数学建模实验九

1、实验九 096160081 李杰峰1、完成下列两题中的任一题，给出分析过程并对结果作出必要的解释：书上173页的习题3；书上173页的习题4；2、 建模解决野兔的数量问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。4在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力相同. (1) 问乙方取

2、胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负. 解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为.再由初始条件，得又由其解为 (1) 即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则 相轨线为 此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为2、建模解决野兔的数量问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.31969

3、4.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。解：问题重述：野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野

4、兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素：（1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。（1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。（2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。（3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟 假设：上述，野兔生长问题，我们假设（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。（2），假设各个环境因素对野兔生长

5、的影响是互不影响的。（3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。（4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；那它是可以用Logistic模型来模拟的。 分析与建立模型：对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。第一个单调增区间T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一个单调减区间T=3T=4

6、T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二个单调增区间T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。模型的求解：对于logistic连续模型，设微分方程为 ，, （1）其中参数a，b 需要通过拟合得到。（1） 的解为. （2）设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组 (3) 这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a 后得b 满足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 满足的方

7、程 (3)求参数a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值0.99999629543280 0.09999899065418 在下降阶段，对

8、于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值当取a, b为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.结论是： 在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic模型：.在 T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic模型；：.在 T=6 到

9、T=9 之间增长规律恢复为logistic模型：.在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.数学建模实验九096160075 杨振亚 09数基1. 在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力与相同。（1） 问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜时间如何确定。（2） 若甲方在战斗开始后有后备军以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。解 由5.3节图11，乙方取胜时的剩余兵力为又因为，所以要确定乙方取胜时间，需求解方程组，可得：。令，由可以算出与甲方战斗有效系数b成反比。（2） 在这种情况下

10、，战争模型（3）的第一个方程改为，相轨线为5.3节图11中的轨线上移r/2a，乙方取胜的条件为即。2、 建模解决野兔的数量问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。解 问题重述：野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野

11、兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。 分析与建立模型：对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。第一个单调增区间T=0T=1T=2

12、T=312.319694.508536.90568第一个单调减区间T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第二个单调增区间T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。模型的求解：对于logistic连续模型，设微分方程为 ，, （1）其中参数a，b 需要通过拟合得到。（1） 的解为. （2）设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组 (3) 这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a

13、 后得b 满足的方程 (5)解得 . (6)代入(4) 的第一式得a 满足的方程 (3)求参数a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T)% 输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值0.

14、99999629543280 0.09999899065418 在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值当取a, b为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193十万,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194十万.结论是： 在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic模型：.在 T=3 到T=6 之

15、间增长规律有异常情况, 但仍为logistic模型；：.在 T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic模型：.在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）十万只. 实验九096160025 孙少波1、完成下列两题中的任一题，给出分析过程并对结果作出必要的解释：书上173页的习题3；书上173页的习题4；2、 建模解决野兔的数量问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93

16、929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。4.在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力相同. (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负. 解：(1) 即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到. (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则 相轨线为 此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为3、 建模解决野兔的数量问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计量（单位十万）如

17、下T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律，并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。解：对于logistic连续模型，设微分方程为 ，, （1）其中参数， 需要通过拟合得到。（1） 的解为. （2）设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组 (3) 这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去后得满足的方程 (5)解得 . (6)代入(4

18、) 的第一式得满足的方程 (3)求参数,的MATLAB程序function a,b,q=hare(p,T)a=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(2)*(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3);q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组值>> p=1;2.31969;4.50853;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q =6.9057>> p=2.31969;4.50853;6.90568;T=1;>> a,b,q=hare(p,T)a =1.0000 b =0.1000 q = 8.5849 在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组值>