函数地单侧导数与导函数地左右极限

1、标准实用函数的单侧导数与导函数的左右极限摘要：本文通过例子讨论函数的单侧导数与导函数的单侧极限的区别，给出相应的结论，并引用一个重要 的定理一一导数极限定理介绍了两者的关系，在此定理的证明过程中简单的解释了用罗比达法则求极限时 失效的原因，并在此基础上，以定理的形式给出了函数的单侧导数与导函数的单侧极限相等的充分条件。关键词：右(左)导数 导数的右(左)极限 关系 区别Unilateral Derivate of Function and the UnilateralLimit of Derived FunctionAbstract： This paper discussed the diff

2、erences between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation whyL'Hospital loses i

3、ts value on solving the problem of the limit of function in theprocess of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Funct

4、ion Relationship Difference0.引言在很多实际问题中，人们不仅要研究变量的变化规律，而且要研究变量变化的快慢程度。如研究物体运动的速度、研究工农业总产值的增长速度等等。导数 正是研究变量变化快慢的有效工具。导数反应了函数相对于自变量变化而变化的 快慢程度，即函数的变化率。它使得人们能够使用数学工具描述事物变化的快慢 及解决一系列与之相关的问题，所以在各领域有着极其广泛的应用。为了更好的应用导数去解决实际问题，我们需要进一步的研究导数的一些性质和特点， 而单 侧导数和导数的单侧极限是研究导数的一个重要方面。单侧导数和导数的单侧极 限是微积分中两个重要的概念，在求分段函数

5、的导数、函数在端点处的导数、傅 里叶级数中都有其广泛的应用。本文就来讨论一下单侧导数与导数的单侧极限的区别与联系，并介绍分段函数的导数、函数在端点处的导数的一种求解方法。文 中引用了相关的参考文献，其中文献1、2介绍了单侧导数与导函数的单侧极 限的定义，3-6介绍了两者的区别与联系及相等的充分条件，7 -10介绍 了分段函数的导数、函数在端点处的导数的求解方法，并举例运用了此方法。1 .单侧导数与导函数的单侧极限的定义定义1：由于f(x)=imf(x'qf(x)，由极限存在的定义，函数f(x)在x 处可导的充分必要条件是相应的左右极限f'(x)= lim f(x)f(x)和 .

6、x Ri . xf式刈=2m+f(x+q-f(x)存在且相等,我们把他们分别称为f (刈在x处的左 导数和右导数。定义22:符号f'(。+0)(%-0»表示函数f(x)在点儿处导函数的右(左)极限，即 f x0 0 = lim f x f xo - 0 = lim f x . x_xox >xq-2 .单侧导数与导函数的单侧极限的区别函数的单侧导数与导函数的单侧极限是两个完全不同的概念，微积分的初学者往往认为 f4x0) = lim+f(x )= f'(x。+ 0，f Ax。)= lim f'(x )= f(x。- 0 )因此 x M0x 的一在求分段函

7、数在分段点处的导数、傅里叶级数或函数在区间端点处的导数时往往 不能得到正确的结果，在一般的情况下，两者并没有必然的联系(方便起见下面 以函数的右导数与导函数的右极限为代表说明)。我们知道，如果函数f(x)在点x0处可导,则f (x)在点选处的右导数 仁(比)肯 定存在。这一点是毫无疑问的，而函数f(x)在点x0处的导函数的右极限f'(x0+0) 存在，则说明函数f(x)在点小处的某右邻域(x0,x0+6)内的每一点都可导， 但需要注意的是函数f(x)在点x0处却未必可导。这一个小小的细节往往被一些 学生甚至资历较高的老师所忽视。我们先看一个例题。-2x-0,判断f(x)在x=0是否可导

8、。X :二 0(x+1)例1 设函数f(x)=2x 1错误解法：当x>0时，(x) = x+1当 x<0时，f'(x)=1当 x = 0时，f；(0) = limj 卜)=lim4x+1) = 1 x_0 ,x_0 f_(0) = lim f (x) =lim 1 =1一 x W x )0 -即 f0) = f二(0)=1.故 f'(0)=12(.x 1)21正确：f.(0) = lim- .x0f(0 . x) - f(0)二 lim 22 ; lim.x0，'=x:J"lx2 x-2=1x文案大全1x -:lim 2不存在i.x-0 -: x八

9、 1f (0：x)-f(0).( x 1)一2但是 lim - = lim £J0-x二 J0 -x故f0)不存在，即f (x)在x = 0处不可导。从这个例题中可以看出，f；(x0)与f'(x0 +0)并没有必然的联系。为了更深 入的探讨两者之间的关系，我们来看几个具体的例子，从这些例题中摸索其中的 内涵。. x + 2 x>0.例2 设函数f(x)=求 "0)与f'(0 + 0).、xx <0.解：当 x>0时，f '(x) =1故 f (0 0) = lim f (x) -1x0 ,而f；(0) = limp3 = lim产不

10、存在x0 -xx0 x故f玄0)不存在,f '(0+0) =1例3设函数f (x) = ,x2sin-11斛：当 x#0 时，f <x) = 2xsin cos xx11故 f (0+0)= lim/ (x) = lim工2xsin - cos)不存在 x0 .x-.0 -x x而 f (0) = lim - x-.0 -=limx0f(x)-f(0)x21x sin - -01xi x.1c=lim xsin- = 0x )0 x因此(0 +0)不存在,f (0) =0%，例4设函数f(x)=<10=0：0解：f.(0) = lim- x-0 'f(x)- f(0

11、)-lim 1x_0x-ex xex-e=lim x x0 e xexf _(0)lim (x) 一() = lim e = lim ex =1x0 -xx Q - xx0 -故f (x)在x =0处不可导。-e x 0-xe x：二 0故 f (0 0) ulim f (x) u1 x0 所以f«0) = f'(0+0)，但f(x)在x = 0处不可导。例5设函数f (x)=e01"2x x = 0x = 0解：当 x #0时，f(x) = _2re型 x3故 f (0 0) = lim f (x) = lim 2rx10 -x J0 -e京=lim-64 x1x

12、2x2=lim -x :0 2x12r-exx=0一二 lim 普x x w ,二 ex=lim ; x 0 . _ 2e#=lim -x 0 -xr =。2exf(x) - f (0) e而 f (0); lim - = lim 一x_0，卜xx_0 二同理匚(0)=0,故f(x)在x=0处可导。所以 f0+0)= f；(0)=0,且 f(x)在 x = 0处可导由上面5个例子，我们很容易发现，函数的右导数与函数的导函数的右极 限没有必然的联系，即f'(x0+0)与f4(x0)可能一个存在，另一个不存在，如上 面的例2和例3;也可能两者都存在但不相等，如例4;也可能两者都存在且相等

13、如例5.3,单侧导数与导函数的单侧极限的联系对于例5中这样的题目，有些读者不加验证误把 f«0)与f'(0+0)认为相 等的计算方法也能奏效，但前提是函数必须满足一些特定的条件。下面我们来 看一个重要的定理，这个定理和其证明过程表现了单侧导数与导函数的单侧极 限的联系，即求单侧导数的导数极限法。定理13:设函数f(x)在点X0的某邻域U(Xo)内连续，在U0(Xo)内可导，且极限lim f(x)存在,则“*)在点乂0处可导,且f'(x0) = lim f1r(x)x_X0x 凶证明：分别按左右导数来证明上式。(1) VxW U ；(%), f (x)在4,x 上满足拉

14、格朗日定理的条件,则(x0,x),S.t f(x)-f(x0) = f ( )(*)x - xo由于 x0 < t < x,故当 xt x”时，x T x.对上式两边同时取极限，得f (x0) = lim -f-()-f(x - lim f ( ) - f (x0 0)x x x -x0x >x0(2 )同理可得 f：(x0) = f'(x。-0)由于 lim f(x)存在,故 f'(x0+0)= f'(x0-0) x曲' 因此 f；(x°)= flx°)即 f'(x0)存在，且 f'(x0) = lim f

15、'(x) X本定理阐明了函数在某点的导数与其导函数在该点处的极限的关系，对于一般的函数而言，若在某点处极限存在时，并不能保证它在该点是连续的，而 导函数则具有这个特点，即只要导函数的极限存在，那么其导函数就一定是连 续的。在此定理的证明过程中，需要我们特别注意的是，当lim+f'(x)不存在时， x四并不能由此判定f式x0)不存在，因为当lim+f'(x)不存在时，lim+f'(有可能存 x >x0x >x0在，这是因为，对于某些特殊的函数而言，(*)式中的U可能有一个，也可能有很多个，当x连续的变化而从右侧逼近x0时，对应的上并不一定能够连续的变化

16、，例如可能构成一个以x0为极限的数列&,并且其对应的导数值数列*'()可能会有极限，而lim . f V) = lim f Vn) 0所以lim+f'(：)可能存在。例 x.x0nr-x >x0中如例2中的函数就是符合上述情况的一个例子，对于其中具体的细节这里就 不讨论了。大家很容易发现，当用罗比达法则求一些函数的极限时有时会失效，其中的原因就与上述所讨论的情况类似。我们知道在罗比达法则的证明过程有，、':, ., . .* I a之间) 故lim 工凶 =lim f9g(x) g(x) g(a) g ( )x，a g(x) x，a g ()同理当lim

17、f(x)不存在时，lim f'(?有可能存在，所以lim f(x)可能存在，x a g (x)x，a g ( )x a g(x)但我们需要用别的方法求解了 40定理1说明了函数的导数与函数的导函数的极限的联系，若函数的导函数 在一点x0处存在极限，则该函数的导函数在点x0处必连续。在此定理的证明过 程中我们得到了函数的单侧导数与导函数的单侧极限相等的结论，并成功的运用了此结论，对于例5中的函数，此结论也成立，那么，函数的单侧导数与函 数的导函数的左右极限到底有什么样的联系，在什么样的情况下可以相等呢？4.函数的单侧导数与函数的导函数的左右极限相等的充分条件定理25:若函数f(x)在闭区

18、间 Lxo+bklxo -6,x。)上连续，在开区间(x0,x0 +8 ) ( (x0 -6,x° )内可导,且 f'(x0 +0) = l ,则函数 f(x)在点 % 处右(左)可导，且 fXx°)=l(匚(x0)=l)。证明同定理1类似。需要注意的是定理2的条件是充分的，不是必要的。 /ci-V.如例3中的函数f(x)=x sin x x 00 x = 0由于 lim f()-f0)- = lim xsin- = 0 故 f 0)=0xoxx:0x即f (x)在x =0处可导。1.11-c而 f (x)=2xsinx-cosx x#o0x = 0-11 -,但

19、f(0+0)=Cm f'(x) = lim (2xsin- cos)不存在 x 0 x 0 x x所以定理2的条件是充分的，不是必要的。推论6:设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内存在有限的导数 L(x),若其导函数f (x)在a点存在右极限(有限)，即lim f ,(x)=A ( A为有限数)记为 x af'(a+0),则f(x)在a点存在右导数f1(a),且f“a) = lim J，(x),对于b点左侧 x /-有类似的结论。分段函数在分段点处的导数、函数在区间端点处的导数我们一般都是用导数 的定义去求，但这种方法计算繁杂，容易出错，如果所给的函数满足定理2及其 推

20、论的条件，我们利用导数的极限法去求解题目就简单的多了。下面我们来看几3 3 x例6设函数f (x)=ax + b个例子。x_2 , .、，在x=2处可导，求a、b的值。x 2解：由f(x)在x=2处可导，故f(x)在x=2处连续故吗 f (x)=呵(ax b) = 2a blim f (x) = lim x3 = 8x-2 一x.2 一即有2a b =8又 x<2 时，f'(x)=3x x>2 时，f'(x)=a故 f_(2) =lim 3x2 =12, f (2) = lim a =a x )2 -x 2 又因 “*)在乂=2处可导故 f*2) = f：(2),即

21、 a =12,解出 b = 16例 7 (1) 设函数 f (x) =cosln(x2+3) , x 0,1 ,求 f40)与 f解：函数f (x) =cosln(x2+3)在b,1】上连续，(0,1)内可导2f (x) = -2xsin21n(x *3) ,且 f <x)在 0,1 上连续。x 3一1 .一故 f (0 0) = f (0) = 0, f (1 一 0) = f =-1sin In 4由定理2,得到f (0)= f (0 0) =01f_(1) = f (1 -0) = -slnln 4x + sin x2 x < 0(2)求分段函数f(x) = J的导数。Jn(1+x)x > 0二，八2-1 +2xcosx x <0解：首先易得r(x)=, x>01 x进一步考虑f(x)在x=0处的导数，在此之前，我们只能用导数的定义来处理，现在则可以利用导数极限定理。由于lim f (x) = lim 1n(1 x) = 0 = f (0)x 0 -x 0 -一2 一 一 一lim f