渭南师院物理系

1、主讲：物理系教授主讲：物理系教授 孟振庭孟振庭 像用电力线形象地描绘场强分布一样，我们可以像用电力线形象地描绘场强分布一样，我们可以用等势面来形象地描绘电势的分布。用等势面来形象地描绘电势的分布。（用图中虚线表示等势面，（用图中虚线表示等势面，实线为电力线）实线为电力线）几种典型等势面几种典型等势面因为因为 U U = = rq041.1.点电荷的等势面点电荷的等势面所以等势面为一组同心球面。所以等势面为一组同心球面。一一. .等势面等势面 所谓所谓等势面，就是电势相等等势面，就是电势相等的点集合而成的曲面。的点集合而成的曲面。电偶极子的等势面电偶极子的等势面+电平行板电容器电平行板电容器电场

2、的等势面电场的等势面+复杂带电体的等势面一般由实验测定。但对于任复杂带电体的等势面一般由实验测定。但对于任何带电体所产生的静电场的等势面都具有以下何带电体所产生的静电场的等势面都具有以下基基本特征本特征： (1) (1)沿等势面移动电荷时静电力不作功沿等势面移动电荷时静电力不作功。因为在等。因为在等势面上任意两点的电势差为零，所以势面上任意两点的电势差为零，所以A AqU qU = 0 .= 0 .badlE0/dlEbadlE (4) (4)等势面密处电场强等势面密处电场强，等势面疏处电场弱，等势面疏处电场弱. .因为因为一般等势面间的电势差都是相等的，比如都一般等势面间的电势差都是相等的，

3、比如都是是10V10V，这样由这样由U U 可知，可知，l l小处，即等势面密小处，即等势面密度大处电场度大处电场E E 大。大。 (3) (3)等势面与电力线处处正交等势面与电力线处处正交。因为若等势面与电。因为若等势面与电力线不正交，则在等势面上就有场强的平行分量，这样力线不正交，则在等势面上就有场强的平行分量，这样，U Uabab= = 就不是等势面。因此在实际中常常是先就不是等势面。因此在实际中常常是先找等势面而后画电力线。找等势面而后画电力线。 (2) (2)等势面的电势沿电力线的方向降低等势面的电势沿电力线的方向降低， 因为因为 U U = = 所以当所以当E E与与l l同方向时

4、，同方向时，U Uabab 0 0，即，即U Ua aU Ub b 。 二二. .电势梯度电势梯度 在电场中任取两相距很近的等势在电场中任取两相距很近的等势面面1 1和和2 2， 电势分别为电势分别为U U 和和U U +d+dU U，且且d dU U0.0.等势面等势面1 1上上P P1 1点的单位法向点的单位法向矢量与等势面矢量与等势面2 2正交于正交于P P2 2 点。点。1UU+dU2P1nP2P3 n 在等势面在等势面2 2任取一点任取一点P P3 3 ，设，设nppd21lppd31 则则 cosdd ln cosddddnUlUbadlE 场强和电势分别是从力和能不同角度描绘电场

5、的两场强和电势分别是从力和能不同角度描绘电场的两个重要物理量，因此二者必有相互联系，其积分关系个重要物理量，因此二者必有相互联系，其积分关系就是上节学过的就是上节学过的 U U = = 定义定义: :电势梯度电势梯度nnUUddgrad 方向与等势面垂方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。直，并指向电势升高的方向。其量值为该点电势增加率的最大值。其量值为该点电势增加率的最大值。 电荷电荷q从等势面从等势面1移动到等势面移动到等势面2，电场力做功，电场力做功lEdd qA而电场力做功等于电势能的减少量而电场力做功等于电势能的减少量 cosd lqEnqE d三三. .电势梯度与电场强度的关系电

6、势梯度与电场强度的关系 UqAddnUEdd1U2P1P2P3 U+dUnE若若U U0,0,而而 ，则，则E0E0；0lU 反之，在反之，在E E0,0,而而 处的处的U U也不一定为零。场也不一定为零。场强是与电势的变化率有关，而非这点的电势所能确定。强是与电势的变化率有关，而非这点的电势所能确定。上式还给出了场强的另一常用单位：伏米上式还给出了场强的另一常用单位：伏米(V/m)(V/m)0lU如果在电场中取一直角坐标系如果在电场中取一直角坐标系oxyzoxyz，并把，并把x x，y y，z z的方的方向分别取作向分别取作dndn各分量的方向，则可得各分量的方向，则可得xUExyUEyzU

7、Ez 矢量形式为矢量形式为UnUgradddnE 所以场强与电势的微分关系可表述为：某点电场强所以场强与电势的微分关系可表述为：某点电场强度就等于该点电势的负梯度，其分量度就等于该点电势的负梯度，其分量E El l 就等于该点电就等于该点电势梯度在这个方向上投影的负值。势梯度在这个方向上投影的负值。若若U U为常量，则为常量，则E E必为零；必为零； 场强与电势的微分关系在实际应用中很有用处，它场强与电势的微分关系在实际应用中很有用处，它为我们提供了为我们提供了求解电场强度求解电场强度E E的第三种方法的第三种方法，那就是，那就是先求出电势先求出电势U U，然后算出，然后算出E Ex x，E

8、Ey y，E Ez z，从而求，从而求得得E E，由于，由于U U是标量，所以比直接积分求是标量，所以比直接积分求E E就更为容易就更为容易些。些。 3 3利用电势梯度求场强利用电势梯度求场强 例例1.1.计算电偶极子较远处的电场。计算电偶极子较远处的电场。解：解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，在直角坐标系中先写出电势的表达式，yP(x,y)-L/2+q-qL/2rqrqU004141rrrrq04r-r+rO20cos4rLq204cosrP2/3220)(4yxPxxUEx2/522022)(4)2(yxyxPyUEy2/5220)(43yxPxyX讨论：讨论：1. 1. 在在X X轴上，轴上，y=0y=0，则，则302xPEx0yE与用叠加原理得到的结果一致。与用叠加原理得到的结果一致。302yPEx0yEP(x,0)-L/2L/2xyOE+q-qP(0,y)E2. 2. 在在Y Y轴上，轴上，x x=0=0，则，则例例2. 2. 计算均匀带电圆环轴线上的电场。计算均匀带电圆环轴线上的电场。XopxRr解：解：P点电势点电势rqUd041 2/ 1220)(4xRq2122041/)