数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题

1、（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分一致收敛的Cauchy收敛原理。2 叙述Green公式的内容及意义。3 叙述n重积分的概念。二 计算题（每小题10分，共50分）1计算积分，其中C为椭圆，沿逆时针方向。2已知 其中存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求关于的二阶偏导数。3求椭球体的体积。4若为右半单位圆周，求。5计算含参变量积分()的值。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分 在每一个固定的处的一致收敛性。2 讨论函数的连续性，其中在上是正的连

2、续函数。数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分关于在上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的， 存在与无关的正数， 使得对于任意的，成立。2 Green公式：设为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数在上具有连续偏导数，那么 ，其中取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲面网分成个小区域（称为的一个分划），记为的体积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式 的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，

3、则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的重积分，记为 。二 计算题（每小题10分，共50分）1 解 令 则.2 解 令 则 ，.故即3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换 （）。这时椭球面化为 。又 ，于是 。所以椭球体积 。4 解 的方程为：。由，符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故而在圆弧段上，由于，故所以 。5 解 。当时，由于，故为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。 。于是，当时，（常数）。但是，故，从而。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 解 设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，

4、由于， 且积分 收敛，故由Weierstrass判别法知积分 在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。 下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有。 由于， 故取，在中必存在某一个，使有， 即 因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收敛。2解 当时，被积函数是连续的。因此，为连续函数。当时，显然有。当时，设为在上的最小值，则。由于 及 ，故有 。所以，当时不连续。 （三十三）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1叙述二重积分的概念。2 叙述Gauss公式的内容。3 叙述Riemann引理。二 计算题（每

5、小题10分，共50分）1求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。2求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。3计算三重积分。其中 。 4 利用含参变量积分的方法计算下列积分。5 计算 其中为上半椭球面定向取上侧.三 证明题（每小题10分，共20分）1若及 证明不等式2证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛.数学分析试题（二年级第一学期）答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲线网分成个小区域（称为的一个分划），记为的面积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式 的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，

6、并称此极限为在有界闭区域上的二重积分，记为 。2设是中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数，和在上具有连续偏导数。则成立等式 ，这里的定向为外侧。3设函数在可积且绝对可积，则成立 。二 计算题（每小题10分，共50分）1 求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。解 设 ，。它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为： 和 ， ， 。所以曲线在处的切线方程为：，即法平面方程为 ，即。2 求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。解 其体积，其中。设。故 3 解 4 解： 首先，令，则，在积分中，再令，其中为任意正数，即得再对上式两端乘以，然后对从到积分，得注意到积分次序

7、可换，即得由于 故5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为易得因此三 证明题（每小题10分，共20分）1证明 考虑函数在条件下的极值问题，设解方程组可得从而如果时，则结论显然成立.2证明 首先证在上一致收敛. 由于因而一致有界，而是的单调减少函数且 由于与无关，因此这个极限关于是一致的，于是由Dirichlet判别法知在上一致收敛. 再证在上非一致收敛. 对于正整数，取，这时只要取 则对于任意 总存在正整数满足 取，这时成立由Chauchy收敛原理知在上非一致收敛.（三十四）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述第二类曲线积分的定义。2 叙述P

8、arseval等式的内容。3 叙述以为周期且在上可积函数的Fourier系数Fourier级数及其收敛定理。二 计算题（每小题10分，共50分）1求 ，此处为联结三点的直线段。2计算二重积分。其中 是以和为边的平行四边形。3一页长方形白纸，要求印刷面积占，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为，左部与右部之和为，试确定该页纸的长和宽，使得它的总面积为最小。4计算三重积分。其中是椭球体。 5计算含参变量积分的值。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 已 知，试确定二阶偏导数与的关系。2 讨论积分的敛散性。数学分析试题（二年级第一学期）答案一 叙述题（每小题10分，共30分）1 设为定向的可求

9、长连续曲线，起点为，终点为。在曲线上每一点取单位切向量，使它与的定向相一致。设=+是定义在上的向量值函数，则称为定义在上的第二类曲线积分（如果右面的第一类曲线积分存在）。2函数在可积且平方可积，则成立等式 。3 若是以为周期且在上可积的函数，则 称为函数的Fourier系数，以的Fourier系数为系数的三角级数 称为函数的Fourier级数，记为 。收敛定理：设函数在上可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则的Fourier级数在收敛于。（1）在某个区间上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和。（2）在处满足指数为的Holder条件。二 计算题（每小题10分，共50分）1。解 。在直线段上

10、得在直线段上得在直线段上得所以 。2解 .3解 由题意，目标函数与约束条件分别为与作Lagrange函数则有由此解得于是有并且易知它是极小值点.4解 由于 ，其中，这里表示椭球面 或 。它的面积为 。于是 。同理可得 ， 。所以 。 5计算含参变量积分的值。解 因为，所以。注意到在域：上连续。又积分对是一致收敛的。事实上，当时，但积分收敛。故积分是一致收敛的。于是，利用对参数的积分公式，即得 。从而得 。三 讨论题（每小题10分，共20分）1 当时， 。，于是，当时，。当时， 。2首先注意到 。若，则当充分大时，从而当充分大时函数是递减的，且这时。又因（对任何），故收敛。若，则恒有，故函数在上

11、是递增的。于是，正整数，有 常数，故不满足Cauchy收敛准则，因此发散。（三十五）数学系二年级数学分析期末考试题一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:1 二元函数在区域上一致连续 .2 二重积分.二 （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：1 求和. 极限是否存在 ? 为什么 ?2 验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 .三 （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：1 设函数可微 , . 求 和 .2 为从点到点的方向. 求.3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 .4 , .5 求积分.6 ，其中是以点、和为顶点的三

12、角形域.7 计算积分 . 其中为沿曲线从点到点的路径 .8 V :为V的表面外侧.计算积分 .四 （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：1 . 证明极限不存在 .2 设函数和可微 . 证明 .3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上都有 , 则在上.（三十六）二年级 数学分析考试题 一 计算题 :1 求极限 .2 求和.3. 设函数有连续的二阶偏导数 , . 求、和.4 , 点, 方向. 求和沿的方向导数.5 曲线L由方程组 确定 . 求曲线L上点处的切线和法平面方程 .6 求函数在约束条件之下的条件极值 . ( 无须验证驻点满足极值充分条件 )二. 证明题 :1

13、 . 试证明在点处的两个累次极限均存在 , 但二重极限却不存在 . 2 证明函数在点处连续,偏导数存在 , 但却不可微 .3 设 验证该函数满足Laplace方程 .4 设函数在点的某邻域有定义 , 且满足条件.试证明 在点可微 . （三十七）数学系二年级数学分析考试题一 （ 满分 1 2 分，每小题 6 分）解答题：叙述以下概念的定义:1 二元函数在区域上一致连续 .2 二重积分.二 （ 满分 1 6 分，每小题 8 分）验证或讨论题：1 求和. 极限是否存在 ? 为什么 ?2 验证函数在点处连续 ,偏导数存在 , 但不可微 .三 （ 满分 4 8 分，每小题 6 分）计算题：1 设函数可微

14、 , . 求 和 .2 为从点到点的方向. 求.3 设计一个容积为的长方体形无盖水箱 , 使用料最省 .4 , .5 求积分.6 ，其中是以点、和为顶点的三角形域.7 计算积分 . 其中为沿曲线从点到点的路径 .8 V :为V的表面外侧.计算积分.四 （ 满分 2 4 分，每小题 8 分）证明题：1 . 证明极限不存在 .2 设函数和可微 . 证明.3 设函数在有界闭区域上连续 . 试证明: 若在内任一子区域上都有 , 则在上.（三十八） 二年级数学分析考试题一 计算下列偏导数或全微分（共18分，每题6分）： 1 设，求，；2 设，求全微分；3 求由方程所确定的隐函数的偏导数，。 二 求函数在

15、点处从到方向的方向导数。（12分）三 （14分）设1 求，；2 证明：在点（0，0）处可微。四 求曲面在点处的切平面和法线方程。（16分）五 证明：半径为R的圆的内接三角形面积最大者为正三角形。（14分）六 （14分）计算下列重积分 ：1、其中D为直线及曲线围成的区域。2、其中为由曲面，三个坐标平面及平面围成的区域。七 （12分）求函数 在约束条件及下的最大值和最小值。 （三十九）二年级数学分析考试题一（15分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：二 计算下列极限：（10分）1 ； 2 ；二 （10分）设隐函数 由方程定义，求 及 。三 计算下列偏导数：（10分）（1）；（2

16、）；四 计算下列积分（20分）：（1） （2） （3） D由旋轮线 与围成；（4）。五 计算下列曲线积分（10分）：（1） （2） 六 （10分）设为单位球面，证明：七 （15分）利用Gaus公式计算曲面积分：为球面的外侧。（四十） 二年级数学分析考试题一 （16分）： 1 设；2 设向量场，求 。二 （15分）： 1 ；2 。三 求下列二元函数的极限（16分）： 1 ；2 。四 判断下列级数的敛散性（15分）： 1 ；2 ；3 。五 试求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数（14分）。六 证明：函数项级数在0，1上一致收敛（14分）。七 设收敛，数列收敛，证明：收敛（10分）。 （四十一）二年

17、级数学分析考试题一 （10分）设为欧氏空间中的任意两个向量，证明“平行四边形定理”：二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）三 证明： 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）四 计算下列极限：（9分）1 ； 2 ；3 ；五 计算下列偏导数：（10分）（1）；（2）；六 （10分）计算下列函数 的Jacobian ：（1）；（2）；七 （10分）设隐函数 由方程 定义，求 及 。八（11分）在椭球内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？九、（10分）求椭球面过其上的点 处的切平面的方程。十、（10分）设函数是定义在平面开区域内的两个函数，在内均有连续的一阶偏导数，且在内任意点处，均有又设有界闭，试证：在 中满足方程组 的点至多有有限个。（四十二） 二年