概率论 第三版 龙永红第二章习题及答案

1、第二章 练习题（解答）一、填空题：1设随机变量X的密度函数为：f(x)= 则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件(X)出现的次数，则P（Y2） 。解：ax+b 0<x<10 其他2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：f (x) =且EX，则a = _-2_， b = _2_。3. 已知随机变量X在 10，22 上服从均匀分布，则EX= 16 ，DX= 12 4.设 5. 已知X的密度为 且P（）=P() ， 则= , b = 联立解得：6若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则1。7. 设连续型随机变量的分布函数，则P（=0.8）= 0 ；= 0.99 。8. 某型号电子管，

2、其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为8/27。 (x)= x100 0 其它P（150）=1F(150)=1P(150)3=()3=9. 设随机变量X服从B（n, p）分布，已知EX1.6，DX1.28，则参数n_，P_。EX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210. 设随机变量服从参数为（2，P）的二项分布，服从参数为（4，P）的二项分布，若P（1），则P（1）65/81。 解： 11. 随机变量XN（2， 2），且P（2X4）=0.3，则P（X0）=

3、0.2 12. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E（xe2x）= _4/3_ 13. 已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松分布，则随机变量z = 3x2的期望E (z)3EX-2=3x2-2=4 。 14设随机变量x服从参数为的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 则E (x) = _2_. D (x) = _2_ 15. 若随机变量服从参数=0.05的指数分布，则其概率密度函数为： ；E= 20 ；D= 400 。 16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为17. 某一电

4、话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P3(4)=0.168031 解:一小时内使用电话的用户数服从的泊松分布18 通常在n比较大，p很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 ，方差为 19xN（，），P(x5) 0.045，p(x3) 0.618，则1.8，4。 二、单项选择： 1、设随机变量X的密度函数为： 则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) ABCD12设F1（X）与F2（X）分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F（X）aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函

5、数，在下列给它的各组值中应取（ A ） Aa=, b =Ba=, b=Ca=, b=Da=, b=F(+)=a F1 (+)-BF2 (+)=13. 已知随机变量的分布函数为F（x）= A + B arctgx ，则：（ B ）A、A= B= B、A= B= C、 A= B= D、A= B= 本题为课堂例题 4. 设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2，而且X1< X2，X取值X1的概率为0.6，又已知E（X）1.4，D（X）0.24，则X的分布律为（ ） A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4 1.4=EX=0.6X1+

6、0.4X2 DX=EX2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42联系、解得X1=1，X2=25现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）A6元B12元C7.8元D9元设表示得奖金额，则其分布律为： 6 9 12 P 故期望值为： 7.86. 随机变量X的概率分布是： X 1 2 3 4 P a b 则：（ D ）A、a=, b= B、a=, b= C、a=, b= D、a=, b= 7. 下列可作为密度函数的是：（ B ） A、 B、 C、 D、 依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案8. 设X的概率

7、密度为，其分布函数F（），则（ D ）成立。 A、P（ B、 C、P D、P9. 如果，而 ，则P（X）=（ C ） A、 B、 C、0.875 D、 解: 10. 若随机变量X的可能取值充满区间，那么Sinx可以作为一个随机变量的概率密度函数。（ B ） A0，B0.5, C0, 1.5D, 1.5解: 依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次品的个数，则EX （ D） A0.75B0.2375C0.487D0.25 此题X服从二项分布12. 设X服从二项分布，若（n1）P不是整数，则K取何值时，P（XK）最

8、大？（ D ）AK（n1）PBK（n1）PiCKnPDK（n1）P 13设X服从泊松分布，若不是整数，则K取何值时，P（XK）最大？（B）ABC1D114. ，Y=2X1，则Y（ C ） A、N（0，1） B、N（1，4） C、N（-1，4） D、N（-1，3） 15. 已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A2B1/4C1/2D 随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/2 16当满足下列（ D ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。 AnBCD17. 设,已知，则和的概率分别为 C A. 0.0228 , 0.1587 B. 0.3413 , 0

9、.4772 C. 0.1587 , 0.0228 D. 0.8413 , 0.97725三、计算题： 1. 设随机变量X的密度函数为：A+B=3f(x) = AX 0X1 BX 1X20 其它试求：（1）常数A、B。 （2）分布函数F（X） （3）P（）解：（1）由f(x)为连续的同时： ，又A+B=3解得：A=1，B=2 （2） 当 （3）2. 设已知X= ，求： P（） 解： 3. 设随机变量X的密度函数为： ax 0<x<2 f(x)= cx + b 2x40 其他 已知 EX2， P（1<X<3），求a、b、c的值解：（1） （2） 4假定在国际市场上每年对我国

10、出口商品的需求量是随机变量X（单位：t），已知X服从2000,4000上的均匀分布，设每出售这种商品1t，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家的平均收益最大？解：Y：每年该商品的出口量，R：收益， X：需求量 y=3500时，利益最大5 设某种商品每周的需求量X服从区间 10，30上均匀分布，而经销商店进货量为 10，30 中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元

11、，试确定最小进货量？ 解：设进货量为a, 则利润为： 即：-7.52+350+52509280 解得：2026 取得小=21 上式： 6. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题： 直接进口， 租用设备， 与外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表： 自制 进口 租赁 合资 固定成本（万元） 120 40 64 200 每件可变成本（元） 60 100 80 40已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为

12、0.7，滞销的为0.1，请为该厂作出最优决策。 解：设 销量 ， ， ， ， 为最优方案，即租用设备。 7. 某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下： 需求量（本）50100150200概 率20%40%30%10% 假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订购新书的数量。解：列收益表： 订 需求量Y 收益50 100 150 200 概率y1 50 y2 100y3 150y4 2000.2 0.4 0.3 0.1100 100 100 100 0 200 200 200-100 100 300 300 -200 0 200 400

13、 故订100本较合理。 8. 若连续型随机变量X的概率是 已知EX0.5，DX0.15，求系数a, b, c。解： 解方程组得： 9. 五件商品中有两件次品，从中任取三件。设为取到的次品数，求的分布律、数学期望和方差。 解：的分布律为0 1 2P1/10 6/10 3/10E= 1.2 ；D= 0.36 10. 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。 解： XN（72, 2） s即： 11. 假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为&

14、gt; 0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X1X2X3独立且同分布，分布函数为：设G（t）是T的分布函数。当t0时，G（t）=0t>0时，G（t）=P(Tt)=1-P(T>t) =1-P(X1>t,X2>tX3>t) =1-P(X1>t)P(X 2>t)p(X3>t) =1-P(X>t)3=1-1-F(t)3 =1-e -12. 设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度XN（200，18），求： 取出

15、的该材料的强度不低于180的概率； 若某项工程要求所用的材料强度要以99%的概率保证不低于150，问这批材料是否合乎要求？解： 大于0.99，故这批材料合要求。13. 生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有2件废品，则这20件产品中，废品不少于3件的概率为多大？ 解： =“20件产品中废品数目” “初步检查已发现有2件废品”=“2” “废品数不少于3件”=“ 3” p=0.1 q=0.9 n=20. 14. 某公司作信件广告，依以往经验每送出100封可收到一家定货。兹就80个城市中的每一城市发出200封信。求（1）无一家定货的城市数；（2）有三家定货的城市数。解：设发出200封信后有家定货，则B（200，0.01）近似服从参数为=2的泊松分布P（=0）0.1353 ，P（=3）0.1804（1） 无一家定货的城市