数的缺点：有时系统的输出是稳定的，而系统内某些元件出现超过它们额定值的趋势。为

46、了稳定与改善系统性能，要提供与系统内部的某些变量成比例的反馈信号，而不单靠输出。这一点基于传递函数模型的经典设计方法实现观测与控制是困难的，需要一种描述系统的更一般的数学模型，与输出一道给出沿信号流的一些确定的系统变量的状态信息。这就导致了状态空间模型的产生。状态空间模型的一些特点状态空间模型是一种直接的时域模型，对于线性与非线性、定常或非定常的多输入多输出系统的分析与设计是一种很有效的方法。此外，用数字计算机对微分方程进行求解时，都是先将高阶微分方程化为一阶微分方程，然后求数值解。系统的状态方程正好是合乎这种数值解法的一种数学模型。2. 状态空间模型的建模方法：分为直接建模方法和间接建模方法

47、。u 直接法：根据物理学定律直接建立状态空间模型u 间接法：由微分方程建立；由传递函数建立1）根据物理学定律直接建立状态空间模型：基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下：a 确定状态变量，并写出第一组状态变量方程式；写出状态方程时，只需根据物理定义直接写出相应表达式，例如Ý=v(机械平移系统)、éw(机械转动系统)等；b 写出用微分形式描述的系统物理方程c 将上述方程式处理成状态变量表示的状态方程式d 如有必要，再写出输出方程例1 建立如右图所示的机械系统的状态空间模型解：1)选择x1，v1，x2，v2为状态变量(这四个变量是相互独立的)。按定义写出四个状态方程中的

48、头两个。 2)对质量m1、m2的物体进行分离分析(如下图所示)，并应用牛顿第二定律得到两个微分方程式：由以上两式可以得到另外两个状态方程，故系统的状态方程为。若取x1，v1，x2为输出，则有输出方程。系统状态空间模型的矩阵形式为。式中，。3)若选另一组状态变量为x1，v1， x， v，其中， x与 v分别表示弹簧的伸缩量以及与阻尼相关的速度差，则系统的状态方程为。上述两种状态方程中均已设弹簧与阻尼器是线性元件。若弹簧k1与阻尼器B是非线性元件，则弹簧k1的恢复力是弹簧位移的函数，设为fk1(x1)；阻尼器的阻尼是相对速度v的函数，记为fb( v)。上述第二种状态方程可以表示为由本例可知，状态方

49、程不存在唯一性；建立非线性系统的状态方程也并非十分困难。当然解非线性状态方程比解线性状态方程要困难的多，可近似解决。例2 建立RLC电气网络系统的状态空间模型解：设电容C两端的电压为U。该系统中有三个储能元件：电容C与电感L1和L2.系统的初始状态完全有i0时刻电容两端电压和通过电感的电流来确定。如果已知初始条件u(0)、i1(0)、i2(0)和t0时的输入信号e(t)，则完全可以确定在t t0时刻的系统行为。但是只要有一个初始条件是未知的，就不能确定该系统对给定输入的响应了。因此，初始条件u(0)、i1(0)、i2(0)和t0时的输入信号一起构成所需要的最少信息。由此可以得出结论，状态变量应

50、从这四个变量中选取，其中仅有三个是独立的，故只有三个状态变量，令选取x1v，x2i1，x3i2，由电路定理不难建立RLC网络系统的微分方程式： 由上述方程进行变换，写成如下形式 。根据定义的状态变量及输入变量，得状态方程。如果取R2两端的电压和通过R2的电流作为输入变量y1和y2，则输出方程为。上述两个方程组成了系统的状态空间模型。上述两个例子有一个共同的特征，那就是所选择的状态变量都是系统中可以测量到的物理量。我们知道，在反馈控制系统中，除了输出量外，还有其他一些状态量用于反馈。如果状态变量用于反馈，那么反馈设计的手段变得简单。因此，选择系统的物理变量作为状态变量有助于简化设计。选择系统的物

51、理变量作为状态变量的另一个优点是：状态方程的解给出了与物理系统直接相关的一些变量随时间变换的规律。其缺点是：使状态方程的求解变得很困难。2）由微分方程建立状态空间模型：下面讨论采用相变量作为状态变量的系统的另一种状态空间模型。所谓相变量是指一组特殊的状态变量，这组变量是根据一个系统变量及其各阶导数求得的。通常使用的系统变量是系统的输出，而其余状态变量是输出的各阶导数。这样如果知道以微分方程表示的系统数学模型，则相变量状态空间模型是容易确定的。下面分两种情况讨论：u 作用函数不含导数项的情形设系统的数学模型是其作用项f(x,t)中不含导数项的n阶SISO系统的微分方程。选取状态变量：。则方程可改

52、写为有下列n个一阶微分方程构成的方程组 由上面方程组可导出下列状态方程(令f(x,t)=u)：或写成：。若输出为yx1，则输出方程为，式中，。Y的初始条件由状态变量的初始条件x1(0)、x2(0)、xn(0)决定。u 作用函数含有导数项的情形设系统微分方程为。方法一：由于上述方程包含有输入函数u(t)的导数项，故不能简单地把当作一组状态变量。因为如果输入u(t)在tt0时刻出现一个阶跃函数，则产生高阶脉冲函数。这样，状态轨迹将在tt0时刻产生无穷大跳跃。因此，在tt0以后系统的行为将不可能由选定的状态变量唯一确定，即系统将得不到唯一解。对这种情况，关键在于设置的一组状态变量能够消去状态方程的导

53、数项，为此，引入微分算子pd/dt，系统微分方程变为。整理得：。，又(注：下式相当于对式两边同除p，并移项)，同时有。 。将上式写成状态方程的形式，并注意到xn10，则用矩阵表示的系统状态空间模型为 若已知 y 与各阶导数的初值，代入便可直接求出各个状态变量的初值，由此可用计算机解状态方程。方法二：一般输入量中导数的次数小于或等于n，这里讨论次数等于n的情况即b00的情况。当输入量导数项的次数小于n时，所推导的公式仍适用。为了避免在状态方程中出现输入导数项，可按如下规则选择状态变量，设 。其展开式为 式31一般输入量中导数的次数小于或等于n，这里讨论次数等于n的情况即b00。式中是n个待定常数

54、。由上式的第一个方程可得到输出方程，其余可得下列n-1个状态方程。 ，令上式中各阶导数项系数为零，可确定各h值：记，故。则系统微分方程的向量矩阵形式的动态方程为。式中 若输入量中仅含m次导数且mn，可将高于m次导数项的系数置0，仍可使用所得公式。例1 设某系统的微分方程为：。试写出相应的状态空间模型解：该方程的系数ai与bj分别为。矩阵B的元素为。故可直接写出系统的状态空间模型。从上面的分析可以看出：相变量为状态变量提供了一种很好的方法。数学实现很简单。但它有一个很大的缺点：那就是相变量通常不是系统的物理变量，不便测量与控制。既然方程作用函数项中没有导数(即G(s)没有零点)，由输出及其各阶导

55、数给出的相变量，要取得二阶以上导数也是困难的。因此，从测量及控制观点来看，相变量不是一组适用的状态变量。从分析观点出发，正则变量是最合适的。3）由传递函数建立状态空间模型：系统传递函数是描述线性定常(时不变)系统输入与输出间微分关系的另一种方法。为便于实现计算机数字仿真，应将传递函数变换为状态空间模型。由系统传递函数导出系统状态空间模型的方法是先将传递函数用状态变量图描述，然后根据状态变量图中积分器的输出缺点系统状态变量及状态方程。例如一个一阶系统，传递函数是1/(s+a)，便可以用一个带反馈的积分器模拟此传递函数，如图1所示.把积分器的输出y看成一个状态变量，积分器的输入是ý，将y与ý标在模拟图上，便得到状态变量图(图2)。可以看出：