数学建模 身高

1、（一） 摘要：【问题、模型、方法、结果】问题：有关统计资料表明，我国大学生男性群体的平均身高约为170cm，且该群体中约有99.7%的人身高在150cm至190cm之间。要求：如果将150cm，190cm等分成20个高度区间，则该群体身高在每一高度区间的分布情况怎样？特别地，身高中等（165cm至175cm之间）的人占该群体的百分比会超过60%吗？记从一个群体随机抽出若干个个体，切有99.7%的人身高在150cm 190cm之间，这些样品的总体身高情况服从正态分布。根据模型假设，应用正态分布函数算出150,190以二为步长的20个点，并根据此20个散点，应用Matlab作出拟合的函数图形，再根

2、据对正态分布函数在165,175之间的定积分，算出这一区间的概率，看看是否会超过0.6。结果是F（165，175）=0.5467<0.6，故身高中等（165cm至175cm之间）的人占该群体的百分并没有超过60%。（二）模型的背景问题描述现实生活中影响人群身高的因素有很多，但自古以来，人的身高高低不等，但中等身材的站大多数，特高和特矮的知识少数，而且较高和较矮的人数大致相近，群体同类数据就都服从这同一个原则，就是围绕一个标准向周围递减，也就是正态分布。（三）模型假设假设所抽样本的年龄均为同时期的20-25岁之间的个体，且不存在特殊病症（身高方面）。（四）分析与建立模型 群体的身高通常是服

3、从正态分布N(m,s)的随机变量，正态分布的概率密度函数f(x)为：222)(21)(smspf-=xex，f(x)在区间a,b上的定积分： dxedxxbabaxF(x)=òò-=222)(21)(smspf的值正好代表大学生身高在区间a,b的分布情况。密度函数j(x)中的两个参数m、s分别为正态分布的均值与标准差。根据题目中我国大学生男性群体的平均身高约为170cm，所以均值m=170cm，而由“该群体中约有99.7的人身高在150cm至190cm之间”,根据正态分布特征，可得：F（x） 0.997=F（190）-F（150）；m=170于是可以得到s=20/3,故其密

4、度函数f (x)为800)170(922203)(-=xexpf将150cm，190cm等分成20个高度区间后，得到高度区间为150，152，152，154，188，190对应的分布为 - （1）身高在165cm至175cm之间的人占该群体的百分比为 -（2）如上式（1）和（2）的定积分是不能用定积分基本公式方法求出的，但用计算方法中的数值积分可以算出。（五）模型求解根据正态分布函数特征，可得一下20个特征点：150cm，152cm152cm，154cm154cm，156cm156cm，158cm158cm，160cm160cm，162cm162cm，164cm164cm，166cm166cm

5、，168cm168cm，170cm0.00210.00470.00970.01810.03090.04830.06900.09020.10780.1179170cm，172cm172cm，174cm174cm，176cm176cm，178cm178cm，180cm180cm，182cm182cm，184cm184cm，186cm186cm，188cm188cm，190cm0.11790.10780.09020.06900.04830.03090.01810.00970.00470.0021以上20个点，可用Matlab画出，三点突地程序为：x=152:2:190;y=0.0021,0.0047

6、,0.0097,0.0181,0.0309,0.0483,0.0690,0.0902,0.1078,0.1179,0.1179,0.1078,0.0902,0.0690,0.0483,0.0309,0.0181,0.0097,0.0047,0.0021;plot(x,y,'r*')将以上这些点拟合成二次函数的曲线，程序为：x=150:2:190;y=0.0021,0.0047,0.0097,0.0181,0.0309,0.0483,0.0690,0.0902,0.1078,0.1179,0.1179,0.1078,0.0902,0.0690,0.0483,0.0309,0.01

7、81,0.0097,0.0047,0.0021;plot(x,y)（六）模型检验»0.5467246173说明身高中等（165cm至175cm）的大学生约为54.67，不足60。（七）模型程序Mathematica编写的通用程序为：Cleara,b,x,n,f;a=Input"a="b=Input"b="fx_=3/20*Exp-9(x-170)2/800/Sqrt2Pieps=0.0000001;n=1;h=b-a;t1=(fa+fb)*h/2;h=h/2;t2=t1/2+h*fa+h;er=t2-t1/N;WhileAbser>eps

8、,Print"n=",2n,"定积分值为",Nt2,10;Print"误差=",er;h=h/2;t1=t2;n=n+1;t2=t1/2+h*Sumfa+k*h,k,1,2n,2;er=t2-t1/N;Print"n=",2n,"定积分值为",Nt2,10;Print"误差=",er说明 本程序从梯形公式T1开始，用复合梯形求积公式求a,b上满足精度小于eps要求的定积分近似值。程序执行后，按要求通过键盘输入积分下限a、积分上限b、被积函数f(x)和精度要求eps 后，计算机

9、则给出满足精度要求的定积分近似值及中间计算值和误差。程序中变量说明a：存放积分下限b: 存放积分上限fx: 存放被积函数f(x)eps: 存放求积精度eh: 存放节点步长x：为函数fx:提供变量t1: 存放复合梯形值Tnt2: 存放复合梯形值T2n和定积分近似值n: 存放复合梯形公式的节点加密次数er:存放误差（八）模型的应用与推广正态分布是应用最广泛的一种连续性分布。德莫佛最早发现了二项概率的一个近似共识，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。在高尔顿钉板试验中自然掉落的小球正式呈了一条正态分布的曲线。除了我们在这里遇到的身高问题外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，设计目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。（9） 参考文献 4 李尚志 出版社.数学建模竞赛教程. 上海.科学出版社，1996年6月第1版5 白其峥.数学建模案例分析. 科学出版社出版 ，2000年1月第1版 7沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.数学建模 北京，高等教育出版社，1996年5月第1版 辽宁工程技术大学数 学 建 模 课 程 成 绩 评