数学建模研究――存贮问题

1、关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究 胡京爽(青岛理工大学理学院,青岛 2660331、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的, 主要的教学方法一般都是案例 式教学,通过剖析各种各样的建模案例,让学生体会学习数学建模的实际过程, 积累经验。 但是案例式教学内容不应当太过分散, 不能完全就是一个一个案例讲 解, 而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律, 这 种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。存贮模型从最简单的微积分优化模型, 到具有随机需求、 随机供货以及多供 应商的数学规划模型, 通过详细解剖分析这些模型的特点, 能让学生体会到从简 单

2、到复杂的循序渐进的建模过程;人口模型则是微分(常微和偏微方程、差分 方程、 随机微分方程模型的综合体现, 能够体现出利用客观的平衡规律, 对同一 个背景下的问题可以从不同的角度进行分析, 用不同的数学理论与方法进行描述 和求解的过程; 0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义 的专门方法,用这种方法可以解决一系列的问题。本文探讨的是在教学过程中, 在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础 上,如何设计教学内容,体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、 统一性等规律, 让学生得到良好的建模实战训练, 全面提高学生数学建模的综合 素质和能力。下面介绍三个实例,可以选为数学

3、建模教学的参考案例。2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。 要根据市场需求量状况、 存贮费用、 订购 费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等,综合分析,确定使得 费用最小或者使得盈利最大的计划。该类模型类型丰富,层次分明,多种模型体现了有机的统一。其数学理论 方法涉及到简单的优化分析、 综合的规划分析、 随机优化分析等, 特别是在计算离散数量的和时, 用到了将离散和转换成定积分计算、 并进而转换成计算几何图 形面积的方法,在目标函数的构建上,利用平均值作为优化目标的建模方法等。 存贮模型从大的方面分类,可以分成两大类:确定进货周期和随机进货周 期两

4、类,前类指的是,确定一个周期时段,到了时间就进货,一般都要等该次进 的所有物品都用完以后, 马上进货或者过一段时间再进, 这就是不允许缺货与允 许缺货的模型; 或者是规定在本次进的货用到一定的数量后再进货, 这在本质上 是一样的。 这种模型的一个重要条件是要求准确知道单位时间的固定需求量, 依 此就可以确定一个周期内要进多少货, 以及多长时间完成一个周期。 确定进货周 期的模型还有一种情形, 就是进货的过程不是一次完成的, 而是有一个时间过程, 这也有两种情况, 一是周期开始时每个单位时间进一批, 边进边用, 并且由于单 位时间内进货的数量大于使用的数量, 因此, 积累达一定的数量以后, 就不

5、再进 了,开始消化使用,一直到全部用完,再开始下一个周期的循环。另一种是开始 可以缺货, 然后过一段时间在开始逐步进货, 首先要补足前面的欠账, 然后开始 和前面的这个过程相同的过程,见后面的模型。另一类存贮模型是有随机需求的存贮模型,除了需求量是随机变化的外, 其它条件基本上相同,但是由于计算存贮费需要用到累积存贮量 ,严格分析起 来需要利用多元随机分布, 因此简化起来看就用一个周期内每个单位时间内的需 求量的平均值, 这样就化成了前面的有确定需求量的存贮模型; 另外还可以这样 处理,假设一批货进来以后,一次性地销售,剩下的存贮起来,直到本周期进行 完。然后。考虑两种情形,一种是余下的全部退

6、回,一种是余下的作为下一个周 期初始存货, 再来决定进多少, 使得对于所有的这种周期下的费用或者盈利考虑 平均值,达到优化的目标。 t1C :单位时间单位物品的存贮费 ; :一次订购的固定费 ; 3C R:单位时间内消耗的物品数量0Q :使得在一个生产周期内 , 平均费用最小的初始存货量 ; 0t :使得平均单位时间内费用最小的生产进货周期 . 312130RC C C C (2C t +=21320C C R C 2C S +=最优解 其中 : 1C :单位时间单位物品的存贮费 ;: 单位时间单位物品的缺货损失费C 23C :一次订购的固定费 ;R: 单位时间内消耗的物品数量0S :使得在一

7、个生产周期内 , 平均费用最小的初始存货量 ; 0t :使得平均单位时间内费用最小的生产进货周期 . R P (P C R 2C P Rt T 1300=1C :单位时间单位物品的存贮费 ; :一次订购的固定费 ; 3C R:单位时间内消耗的物品数量;P: 单位时间生产的物品数量;0Q :使得在一个生产周期内 , 平均费用最小的初始存货量 ;:使得平均单位时间内费用最小的生产进货周期 . ; 0t :使得平均单位时间内费用最小的生产时间; t , 01:时间内存贮为 0, B 表示最大的缺货量;t , t 21:除了满足顾客的每人需求外,还要补回原来缺少的物品;t , t 32:时间内满足需求

8、后的产品进入存贮,存贮量以速度 (P-R增加。 S 表示存贮量 , 时刻存贮量达到最大 , 时刻停止生产。3t 3t t , t 3: 时间内存贮量以需求速度 R 减少。基本关系: 1Rt B = t t (R P (B 12= C t PRR P (C 21 t -t (P R R P (C t 1 t C(t,32222212+= RP P . C C C . R C 2C t 231130+= 平均费用最小的循环周期; 00Rt Q = 平均费用最小的需求量;PR P . C C C . C R 2C t t (R S 21213300+=:最大存贮量; PR -P . C C (CR

9、C 2C B 221310+= :最大缺货量; p R -P . C C C .如图所示:期初有存贮量 ;商品定货费:;每件商品单位时间的存贮 费为 ; 单位商品单位时间的缺货费为 ; 单位时间需求量为 r ; L 为固定订货 点; x :表示从订货到全部交足货物的时间;交货时间的分布密度函数为 p(x。1C Q 2C 3C 基本关系模型:一个交货周期的期望费用为xdx (p 2r L -(rxc 2r Q cxdx (2r rx L (Q c c L (C r L 2322r L 02221+= (E r L -Q L (T x +=进货周期的期望:( ( (L T L C L S = 单位

10、时间的费用: ( ( (*' *x rE Q L C L C L += 最优订货点满足关系: 可以由下面的图 6用几何方法求出来。 *L 图 5 图 6从一般的意义看,上面所涉及到的各种存贮模型实际上都可以将单位时间 的需求量由确定不变改为随机需求, 这样就将原来的一个周期内的各种费用的计 算进行分类计算,然后计算出所有周期费用的平均值。就是说,原来的费用函数实际上是:原来的一个周期内的每个时间单位上 的需求量是固定的, 因而只需要求出平均的存贮总量, 然后乘上单位存贮费用即 可。 但是, 如果每天的需求量是变化的, 那么计算一个周期内的存贮量可以用平 均每个时间单位的需求量来近似替代

11、随机变化的需求量, 进而计算方法与原来的 模型是一样的。另外,还可以有下面形式的随机需求存贮模型。(1 不考虑缺货损失费和单位时间内需求量的存贮模型这样的模型考虑的仅仅是进货以后,进行一次性的消费需求,不考虑一个周 期内的单位时间随机需求导致的存贮模型。问题:货物的成本为 K ,货物的 单位售价为 P ,单位贮存费为 C 1,需求量 r 为连续的随机变量,分布密度为 r (,分布函数为 ,订购的数量为 Q ,确定订购的数量 Q ,使得在单位时间内的盈利期望值最大? 0a , dr r ( a (F a>= 计算:当给定了购货量后,根据市场的不同的需求量,有不同的盈利计算方 法,最后对不同

12、的情形进行平均计算而得到平均的赢利,以作为目标优化函数。存贮费用: >=Q r 0, , -Q C Q (C 11Q r r ( 盈利的期望值为:+=Q Q Qdr r r Q C KQ dr r PQ dr r Q W E 001 ( ( ( (Pr (PC K P dr r (1Q0+=计算结果: 方程 的解 就是使得赢利最大的定货量。 *Q (2 考虑缺货损失费、单位时间内的存贮模型问题:货物的成本为 K ,货物的 单位售价为 P ,单位贮存费为 C ,单位缺货 1费 为 C 2, 需 求 量 r 为 连 续 的 随 机 变 量 , 分 布 密 度 为 r (, 分 布 函 数 为

13、,期初的存货量为 I ,订购的数量为 Q ,确定订购的数量 Q ,使得在单位时间内损失的期望值最小的?0a , dr r ( a (F a>= 模型及计算:在本阶段中,需要的定货费为 KQ C 3+平均存贮费为:; dr r ( r S (C SI Q 01=+ 平均缺货的费用为:dr r S r ( (C S3+ 总的平均费用为:= S (C KQ +dr r ( r S (C S I Q 01=+dr r S r ( (C S 3+C 3+212S Q I 0C C K C dr r (+=+ 最优解满足: 现在考虑不订货的情况:因为在任何的初始存贮量的情况下,都有两种选 择,一是订

14、货,根据上面的分析,必须订到最小费用的 S ,这时对应一个最小费 用值, 但是如果不订货的话, 费用可能由于没有订货费而减小, 因此我们来考察 满足下面不等式的所有的初始存货状况 s:Ks +dr r ( r s (C 01s dr r s r ( (C s 3+KS C 3+dr r ( r S (C S I Q 01=+dr r S r ( (CS 3+ 满足不等式的 s 都是不订货时的费用不超过订货时所有订货量对应费用的 最小值, 因此, 仅仅从费用的意义上看, 这个时候就不应该定货, 并且容易看到, 满足这个不等式的 s 的集合有最小值,当期初的存货量小于该最小值的时候就 要订货,否则

15、就不用订货。这个模型对应的两个数 S 和 s ,就形成了订货的 (S,s策略。按照前面的模型, 现在考虑一种特殊形式的存贮模型。 一家商店进行钢琴销 售,每隔一段时间就要决定进多少钢琴、什么时间订、一次订多少等等,时间周 期可以根据实际的控制情况, 根据实际的生产供应渠道等来决定, 一般情况下都 是固定周期的供货销售模式的, 关键是进多少的问题, 而这往往考虑到在每个周 期上能够销售多少。 根据以往的经验, 平均每周只能卖出 1架钢琴, 现在经理制 定的存贮策略是每周根据检查期末的存货量, 来决定下周的进货量, 因为已经知 道了每周的销售数量, 现在规定了进货的方式, 不是一下子总要进, 实际

16、上前面 我们已经分析了这种情况, 就是, 要么不进, 要么进的话就要进的使得费用最小, 那么我们现在关心的是, 按照这样的存贮、 进货以及销售状况来看, 这样下去的 话, 每周的钢琴数量能售出多少, 剩下多少, 就是说每周具体有多少钢琴在等待 销售?特别是关心, 市场需求量超过了钢琴拥有量的情况, 在所有的销售周期中 占多大的比例?实际上平均每天能够卖出多少的钢琴?假设:第 n 周的销售量为n D 第 n 周的期初拥有量n S 开始以后每一周都存在着销售量和存货量的关系, 每一周的情况是随机的, 潜在的销售数量和期初的拥有量都是随机的数量。 这是由于每一期的拥有量与前 一期的销售量有关, 并且

17、显然是由递推关系决定的。 这是一个随机的过程, 考虑 了随机变化的每个随机变量。当然,也要研究随着时间的延伸,这样的过程能否稳定下来,可以考虑稳 定状态下的分布规律。 考虑相邻两个时间段上的潜在的数量的分布规律, 就是概 率分布。因为状态是前后相联接的。考虑概率转移矩阵:计算出来得到368. 0 0( 11(111=+n n n D P S S P p0 12(112=+n n S S P p362. 0 1( 13(113=+n n n D P S S P p368. 0 1( 2(121=+n n n D P S S P p368. 0 0( 22(122=+n n n D P S S P

18、 p264. 0 2( 23(123=+n n n D P S S P p184. 0 2( 31(131=+n n n D P S S P p368. 0 1( 32(132=+n n n D P S S P p448. 0 3( 0( 33(133=+=+n n n D P D P S S P p=448. 0368. 0184. 0264. 0368. 0368. 0632. 00368. 0P ( (i S P n a n i =, (, (, ( (321n a n a n a n a =P n a n a ( 1(=+452. 0, 263. 0, 285. 0( , , (321

19、=稳态概率为:计算结果 1:计算失去销售机会的概率=>=>31 ( ( (i n n n n n i S P i S i D P S D P105. 0452. 0019. 0263. 008. 0285. 0264. 0=×+×+×=这就是在每一天丧失销售机会的概率, 实际上就是这一天潜在的各种数据中 的一种情况的比例数,当然也是从长期来看,在销售的时间里,不够卖的比例。 计算结果 2:计算该存贮策略下平均销售量。用条件数学期望的计算方法,得到:( (3111i S P i S i D iP i S j D jP R n i n n i j n n

20、n =+=<1857. 0452. 0977. 0263. 0896. 0285. 0632. 0=×+×+×=因平时卖的数量是在供货充足的情况下实现的, 而现在的平均数则是还要根 据当天的实际的供货量, 因此存在着不够卖的情况, 因而导致了平均销售量小于 平均的需求量的情况。我们可以通过分析上面各个模型的共性和差异性, 系统、 全面、 深入地了解 和掌握存贮模型的基本规律,作为我们教学的重要内容。我们在教学过程中要善于对这些模型进行分析和总结, 或者根据问题的 不同特点,在讲了一个或几个有代表性的模型以后,根据教师提示让学生进 行讨论、扩充和完善,这有助于

21、训练学生的发散性思维能力,自然这里面也 体现了创新性的思维能力训练。2.2 人口系列模型在数学建模教学中, 加强综合性模型的教学是非常重要的。 存贮模型体现的 是同类型的实际问题, 由于问题的细节有所不同, 导致了不同的数学模型, 存贮 模型有不同的各种类型, 然后基于不同的条件得到不同的数学模型, 这体现了一 个大类模型下的各种不同情形下的不同数学模型。人口模型则体现了对统一个实际问题可以用不同的模型描述分析。我们可 以从这样的成批的数学模型中体会到数学模型的多样性、 层次性, 加强系统性的 训练教学,这对于全面提高数学建模的能力非常重要。(1 一般指数模型考虑某个特定地区,在时间 t 时的

22、人口数量的总数的变化规律。根据人口数 量的变化规律的内在特征,我们可以表现出人口数量的内在的变化规律 .rx dtdx =0 0(x x = 结果:rt e x t x 0 (=(2 阻滞增长模型考虑到当人口增长到一定的程度以后,人口的增长率会发生变化,将依赖于 当前的数量,因此变化规律模型要分开来讨论。1( (mx x r x x r dt dx =0 0(=x 模型:rtm me x x x t x += 1(1 (0计算结果 : 研究某个特定地区的特定时间段内的时刻 t 时人口数量按层次的数量分布的 结构关系,以及这种结构的变化规律。引入下面的记号:t p(r, 表示 t 时刻的人口密度

23、; , (t r 表示 t 时刻单位时间内人口死亡数; drdt t r p t r dr dt t dr r p dr t r p , ( , ( , ( , (1=+ 基本关系满足:重组分析并取极限计算以后得到模型:, ( , (t r p t r tp r p =+, ( , (t r p t r t p r p =+ 偏微分方程模型: ( 0, (0r p r p =( , 0(t f t p =计算的结果为: >=r t et r f r t e t r p t r p rrn k k x i ,., 2, 1, 0, (=2、时段 k 上第 i 年龄组的人口数为 ,3、时段

24、k 上第 i 年龄组的平均繁殖率为 ,就是在一个时段上的平均生育数量,i b 4、 时段 k 上第 i 年龄组死亡率为 , 就是一个时段内死亡数与总数之比, i d i i d s =15、 就是存活率;=+ni i i k x b k x 11 ( 1(数学模型:1,., 2, 1, ( 1(1=+n i k x s k x i i iT n k x k x k x k x (,., (, ( (21=矩阵 =000000121121n n n s s s b b b b L O O L L ,. 2, 1, 0, ( 1(=+k k Lx k x 向量模型结果:,. 2, 1, 0( (=

25、k x L k x k *1 (lim cx k x k k = 是矩阵 L 的唯一正的特征值1* (x c k x k ( 1(k x k x +稳定分布为:假设:时刻 t 时的人口数量为 ,取整数,是随机变量,概率分布为:(t X . 2, 1, 0, ( (=n n t X P t P n ,就是比例数;在人口为 n 时,出生一个人的概率与时间长度成正比,即为 t b n ,出生两个以上的概率为 ;(t o 在人口为 n 时,死亡一个人的概率与时间长度成正比,即为 t b n ,出生两个以上的概率为 ;(t o n d n b n n =,为单位时间内 n=1时一个人的出生和死亡的概率;

26、, 模型:( 1( ( ( (1111t o t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n +=+( ( ( (1111t nP t P d t P b dtdP n n n n n n +=+ ,即开始时只有一种情况,而后就 =00, 0, 1 0(n n n n P n 考虑的是各种可能的变化数量;考虑均值:=1 ( (n n t nP t E ( (t E dtdE =0 0(n E = 得到模型: 1 ( ( (10+=+=t t N e n t D 在教学中我们可以利用上面的模型案例进行集中教学,由于数学模型课 程都是在学完了一些

27、必备的基础数学课程以后开设,因此我们就可以通过对 人口问题进行建模分析,让学生体会到一个实际问题可以用不同的数学理论 和方法进行分析,建立不同的数学模型,而达到相同的解决问题目的。当然 人口模型还有其它的形式,也可以作为课后作业留给学生,让学生课后进行 查阅分析,进行不同模型的分析对比,这对于提高学生的深入分析问题解决 问题的能力是显而易见的。2.3 0-1变量方法在规划等问题建模中的应用我们知道,在数学规划模型中, 0-1变量的使用是非常有用的,通过引入 0-1变量,能够非常巧妙地将数量关系表现出来。我们不妨就把这种方法叫做 0-1变 量法, 实际上可以看成是数学建模方法中的一个子方法。 下

28、面我们通过一些例子 来看 0-1变量法的使用。某公司有两种原油 A , B ,要混合加工成两种汽油甲和乙。甲、乙两种汽油 含原油 A 的最低比例分别为 50%和 60%,每顿的售价为 4800元和 5600元,该公司现在有原油 A 和 B 的库存量为 500吨和 1000吨,还可以从市场上购买到不 超过 1500吨的原油 A 。原油 A 的市场价格为:购买量不超过 500吨时,单价为10000元 /吨,购买量超过 500吨但不超过 1000吨时,单价为超过 500吨的 8000元 /吨,购买量超过 1000吨时,超过的部分 6000元 /吨。问题:该公司如何安排 原油的采购和加工,使得利润最大

29、?符号引入 :原油 A 的采购量为 ; 采购的和原来有的原油 A 用于甲和乙 的数量为 和 ;原油 B 用于甲和乙的数量为 和 ;原油 A 的购买费用 为:c(x;x 11x 12x 21x 22x x (c x x (5.6 x x (8. 4z Max 22122111+= 规划模型为:+0x , x , x , x , x 6+=15000x 1000, 6x 30001000x 500, 8x 1000500x 0, 10x x (c 为了化成线性规划模型,将变量 x 进行分解:设购买的原油 A 分成三部分:为 10千元 /吨的, 为 8千元 /吨的, 为 6千元 /吨的, 则 。 它

30、们的取值范围是有特定要求的, 就是说这样的三个变量取值需要满足:只能取 到三种组合形式321x x x x +=3x 1x 2x , , , x , 500, 500(3 , 500x 03 0, 0, x (1 0, x , 500(2500x 01500x 02, 那么如 何通过数量关系式将这样的取值状态表现出来呢?方法 1、实际上就是对变量组 (, , 的几种选择, 也可以看成是以这 三个未知数形成的不等式组的解。我们引入 0-1变量:,用它们与原来 的变量 , , 建立不等式组关系式, 使得当 取遍所有的组合值时, 分别得到我们所需要的变量 , , 的取值。3x 1x 2x 321y

31、, y , y 3x 321y , y , y 1x 2x 3x 1x 2x关系式为: =10y , y , y 500y x 500y x 500y 500y x 500y 32133223112或 例如: 0,正好对应着不等式的解为, 0, 1321=y y y 0, 0, x (1 正好对应着不等式的解为 0, 1, 1321=y y y 0, x , 500(2 正好对应着不等式的解为 1, 1, 1321=y y y x , 005, 500(3 的其它组合都使得不等式组无解。在这里,三个变量 起到 了重要的选择作用, 因为在计算时, 计算机会对这三个变量的取值进行组合搭配, 然后带

32、入不等式组中,求出满足不等式的 , , ,得到我们需要的取值形 式和范围。321y , y , y 321y , y , y 3x 1x 2x 方法 2 利用将一个 n 段线性连续函数 f(x写成一个统一表达式的形式。分 点为:,将每一小区间段上的点坐标用一个统一表达式来 表示:,其中 1n n 21b b b b +L +=1n 1k k k b z x 1z 0i ,则有:,但是计算时要分成不同的情况分别用不同计算公式 . 实际上就是要用到变量 的组合形 式:+=1n 1k ( x (f k k b f z 1n 1z , z +L 00, z , z (21L , , ,并且使得;00,

33、 z , z , 0(32L z , z , 0, , 0(1n n +L +=1n 1k k 1z如何通过表达式的计算得到这样的形式的组合呢?可以通过构造含有这些 变量的不等式组,使得它们的解就是这样的形式,也可以通过引入 0-1变量,通 过它们的取值组合,得到不同的不等式组,正好对应着相应的解。令n k ,., 2, 1, 10y k =或 n n n n n y z y z y y z y y z y z +1132321211, y ,., ,. , 使得 , (*并且对于这些 0-1变量也不是任意取值的,还要加上限制条件,确保由相应的这 些 0-1变量构造的不等式的解正好是我们需要的

34、。即=n 1k k 1y就是当 取到n k ,., 2, 1, 10y k =或 0,., 0, 1(, , 时,对应的不等式组 (*正好得到了所有 我们那需要到 ,0 ,. 0, 1, (0 1, 0,., 0, 0( 00, z , z (21L z , z , 0, , 0(1n n +L 这就是 0-1变量的作用, 用它们参与运算, 计算出我们需要的变量组合形式。 通过本例模型可以看出, 0-1变量可以用来将不同的计算形式, 进行统一化处理, 化成一个统一的表达式,然后再利用其中的参数的特殊搭配,实现不同的计算, 而这种特殊的搭配是通过引入 0-1变量构造相应的不等式组, 进而得到所需

35、要到 数据组合搭配形式。问题:某个学校规定, 某个专业的学生毕业时必须至少学习过 门 类课 程, 。现在给出了 n 门具体课程,以及对于这些课程的类型属性和先 后次序上的要求。每门课程都有相应的学分等,确定一个学生要正常毕业的话, 应当如何选课程,使得满足这些要求并且学习课程门数最少,并且学分最多?i a i s m ,., 2, 1i =问题分析:由于一门具体的课程可能属于不同的类型, 因此存在着门数较少 的可能,而在较少的门数中,存在着学分数多的情况。实际上这个问题就是选择问题, 就是从所给的课程中选择某些课程, 使得符 合要求, 那么如何表示选择的课程, 并且对他们的特征进行量化分析呢?就要给 相应得课程进行量化,首先课程有学分数,我们可以给每个课程一个符号名称, 但是它们不能参