求数列通项公式提升练习题(附答案和方法归纳)

1、数列11、 已知数列n a 满足1232n n n a a +=+,12a =,求数列n a 的通项公式。2、 已知数列n a 满足11211n n a a n a +=+=,求数列n a 的通项公式。3、 已知数列n a 满足112313n n n a a a +=+=,求数列n a 的通项公式。4、 已知数列n a 满足1132313n n n a a a +=+=,求数列n a 的通项公式。5、 已知数列n a 满足112(153n n n a n a a +=+=,求数列n a 的通项公式。6、 已知数列n a 满足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+

2、- ,求n a 的通项 公式。数列2 1. 已知数列n a 满足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。2:已知数列n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a3、已知数列a n ,满足a 1=1,13211(32-+=n n a n a a a a (n 2,则a n 的通项4、已知在数列n a 中,若111,23(1n n a a a n +=+,则该数列的通项n a5、 已知数列n a 中,651=a ,1121(31+=n n n a a ,求n a 。6、已知数列n a 中,11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=

3、+,求na7、已知数列n a 前n 项和2214-=n n n a S .(1求1+n a 与n a 的关系;(2求通项公式n a .8、已知数列n a 中,2111,1n n a aa a =+0(>a ,求数列.的通项公式n a9、已知数列a n 满足:1,13111=+=-a a a a n n n ,求数列a n 的通项公式。10、.已知数列n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,1n n S a n a +=+= ,设数列,2,1(21 =-=+n a a b n n n,求证:数列n b 是等比数列;设数列,2,1(,2=n a c n nn,求证:数列n

4、c 是等差数列; 求数列n a 的通项公式及前n 项和。数列1:答案1、 已知数列n a 满足1232n n n a a +=+,12a =,求数列n a 的通项公式。解:1232n n n a a +=+两边除以12n +,得113222n n n n a a +=+,则113222n n n n a a +-=,故数列2nna 是以1222a 11=为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(122n n a n =+-,所以数列n a 的通项公式为31(222nn a n =-。2、 已知数列n a 满足11211n n a a n a +=+=,求数列n a 的通项公

5、式。(累加法解:由121n n a a n +=+得121n n a a n +-=+3、已知数列n a 满足112313n n n a a a +=+=,求数列n a 的通项公式。解:3 1.n n a n =+-评注:本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+转化为1231n n n a a +-=+,进而求出11232211(n n n n n a a a a a a a a a a -=-+-+-+-+ ,4、已知数列n a 满足1132313n n n a a a +=+=,求数列n a 的通项公式。解21133.322n n na n =+- 评注:本题解题的关

6、键是把递推关系式13231n n n a a +=+转化为111213333n n n n n a a +-=+,进而求出112232111122321(333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+-+-+ ,即得数列3n n a 的通项公式,最后再求数列n a 的通项公式。5、 已知数列n a 满足112(153n n n a n a a +=+=,求数列n a 的通项公式。解:n a 的通项公式为(112325!.n n n na n -=评注:本题解题的关键是把递推关系12(15n n n a n a +=+转化为12(1

7、5nn na n a +=+,进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a - ,即得数列n a 的通项公式。 6、已知数列n a 满足11231123(1(2n n a a a a a n a n -=+- ,求n a 的通项公式。解:n a 的通项公式为!.2nn a =评注:本题解题的关键是把递推关系式1(1(2n n a n a n +=+转化为11(2n n a n n a +=+,进而求出132122n n n n a a aa a a a - ,从而可得当2n n a 时,的表达式,最后再求出数列n a 的通项公式。求数列通项公式方法归纳类型1(1n

8、 f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法求解。 如:已知数列n a 满足211=a ,nn a a n n +=+211,求n a 。类型2 n n a n f a (1=+ 解法:把原递推公式转化为(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法求解。 如:已知数列n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+1(n ,求n a 。类型3q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,01(-p pq 。 解法(待定系数法

9、:把原递推公式转化为:(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。 如:已知数列 a n 中， a1 = 1 ， a n +1 = 2a n + 3 ，求 a n . 类型 4 a n +1 = pan + q （其中 p， 均为常数， pq( p - 1(q - 1 ¹ 0 ） q 。 an +1 = pan + rq , （或 ( n n 其中 p，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q n +1 ，得： a n+1 p a n 1 = · + 引入辅助数列 q n+1 q q n q b

10、n （其中 bn = a n ） ，得： bn +1 = n q 如:已知数列 a n 中， a1 = p 1 bn + 再待定系数法解决。 q q 5 1 1 n+1 , an+1 = an + ( ，求 a n 。 6 3 2 类型 5 递推公式为 an+ 2 = pan+1 + qan （其中 p，q 均为常数） 。 解法一(待定系数法：先把原递推公式转化为 an + 2 - sa n+1 = t (an +1 - sa n 其中 s，t 满足 ìs + t = p í îst = -q 解法二(特征根法： 对于由递推公式 a n + 2 = pan +1

11、+ qan ， 1 = a , a 2 = b 给出的数列 a n ， a 方程 x - px - q = 0 ， 叫做数列 a n 的特征方程。 x1 , x 2 是特征方程的两个根， x1 ¹ x2 若 当 2 时，数列 a n 的通项为 a n = Ax1 n -1 n + Bx2 -1 ，其中 A，B 由 a1 = a , a 2 = b 决定（即把 n 代入 得到关于 A、 的方程组）当 x1 = x2 时， B ； a1 , a 2 , x1 , x2 和 n = 1,2 ， a n = Ax1n -1 + Bx2 -1 ， 数列 a n 的通项为 an = ( A +

12、Bn x1 ， 其中 A， 由 a1 = a , a 2 = b 决定 B （即把 a1 , a 2 , x1 , x2 n -1 和 n = 1,2 ，代入 a n = ( A + Bn x1 ，得到关于 A、B 的方程组） 。 如：数列 a n ： 3a n + 2 - 5a n +1 + 2a n = 0(n ³ 0, n Î N ， a1 = a, a2 = b ，求数列 a n 的通 项公式。 n -1 类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n = f (an 解 法 ： 这 种 类 型 一 般 利 用 ìS1 × &#

13、215; × × × × × × × × × × × × × ×(n = 1 an = í îS n - S n-1 × × × × × × × (n ³ 2 与 an = S n - S n-1 = f (an - f (an-1 消去 S n (n ³ 2 或与 S n = f ( S n - S n-1 (n ³ 2 消去 a n

14、进行求解。 如：已知数列 a n 前 n 项和 S n = 4 - a n - 1 2 n-2 . （1）求 an+1 与 a n 的关系； （2）求通项公式 a n . 类型 7、 an+1 = pan ( p > 0, an > 0 r 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an+1 = pan + q ，再利用待定系数法求解。 如：已知数列 a n 中， a1 = 1, a n+1 = 1 2 的通项公式. × an (a > 0 ，求数列 an a 类 型 8、 a n +1 = f ( n a n 解 法 ： 这种 类型 一 般 是等 式 两边 取 倒数 后 换 元转 化 为 g ( n a n + h( n an+1 = pan + q 。 如：1、已知数列an满足： a n = a n-1 , a1 = 1 ，求数列an的通项公式。 3 × a n-1 + 1 2、若数列的递推公式为 a1 = 3, 1 1 = - 2(n Î ¥ ，则求这个数列的通项公式。 an +1 an 3、已知数列 a n 满足 a1 = 1, n ³ 2