数学建模题解

1、承 诺 书我仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我将受到严肃处理。参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：_A_报名号： 所属学院、专业、学号、报名号： 13280107 承诺人姓名 ： 日期： 年

2、月 日公司新厂选址问题摘要某公司由于沿海地区工人工资水平上涨，现拟向内地设立新的六个加工厂，公司将根据产品需求地区与加工点的距离、生产成本等因素决定在各地区的建厂的规模。我们将根据附录2中的数据进行预测未来一年中各地区每月的产品需求量，并且新厂根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模，最后估算出根据我们模型所给出的最优工厂的地址。模型一：根据所给供应量对未来一年的供应量的做出预测。先用matlab对所给数据进行处理，对城市的需求量作出相应的图，观察需求量的走势，再通过多项式拟合对其进行建立模型，其拟合效果，大体上符合短期预测预测下一年各个城市的需求量。模型二：根据18个城市每个月

3、的需求量总和，我们选出4月作为典型,该月为最大生产月。根据所给的数据求出其成本最小化，我们建立了优化模型，利用LINGO进行优化求解得到成本最小值，并用以确定厂的生产规模。生产成本=月总工资+货物量的运输成本+加班工资。求出各厂的生产量，与各厂大概人数。模型三：由第二模型引出的0-1变量法，得出各厂指定供应最短路径的城市，利用重心法，我们将每个厂所供应的城市连线进一步优化，并对运输优化，进而确定新工厂的地址。关键字多项式拟合 优化线性模型 0-1变量 重心法问题的重述在资源稀缺的市场竞争时代,如何优化资源配置是每个生产公司在日益激烈的市场竞争中求生存、促发展的有效途径和理智选择。，某公司由于沿

4、海地区工人工资水平上涨，现拟向内地设立新的六个加工厂（加工厂到各地区距离见附录一），公司将根据产品需求地区与加工点的距离、生产成本等因素决定在各地区的建厂的规模。问题一、请根据所给数据（见附录二）预测未来一年中各地区每月的产品需求量。问题二、根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模。数据见附录三。问题三、如果允许重新设定新厂位置，请根据相关条件为新厂选址，并给出评价。问题的分析对于问题一，根据题目附录二各城市的每月需求量，再用spss进行处理可以大概得出未来一年的供应量的做出预测。先用matlab对所给数据进行处理，对城市的需求量作出相应的图，观察需求量的走势，再通过多项式拟合对

5、其进行建立模型 ；对于问题二，根据题目附录一、二、三，要求根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模。首先应该知道工厂的规模是指工厂的人数。看到这个问题我首先想到优化模型，且该题中工资比较好处理，但是加班时间无法确定，又由于18个城市与6个工厂都有一定的距离，而且还有一个问题：到底一个城市的需求量是由一个厂提供还是多厂合作提供？经过考虑，我认为前者成本较少。除此之外，因为四月份的需求量最大，因此我认为四月份比较具有代表性，故对四月份展开计算。所以我认为加班工资和运费是本题的难点。所以，在做这道题时，设好变量是非常重要的。因此我最后在优化模型的基础上我又添加0-1变量。对于问题三,由

6、网上查得各城市的位置，设立目标函数，通过lingo算出与每个城市最近的位置建立工厂。模型的建立和求解备注：所有符号在附录二中问题一.根据模型，由matlab求解得18个城市本年与未来一年需求量的图（蓝线：实际值。红线：预测值）：求解源码（附件三）天津太原石家庄济南郑州西安上海南京合肥武汉重庆杭州长沙南昌贵阳福州南宁未来一年各个城市的需求量（×100）1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月天津46263543457035104536346044903407445034624400太原32323554301633742800312125832905236726892151石家庄

7、62343736644939506663416568784379709345847307济南628641346539438867934641704648957300514787553郑州51244703529748765469504856425221581453935986西安52024655544849015694514759405393618656396186上海45023876458839614673404747594132484442184930南京37665720391358674061601442086162435563094503合肥47264889487550385024518

8、651735335532254845470武汉52433860540540215566418357284344588945066051重庆44463853441938264392379943653772433837454311杭州35294561351845503507453934964528348545173474长沙29535197303052753107535231855430326255073340南昌36553706366237143670372136783729368637373693贵阳41233879412238784121387741203876412038764119福州3

9、8293958381039393792392137743903375638853737广州36143441346732953321314831743002302828552881南宁151948071294458110684355842.74130617.23904391.7问题二：模型II（优化线性模型） 本题要解决的是各加工厂的员工人数、加班时间和生产量以及工厂合理配置的问题。由于案例提供了各城市的月需求量、各工厂到各城市的距离和工资标准，我们可以建立以生产量和加班时间为决策变量；通过决策变量来表示厂的人数，构建工资和运输成本最低的目标函数；再通过国家对每月加班时间的要求和我们的合理假设（

10、每个城市只由一个工厂提供产品）再得到两个约束，在目标函数和约束条件都合乎逻辑的情况下，建立线性规划模型。 每个厂的五月份的产量为x1,x2,x3,x4,x5,x6; 每个产五月份的加班时间为t1,t2,t3,t4,t5,t6; 各个工厂的人数:x1/(192+t1)*8/100) x2/(192+t2)*8/100) x3/(192+t3)*8/100) x4/(192+t4)*8/100) x5/(192+t5)*8/100) x6/(192+t6)*8/100) 各个工厂的总工资： 各个工厂的总运输成本：我们建立模型如下：目标函数： MIN F=Z+Q约束条件：工厂对每个城市的供应量不能超

11、过它的生产量： i工厂提供j城市产品为1，否则为0运用lingo得到以下结果：各个厂五月份的生产量x1=190640000;x2=187830000;x3=89980000;x4=93260000;x5=128370000;x6=142960000;需要加班的工厂：t2=36; t4=36;各个工厂的人数规模：a1 =1.2411e+005；a2 =3.3968e+003；a3 =5.8581e+004；a4 =1.6866e+003；a5 =8.3574e+004；a6 =9.3073e+004由此可知每个工厂分别提供的城市产品如下：1号工厂提供天津、太原、石家庄、济南的产品；2号工厂提供郑

12、州、上海、南京、合肥的产品；3号工厂提供西安、武汉的产品；4号工厂提供重庆、贵阳的产品；5号工厂提供长沙、广州、南宁的产品；6号工厂提供南昌、杭州、福州的产品。问题三：模型III通过上网查询我们得到各城市的经纬度如下表：经度纬度城市经度纬度城市117°1139°09天津120°0930°14杭州112°3437°52太原113°28°11长沙114°2838°02石家庄115°5228°41南昌121°2931°14上海106°4226°

13、;35贵阳117°36°38济南119°1826°05福州113°4234°48郑州113°1523°08广州108°5434°16西安108°2022°48南宁117°1831°51合肥106°3229°32重庆118°5032°02南京114°2130°37武汉 设各个加工厂的经纬度分设为k、l,各城市的经纬度为a、b,可得目标函数表达式为： 通过lingo编程得到各新加工厂的位置：、根据上网

14、查询我们得到各城市的经纬度知道，以上六地点的经纬度与石家庄、合肥、南京、郑州、贵阳、南昌这六个地区最为接近，如下表：石家庄114°2838°02合肥117°1831°51南京118°5032°02郑州113°4234°48贵阳106°4226°35南昌115°5228°41结果：1号厂设在石家庄； 2号厂设在合肥； 3号厂设在武汉； 4号厂设在贵阳； 5号厂设在广州； 6号厂设在南昌。模型的检验与分析 模型I在不考虑通货膨胀，而消费者工资根据所在城市标准，我们可对未来一年需求

15、量的大概预测，根据问题分析此工厂生产的产品作为必需品，因此考虑人口正常发展的情况下，需求量是渐加的，由拟合图中红线也不难看出，三次多项拟合出的预测数据基本符合预测要求。 模型II 根据建立的模型，我们得出各厂生产量，与各厂人数。即：各个厂五月份的生产量：x1=190640000;x2=187830000;x3=89980000;x4=93260000;x5=128370000;x6=142960000;需要加班的工厂：t2=36;t4=36;各个工厂的人数规模：a1 =1.2411e+005；a2 =3.3968e+003；a3 =5.8581e+004；a4 =1.6866e+003；a5

16、=8.3574e+004；a6 =9.3073e+004由于对最大生产容量不考虑的原因，所以各厂生产x1.x6,结果合理可行。各个工厂的人数最大的有12万多人，说明它供应的城市数量也就越多。而2厂与4厂人数较少仅只有3300多和1600多人，说明供应城市少，即使正常工作时间的生产量供应不足，但是可以通过加班增产。模型III 通过第二问各厂对指定城市的供应，我们采用0-1变量法确定制定城市，则使得重新建厂时，需求量的生产成本不变，只需考虑运输路径最短即可。在需求量相对大出现供不应求的城市可以通过离自己最近而又有库存的工厂运输来达到满足。模型的评价与推广评价：预测模型用拟合来预测的原理，得出了下一

17、年的预测值，通过多项式拟合的方法作出了图像，较好的放映了下一年各个城市需求量的波动情况，并处理好了预测数据。生产规模优化模型得到工厂最小成本，设定了工厂的最优生产规模，应用0-1变量使问题更加简化。优化模型得到工厂最小成本，设定了工厂的最优生产规模。我们通过作出图像分析，得到允许范围内建的新厂。新厂选址模型中我们只是根据简单观察和计算给出了结果，这并不是最优解，但考虑到运输方便厂建在城市较好。否则可以通过定点求费马点。模型推广：本题模型影响因素和约束条件不够对大型工厂相对误差较大，但适合小型的工厂预测和小型工厂规模优化。参考文献1姜启源，谢金鑫，叶俊，数学模型第四版，高等教育出版社；23 胡本

18、超205.数学建模仓库选址问题. .4】王炳武 胥谞 , matlab 5.3 实用教程中国水利水电出版社 2000附录附录一：必做题二露天采矿问题(lingo代码见lingo软件）：1、利用0-1模型，作为决定每一块是否需要开采的模型，即0代表这一块没有被挖取，l代表这一块被挖取了。 2、同时利用矩阵对为每一层每一块编号，即第一层设为矩阵A，第二层设为矩阵B等。Aij代表第一层第i行第j块； Bij代表第二层第i行第i块； Cij代表第三层第i行第i块： Dij代表第四层第i行笫j块； 设Z为最大利润。Aij代表第一层第i行第j块； 

19、;Bij代表第二层第i行第i块； Cij代表第三层第i行第i块： Dij代表第四层第i行笫j块； 设Z为最大利润。3、 由于挖去一块的收入同该块的值成正比，可设比例系数为R，由挖一个值为100的块可收入200000。所以可求出R=2000。故将每一块的纯度值乘以两千，则是这一块所获得的利润。即第一块的利润为3000 A11、第二块则是3000A12，以此类推。4、所以目标函数为：Z=3000A11+3000A12+3000A13+1500A14+3000A21+4000A22+3000A23+1500A24+2000A31+2000A32+1500A33

20、+1000A34+1500A41+1500A42+1000A43+500A44+8000B11+8000B12+4000B13+6000B21+6000B22+6000B23+4000B31+4000B32+1000B33+24000C11+12000C12+1000C21+8000C22+12000D11-3000A11-3000A12-3000A13-3000A14-3000A21-3000A22-3000A23-3000A24-3000A31-3000A32-3000A33-3000A34-3000A41-3000A42-3000A43-3000A44-6000B11-6000B12-6

21、000B13-6000B21-6000B22-6000B23-6000B31-6000B32-6000B33-8000C11-8000C12-8000C21-8000C22-10000D115、 约束条件：即若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块。所以当上面面一块为1时，上面四块必须同时为1。A11+A12+A21+A22-4B11>=0 A12+A13+A22+A23-4B12>=0 A13+A14+A23+A24-4B13>=0 A21+A22+A31+A32-4B21>=0 A22+A23+A32+A33-4B22&

22、gt;=0 A23+A24+A33+A34-4B23>=0 A31+A32+A41+A42-4B31>=0 A32+A33+A42+A43-4B32>=0 A33+A34+A43+A44-4B33>=0 B11+ B12+B21+B22-4C11>=0 B12+ B13+B22+B23-4C12>=0 B21+ B22+B31+B32-4C21>=0 B22+ B23+B32+B33-4C22>=0 C11+ C12+C21+C22-4D11>=06、

23、 将上述输入LINGO，通过LINGO运算结果我们可以得出，当挖取A11、A12、A13、A21、A22、A23、A31、A32、A33、B11、B12、B21、B22、C11时我们所获得的最大利润是17500元。必做题三最佳广告费用及其效应(lingo代码见lingo软件）x：售价（元）；y：预期销售量（千桶）；回归拟合预期销售量（千桶）；：预期销售量的均值（千桶）；：售价的平均值（元）；：x与y的回归常数；：x与y的回归系数； ：x与y的随机变量；k ：销售增长因子；m ：广告费（万元）； ：k与m的非线性回归系数； ：k与m的非线性回归系数； ：k与m的非线性回归常数； ：k与m的随机变

24、量；Z ：预期利润（元）。（1） 售价与预期销售量的模型根据条件（表1）描出散点图，假设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型 假定9组预期值 i=1,2,9；符合模型用OLS法得 和 的最小而乘估计利用Matlab解得售价与预期销售量的线性回归方程的模型，并得到线性回归方程与预期价拟合图1=50.422-5.1333x 图1（2） 广告费与销售增长因子的模型根据条件（表2）描出散点图，假设广告费与销售因子为非线性关系，得其基本模型假定8组预期值;符号模型利用Matlab解得广告费与销售因子的非线性回归方程的模型，并得非线性回归方程与预期值拟合图2 图2（三）预期利润的最优模型 为了最大预期利

25、润，建立预期利润的模型函数； 目标函数限制条件：当x=5.9113 m=3.3082时新工厂选址符号说明 ：总工资； ：总得运输成本； ：第i个工厂当地的标准工资； :第i个工厂的生产量； ：第i个工厂的加班时间； ：第i个工厂的员工人数； ：第j个城市五月份的需求量； ：第i个工厂到第j个城市的距离； ：第j个城市是否由第i个工厂提供产品。附录二：Matlab代码：i=1:18;x=1:11;x0=1:12;sj1=206900290600487900480900476100440900415300424600382200379000358800;sj2=220000296400510900

26、553500477300316000417100417300311100361200377000;sj3=131700328500413400486800481200336700455400503200427900474000352100;sj4=148600361200391300458300471800336000568300552000369800448400388100;sj5=188900311700403000452600557200335700488600552000377000379000453100;sj6=1202203145004246004279004740003521

27、00436300379000480900476100440900;sj7=147700345800417300369800448400388100417800394100336700436300379000;sj8=209800353500503200388000437400442400432400397600435300455400557200;sj9=144000377000552000397600435300390700492600358800424600568300474000;sj10=1630003822003790003588004258003984005078004285003

28、45800417300369800;sj11=180400505000394100428500457200422700527500314500353500503200388000;sj12=180100368300414400457100512000373800397200345800394100428500457200;sj13=215500327500429800403400453100369700270800353500414400457100512000;sj14=2403003111003612004115004638003832002007004173003458004173003

29、69800;sj15=335300369600415100430500475400425800181700503200353500503200388000;sj16=241500417500409800493600453800334500226500425800377000552000397600;sj17=236400524900404100433800420100427100262500463800382200379000358800;sj18=261900417400447100444700410500397600369300430500209800353500503200;b=sji;

30、a=polyfit(x,b,3)yc=polyval(a,x0)附录三：Lingo代码：min=(x1/(240+t1)*8)*(1700+2210*t1/240)+(x2/(240+t2)*8)*(1540+2002*t2/240)+(x3/(240+t3)*8)*(1510+1963*t3/240)+(x4/(240+t4)*8)*(1600+2080*t4/240)+(x5/(240+t5)*8)*(1640+2132*t5/240)+(x6/(240+t6)*8)*(1450+1885*t6/240)+480900*(2.97*Y11+5.59*Y21+9.3*Y31+15.2*Y41

31、+15.62*Y51+14*Y61)+553500*(2.55*Y12+5.5*Y22+5.91*Y32+12.38*Y42+14*Y52+13.37*Y62)+486800*(1.16*Y13+4.7*Y23+6.95*Y33+13.13*Y43+14.15*Y53+13.06*Y63)+458300*(1.78*Y14+2.83*Y24+7.3*Y34+12.89*Y44+12.87*Y54+11.22*Y64)+452600*(3.925*Y15+2.57*Y25+3.58*Y35+9.45*Y45+10.44*Y55+9.79*Y65)+427900*(6.78*Y16+6.96*Y2

32、6+2.13*Y36+8.02*Y46+10.99*Y56+11.96*Y66)+369800*(8.5*Y17+5.65*Y27+10.44*Y37+12.89*Y47+9.87*Y57+6.41*Y67)+388000*(6.37*Y18+2.87*Y28+7.69*Y38+10.71*Y48+8.34*Y58+6.18*Y68)+397600*(6.22*Y19+2.54*Y29+6.34*Y39+9.32*Y49+7.86*Y59+6.89*Y69)+358800*(7.45*Y1A+4.5*Y2A+4.26*Y3A+6.21*Y4A+5.75*Y5A+5.4*Y6A)+428500*

33、(11.19*Y1B+10.77*Y2B+5.25*Y3B+3.82*Y4B+8.63*Y5B+11.43*Y6B)+457100*(8.45*Y1C+5.59*Y2C+9.41*Y3C+11.17*Y4C+8.23*Y5C+4.79*Y6C)+403400*(10.27*Y1D+7.34*Y2D+5.51*Y3D+3.83*Y4D+3.19*Y5D+4.89*Y6D)+411500*(9.36*Y1E+6.05*Y2E+6.82*Y3E+6.8*Y4E+4.13*Y5E+2.64*Y6E)+430500*(11.47*Y1F+12.51*Y2F+7.75*Y3F+2.66*Y4F+7.26*

34、Y5F+10.81*Y6F)+493600*(12.7*Y1G+8.25*Y2G+11.22*Y3G+10.09*Y4G+5.64*Y5G+1.96*Y6G)+433800*(16.08*Y1H+12.8*Y2H+10.95*Y3H+6.1*Y4H+2.71*Y5H+5.81*Y6H)+444700*(17.13*Y1I+14.687*Y2I+11.28*Y3I+9.63*Y4I+6.32*Y5I+10.24*Y6I);480900*Y11+553500*Y12+486800*Y13+458300*Y14+452600*Y15+427900*Y16+369800*Y17+388000*Y18+

35、397600*Y19+358800*Y1A+428500*Y1B+457100*Y1C+403400*Y1D+411500*Y1E+430500*Y1F+493600*Y1G+433800*Y1H+444700*Y1I<=x1;480900*Y21+553500*Y22+486800*Y23+458300*Y24+452600*Y25+427900*Y26+369800*Y27+388000*Y28+397600*Y29+358800*Y2A+428500*Y2B+457100*Y2C+403400*Y2D+411500*Y2E+430500*Y2F+493600*Y2G+433800*

36、Y2H+444700*Y2I<=x2;480900*Y31+553500*Y32+486800*Y33+458300*Y34+452600*Y35+427900*Y36+369800*Y37+388000*Y38+397600*Y39+358800*Y3A+428500*Y3B+457100*Y3C+403400*Y3D+411500*Y3E+430500*Y3F+493600*Y3G+433800*Y3H+444700*Y3I<=x3;480900*Y41+553500*Y42+486800*Y43+458300*Y44+452600*Y45+427900*Y46+369800*

37、Y47+388000*Y48+397600*Y49+358800*Y4A+428500*Y4B+457100*Y4C+403400*Y4D+411500*Y4E+430500*Y4F+493600*Y4G+433800*Y4H+444700*Y4I<=x4;480900*Y51+553500*Y52+486800*Y53+458300*Y54+452600*Y55+427900*Y56+369800*Y57+388000*Y58+397600*Y59+358800*Y5A+428500*Y5B+457100*Y5C+403400*Y5D+411500*Y5E+430500*Y5F+493

38、600*Y5G+433800*Y5H+444700*Y5I<=x5;480900*Y61+553500*Y62+486800*Y63+458300*Y64+452600*Y65+427900*Y66+369800*Y67+388000*Y68+397600*Y69+358800*Y6A+428500*Y6B+457100*Y6C+403400*Y6D+411500*Y6E+430500*Y6F+493600*Y6G+433800*Y6H+444700*Y6I<=x6;Y11+Y22+Y31+Y41+Y51+Y61<=1;Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62<=

39、1;Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63<=1;Y14+Y24+Y34+Y44+Y54+Y64<=1;Y15+Y25+Y35+Y45+Y55+Y65<=1;Y16+Y26+Y36+Y46+Y56+Y66<=1;Y17+Y27+Y37+Y47+Y57+Y67<=1;Y18+Y28+Y38+Y48+Y58+Y68<=1;Y19+Y29+Y39+Y49+Y59+Y69<=1;Y1A+Y2A+Y3A+Y4A+Y5A+Y6A<=1;Y1B+Y2B+Y3B+Y4B+Y5B+Y6B<=1;Y1C+Y2C+Y3C+Y4C+Y5C+Y6C<=1;Y1D+Y2D+Y3D+Y4D+Y5D+Y6D<=1;Y1E+Y2E+Y3E+Y4E+Y5E+Y6E<=1;Y1F+Y2F+Y3F+Y4F+Y5F+Y6F<=1;Y1G+Y2G+Y3G+Y4G+Y5G+Y6G<=1;Y1H+Y2H+Y3H+Y4H+Y5H+Y6H<