振动力学第四章多自由度系统的振动

1、Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 目录 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 4.1.1 频率方程频率方程 4.1.2 主振型主振型 4.1.3 位移方程的解位移方程的解 4.1.1频率方程频率方程 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000设设n自由度系统运动微分方程的特解为自由度系统运动

2、微分方程的特解为niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( 即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为xAsin()pt MxKx 04.1.1频率方程频率方程 xAsin()ptA AAAAAAnnT1212将解式代入系统运动微分方程，并消去将解式代入系统运动微分方程，并消去 ，得到，得到sin()pt KAMA0p2KAMA p2()KM A0p2 MxKx 04.1.1频率方程频率方程 BKM p2()KM A0p2特征矩阵要使要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频

3、率方程是得到该系统的频率方程(或特征方程或特征方程)。KM0p2式是关于式是关于p2的的n次多项式，由它可以求出次多项式，由它可以求出n个固有频率个固有频率(或称或称特征值特征值)。因此，。因此，n个自由度振动系统具有个自由度振动系统具有n个固有频率。个固有频率。4.1.1频率方程频率方程 KM0p2A KAA MATT p2KAMA p2可得到AT前乘以下面对其取值情况进行讨论。下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正是正定的或半正定的，因此有定的，因此有p20A KAA MATT0TMAA于是，得到0TKAA4.1

4、.1频率方程频率方程 频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的一般的振动系统的n n个固有频率的值互不相等个固有频率的值互不相等( (也有特殊情也有特殊情况况) )。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为。将各个固有频率

5、按照由小到大的顺序排列为012pppn其中最低阶固有频率其中最低阶固有频率p p1 1称为第一阶固有频率或称称为第一阶固有频率或称基频基频，然后，然后依次称为依次称为二阶、三阶固有频率二阶、三阶固有频率等。等。 对应于对应于pi可以求得可以求得A(i)，它满足，它满足4.1.2主振型主振型 0)()(2iipAMK0)(2AMKpA(i)为对应于为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也阶主振型，也称固有振型或主模态。称固有振型或主模态。 AAA11121

6、121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( ) 对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有个固有频率和与之对应的频率和与之对应的n阶主振型阶主振型4.1.2主振型主振型 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn( )( )( )( )对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有频个固有频率和与之对应的率和与之对应的n阶主振型阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其，并进而确定其它元素的过程称为归一化。它元

7、素的过程称为归一化。 令令 ，于是可得第，于是可得第i阶主振型矢量为阶主振型矢量为Ani ( )1 AiiiTAA121( )( )4.1.2主振型主振型 主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。BKM p2BBBadj11特征矩阵特征矩阵逆矩阵逆矩阵BBIBadjB B乘以iiiBBIBadjpi代入0adjiiBBBi 00)()(2iipAMK比较比较 所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。 AiiBadj任任何何非非零零列列成成比比例例4.1.3位移方程的解位移方程的解

8、当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有sin()pt p2 MAA0niptAxii, 3 , 2 , 1)sin( () MI A012p MI102pLMI 12p特征矩阵频率方程频率方程求出求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵阵adjL将将pi值代入而求出值代入而求出. 代入位移方程代入位移方程 Mxx0例例 题题解：选择解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为度矩阵分别为M mmm0000002K 2020

9、kkkkkkk将M和K代入频率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp m例例 图是三自由度振动系统，设图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。，试求系统的固有频率和主振型。例例 题题299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609. 1,2810. 1,3559. 0321 解方程得到解方程得到求出系统的三个固有频率为求出系统的三个固有频率为再求再求特征矩阵的伴随矩阵特征矩阵的伴随矩阵BKMpkp mkkkp m

10、kkkp m222220202例例 题题 22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB设取其第三列设取其第三列(计算时可只求出这一列计算时可只求出这一列)，将，将p1值代入，得到第一值代入，得到第一阶主振型为阶主振型为 A1100001873325092. AA( ).23100000727404709100001100702115 将将p2 p3值代入得到第二、三阶主振值代入得到第二、三阶主振型为型为归一化后，即令归一化后，即令例例 题题 ipAMK)(2 = 0主振型也可由式

11、主振型也可由式 求得求得0)(2AMKpppp123,代入 Aii111 2 3(, )可得主振型可得主振型例例 题题例例 在前例中，若在前例中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。求系统的固有频率和主振型。k10K kkkkkkk020相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：解：B kp mkkkp mkkkp m2220202()2740342222m pkm pk m p特征矩阵为特征矩阵为可得到频率方程可得到频率方程例例 题题ppkmpkm12223200719227808,.,.ppkmpkm12300848116676,

12、.,.解出得到三个固有频率ppp123,Badjkk kp mkp mkp mk222222()()()分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.例例 题题 AAA121100001000010000100000280806404100001780803904 .,.,.这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵阵 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。

13、外力的合力为零，是动量守恒系统。 K 0例例 题题 例例4.4 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力所示。假设钢丝中的拉力FT很大，因而各点的横向位移不会很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化。设使拉力有明显的变化。设m1= m2= m3= m ，尺寸如图所示，试，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。用位移方程求该系统的固有频率和主振型。 解：系统的质量矩阵是解：系统的质量矩阵是 M mmm000000其柔度矩阵可按柔度影响系数求出其柔度矩阵可按柔度影响系数求出例例 题题1121311311

14、T11TlFlF首先仅在首先仅在m1质量处施加水平单位力质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出画出m1的受力图。根据平衡条件，得的受力图。根据平衡条件，得Tl4311m1TTFlFl431,423211311121由图中三角形的几何关系可解出由图中三角形的几何关系可解出112131例例 题题3212421234TFl写出柔度矩阵写出柔度矩阵系统的特征矩阵为系统的特征矩阵为222T210001000132124212341pppFmlpIMLL 322422321pT4Fml得频率方程，即得得频率方程，即得例例 题题L 0()()28802求出各根，按递降次序排列求出各根，

15、按递降次序排列 1232 2222 22(),()于是得到系统的固有频率于是得到系统的固有频率pTmlpTmlpTml12223212 224212 224(),()例例 题题为求系统的主振型，先求出为求系统的主振型，先求出adjL的第一列的第一列)4(42)3(24)3)(4(adj222L AAA123121101121 ,321,代入各阶主振型各阶主振型归一化 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 4.2.1 主振型的正交性主振型的正交性4.2.2 主振型矩阵与正则振型矩阵主振型矩阵与正则振型矩阵 4.2.3 主坐标和正则坐标主坐标和正则坐标 4.2.1主振型的正交性n自

16、由度的振动系统，具有自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的个固有频率和与之对应的n阶阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。阵的正交性。 AAij,ppij, iiip MAAK2 jjjp MAAK2对应于对应于 ()AiT两边左乘两边左乘转置，然后右乘转置，然后右乘 Aj ()()AK AAMAiTjiiTjp2 ()()AKAAMAiTjjiTjp2 ()()ppijiTj220AMA相减相减 ijppij ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 04.2.1主振型的正交性表明，对应于不同固有频率的主振

17、型之间，即关于质量表明，对应于不同固有频率的主振型之间，即关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。 ()AM AiTj 0 ()AK AiTj 0ijij ()AMAiTiiM (), , ,AK AiTiiKin 12 3 Ki称为第称为第i阶主刚度或第阶主刚度或第i阶模态刚度；阶模态刚度；Mi称为第称为第i阶主质量或第阶主质量或第i阶

18、阶模态质量。模态质量。 pKMiniiTiiTiii212 3()(), , ,( )AK AAMA令j = i,4.2.1主振型的正交性 由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。的转换，或者说不存在惯性耦合。 同样可以证明同样可以证明第第i阶阶固有振动的广义弹性固有振动的广义弹性力力在第在第j阶阶固有固有振动的微振动的微小位移小位移上的元上的元功功之和也等于之和也等于零零，因此不同阶固有，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于

19、每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。各阶主振动之间不会发生能量的传递。 从能量的观点看，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的各阶主振动是互相独立的，这就是主，这就是主振动正交性的物理意义。振动正交性的物理意义。 4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个nn阶方阵，称此阶方阵，称此方阵方阵为主振型矩阵为主振型矩阵或或模态

20、矩阵模态矩阵，即，即 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212AMAMAKAKPTPPPTPP根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质MPnMMM12KPnKKK12主质量矩阵主质量矩阵主刚度矩阵主刚度矩阵4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 使使MP由对角阵变换为单位阵由对角阵变换为单位阵? 将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即 AANiiPiM( )1这样得到的振型称为正则振型。这样得到的振型称为正则振型。 ()AMANiTNjijij10 ()A

21、KANiTNjipijij20正则振型的正交关系是正则振型的正交关系是第第i阶正则振型阶正则振型第第i阶固有频率阶固有频率 4.2.2主振型矩阵与正则振型矩阵 以各阶正则振型为列，依次排列成一个以各阶正则振型为列，依次排列成一个nn阶方阵，称此方阵阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即为正则振型矩阵，即 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()12111212122212由正交性可由正交性可导出正则矩导出正则矩阵两个性质阵两个性质谱矩阵谱矩阵 212222111TNNTNNnpppA MAIA KAP4.2.3主坐标和正则坐标 在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的

22、质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力耦合(m)又有静力耦合(k)。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现耦合项,亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。4.2.3主坐标和正则坐标 1. 主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即xA xPP主坐标矢量 xA xPP xA xAAAPPnPPPnxxx()1212

23、 122(1)12nPPPnnxxxxxxAAAxA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出4.2.3主坐标和正则坐标 原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成。新坐标xA xA xA xiniiPiPinPn112212 3, , ,比例因子 系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。xxinPPi1102 3,(, , )xA1如果令则可得4.2.3主坐标和正则坐标 将式 带入带入 MA xKA x0PPPP xA xPPxA xPP MxK

24、x 0A MA xA KA x0PTPPPTPP APTM xK x0PPPP 由主振型矩阵的两个性质前乘以由于主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵，所以方程式中无耦合，且为相互独立的n个自由度运动微分方程。即M xK xinipiiPi(, , , )012 3 第i阶主质量或模态质量第i阶主刚度或模态刚度第i阶主质量4.2.3主坐标和正则坐标 由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般程的过程。在

25、物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。是非对角阵，使运动方程不能解耦。 而在而在模态坐标系统模态坐标系统中，第中，第i 个模态坐标代表在位移向量个模态坐标代表在位移向量中第中第i阶主振型（模态振型）所作的贡献。阶主振型（模态振型）所作的贡献。 任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的应向量是各阶模态贡献的叠加的叠加的结果，而不是模态耦合的结果，而不是模态耦合的结果。结果。各阶模态之间是不

26、耦合的。各阶模态之间是不耦合的。 4.2.3主坐标和正则坐标 2. 正则坐标正则坐标用正则振型矩阵用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设进行坐标变换，设 xA xNNMA xKA x0NNNN MxKx 0正则坐标矢量正则坐标矢量ANTA MA xA KA x0NTNNNTNN前乘以前乘以 xP x0NN2 xp xN iiN i20(, , , )in 12 3 由正则振型矩阵的两个性质由正则振型矩阵的两个性质2TNNTNNA MAIA KAP4.2.3主坐标和正则坐标 3. 位移方程的坐标变换位移方程的坐标变换 Mxx0 MA xA x0NNNN设系统的位移方程设系统的位移方程AN1AMA x

27、A A x0NNNNNN11 前乘以AAA MA xx0NNTNTNNN11 ()单位矩阵的单位矩阵的转置矩阵转置矩阵IAA()NTNT1A MAINTNAAA KAPNNTNTNN11121 ()()()谱矩阵的逆矩阵谱矩阵的逆矩阵 Nnppp11112222 NNN xx0 xA xNNIA ANN14.2.3主坐标和正则坐标 例例 试求前例图示系统中的主试求前例图示系统中的主振型矩阵和正则振型矩阵。振型矩阵和正则振型矩阵。 AAAAP().123100001000010000187330727411007250920470902115由质量矩阵由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵，可求出主质量

28、矩阵M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：将在前例中求得的各阶主解：将在前例中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵型矩阵4.2.3主坐标和正则坐标 于是，可得各阶正则振型于是，可得各阶正则振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵ANm1024180712006592045300517907256060670335301394.4.2.3主坐标和正则坐标 K k21

29、0121011PA K A2012670001272600031007NTNkm.由刚度矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可求出谱矩阵 xP x0NN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可写出以正则坐标表示的运动方程可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为展开式为 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形

30、，这时相对应的主振型就不能唯一地上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。确定。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。ppp120 1201MAAKp可写出可写出 A1 A2 )(210AAKKAba AAA012ab线性组合线性组合说明对应于说明对应于p0的主振型的主振型不能唯一地确定不能唯一地确定 两个任意常数两个任意常数 2202MAAKp 220120MAAMbpap )(2120AAMbap 020MAp 当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。间的正

31、交性来确定。 例例4.6 图示系统是由两个质量均为图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为成，且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。的固有频率及主振型。解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1, x2 。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为 M mm00K kk00得到特征矩阵得到特征矩阵BKMpkp mkp m22200得到频率方程得到频率方程kp mkp m22000解出系统的两个固有频率，是重根。解出系统的两

32、个固有频率，是重根。 ppkm12 2200adjmpkmpkB求出特征矩阵的伴随矩阵求出特征矩阵的伴随矩阵并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为并将两个固有频率代入该矩阵的任一列，结果是两个元素全为零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵零。因此，在重根的情况下无法用伴随矩阵adjB 确定主振型。确定主振型。 需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动需由正交化求得。由观察系统的振动现象可知，刚杆具有两种运动即平动和转动。因此可假设即平动和转动。因此可假设 AA121111,然后用两振型关于然后用两振型关于M、K的的正交性来校核正交性来校核 1 10011211

33、00112012mmmmmmiiTi,(),满足 AMA 1 100110012mmT,()显然满足 AMA是该系统的一组正交主振型是该系统的一组正交主振型 AA12和需要指出的是，这种相互独立正交的需要指出的是，这种相互独立正交的主振型组可以有无穷多组。就好象在主振型组可以有无穷多组。就好象在平面几何中，一个圆有无穷多组相互平面几何中，一个圆有无穷多组相互垂直的二个直径一样。图所示，为另垂直的二个直径一样。图所示，为另一组相互正交的主振型，即一组相互正交的主振型，即 AA121001,例例4.8 图所示的系统中，各个质量图所示的系统中，各个质量只沿铅垂方向运动，设只沿铅垂方向运动，设k1=

34、k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，试求，试求系统的固有频率和主振型。系统的固有频率和主振型。MxKx0解：解：其中其中MKMmmmkkkkkkkkkk0000000000003000000,BKM p2300000002222kMpkkkkkmpkkmpkkmp由特征矩阵由特征矩阵建立频率方程为建立频率方程为MpkmpkmpmMkmp2222130()()()pppkmpMm kMm123403,()BKM p2由特征矩阵由特征矩阵23222222()()adj()()kmpk kmpk kmpk kmpBppMmmMk124203, AA141 1 1 131 1

35、 1 TTmM，求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列 ()KM A0p222 kMmAAAA3111100010001000000012223242求与重根对应的主振型求与重根对应的主振型 ()3012223242MmAAAA 0)(0)(2421MAAMAATT 0302423222124232221mAmAmAAMmmAmAmAMA按第一行展开按第一行展开同时应满足同时应满足正交化正交化 A120 AAA2232420 21222423AAA A2021 1T 02)(03)(0)(0)3(343332323433323134343332313134333231mA

36、mAmAmAmAmAAMmmAmAmAMAAAAAmMTTTMAAMAAMAA A331 A3001 1T同理，可得到满足第三阶主振型的关系式同理，可得到满足第三阶主振型的关系式 031A 0343332AAA 02343332mAmAmA A230 A431 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 已知已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程M xK x0 xxxx( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )00000000012012xxxxxxnTnT当当t=0时，系统的初始位移与初始速度为时，系统的初始位移与初始速度为求

37、系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方求解的方法是：先利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成程式转换成n个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用个独立的单自由度形式的运动微分方程；然后利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出示的响应；最后，再反变换至原物理坐标求出n自由度无阻尼系自由度无阻尼系统对初始条件的响应统对初始条件的响应.。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法

38、。 M xK x0 xA xNN0 NNxpx2 由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为), 3 , 2 , 1(sin)0(cos)0(nitppxtpxxiiiNiiNiNxA xNNxA xNN1A MAINTNAA MNNT1xA MxNNTxA M xxA MxNNTNNT( ) ( )0000 nNNNnNNNNNxxx2121AAAxAx系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法对于半正定系统，有固有频率对于半正定系统，有固有频率 pi = 0 xN

39、 i 0 xxxtN iN iN i( )( )00系统具有刚体运动振型系统具有刚体运动振型 nNnNNNNNxxxAAA2211 例例 在前例在前例4.1中，设初始条件是中，设初始条件是 求系统的响应。求系统的响应。 xx( ), ( )0000000aTT解：已求出系统的正则振型解：已求出系统的正则振型矩阵和质量矩阵矩阵和质量矩阵AMNmm1024180712006592045300517907256060670335301394100010002.,0)0(MxAxTNN ( )xA Mx0NNT00002000100011394. 07256. 06592. 03353. 05179.

40、 07120. 06067. 04530. 02418. 0am6592. 07120. 02418. 0amxa mp txa mp txa mp tNNN112233024180712006592.cos.cos.cos得到用正则坐标表示的响应得到用正则坐标表示的响应 xAAANNNNNNxxx112233xxxap tap tap t123123005850109501469050690368700919043450478300919 .cos.cos.cos求出系统对初始条件的响应求出系统对初始条件的响应pkmpkmpkm123035591128117609.,.,.其中其中 例例 三

41、圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均为，各段轴的扭转刚度系数均为 ，轴重，轴重不计。若已知运动的初始条件不计。若已知运动的初始条件k0000000TT，解：系统的位置可由三圆盘的解：系统的位置可由三圆盘的转角转角 确定，确定，123，IIIkkkkkkk000000020000123123求系统对初始条件的响应。求系统对初始条件的响应。运动微分方程是运动微分方程是求主振型求主振型IIIkkkkkkk000000020000123123B kp Ikkkp Ikkkp I222020B

42、 ()()kp Ik p Ip I224230ppkIpkI12303,写出特征方程写出特征方程得到系统的频率方程得到系统的频率方程解出三个固有频率解出三个固有频率ppkIpkI12303,三个固有频率三个固有频率22222)()(2(adjkIpkkkIpkIpkB求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列将各频率依次代入，即得各阶主振型将各频率依次代入，即得各阶主振型 AAA( ),123111101121 AAA( ),123111101121 AP111102111各阶主振型各阶主振型将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵MA

43、 MAPPTPIIII111101121000000111102111300020006ANI16231202231求出主质量矩阵求出主质量矩阵求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵AA MNNTI16222303121NNTNNI( )( )0000062311010AA求系统初始条件的正则坐标表示求系统初始条件的正则坐标表示NNNNNNtItpp tIpp tpp tIpp t112222223333330303606( )( )sinsin( )sinsin 332211NNNNNNAAA求出响应为求出响应为0000T，若初始条件为若初始条件为求系统的响

44、应求系统的响应0102)0(01INNA000)0(01NNAtpIN2cos0102tpptppttppttpptppt3322333322sin1sin32sin12sin1sin3260102)0(01INNA由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率率p2作谐振动。作谐振动。 ANNIIp tp t16231202231201010122coscos000)0(01NNAtpIN2cos0102 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 一般工程结构和机械的工作状态都要避开共振。因此，在设一般工程结构和

45、机械的工作状态都要避开共振。因此，在设计过程中，要变更系统的物理参数，如质量、刚度等，使其固计过程中，要变更系统的物理参数，如质量、刚度等，使其固有频率适当地偏离激振力的频率。所以，需要探讨固有频率随有频率适当地偏离激振力的频率。所以，需要探讨固有频率随质量、刚度变更的情况。质量、刚度变更的情况。 KAMAiiipin212 3, , , pKMiniiiiTiiTi212 3()(), , ,AKAAMA当K中的元素增大时，pi2将增大；当M中的元素增大时， pi2将减小。 设系统的M矩阵中各元素不变，求K矩阵元素的变化对系统各阶固有频率的影响。 KAMANiiNip2设系统中第j个弹性元件

46、kj发生变化，将上式对kj求导数，得 jiNiiNjiiNjiijiNiNjkpkpkppkkAMAMMAAKAK222 ()ANiT式两端前乘以0jkM jiNTiNiiNTiNjiijiNTiNiNjTiNkpkppkkAMAMAAAKAAKA)()(2)()(2 ()AMANiTNi 1 KAMANiiNip2转置转置 ()()AKAMNiTiNiTp2 jiNTiNijiNTiNkpkAMAAKA)()(2 jiiiNjTiNkppk2)(AKA iNjTiNijikpkpAKA)(21in 12 3, , ,系统各阶固有频率的变化率与刚度元素 的变化率成正比。 jiiiNjTiNkp

47、pk2)(AKA iNjTiNijikpkpAKA)(21in 12 3, , ,系统各阶固有频率的变化率与刚度元素的变化率成正比。同理，设系统刚度矩阵K中各元素保持不变，而质量矩阵M 发生变化，即系统中第个j质量元素mj发生变化， 若质量的变化率为正时，固有频率的变化率为负。即质量mj变大时，各阶固有频率相应地要减小。 iNjTiNijimpmpAMA)(21in12 3, , , KAMANiiNip2对mj求导数 ()ANiT式两端前乘以 jiNTiNiiNjTiNiiNTiNjiijiNTiNmpmpmppmAMAAMAMAAAKA)()()(2)(22 1)(iNTiNMAA KAM

48、ANiiNip2转置转置 ()()AKAMNiTiNiTp2 jiNTiNijiNTiNmpmAMAAKA)()(2 iNjTiNijiimpmppAMA)(2020jmK jiNiiNjiiNjiijiNiNjmpmpmppmmAMAMMAAKAK222 第第4 4章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 4.6.1 主振型分析法主振型分析法4.6.2 正则振型分析法正则振型分析法 4.6.1主振型分析法fFsintMxKxf 设设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动

49、微分方程为为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。则振型分析法。利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法，利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法，称为正规模态法或实模态分析法。称为正规模态法或实模态分析法。 4.6.1主振型分析法xA xPPM xK xqPPPPP 利用主坐标变换利用主坐标变换MxKxf qA fA FQPPTPTPttsinsinM xK xQtiPiiPiPisinin12 3, , ,QA FPPT以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n个独

50、立的单自个独立的单自由度方程，即由度方程，即同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即同频率的简谐函数，即xBtPiPisinin 12 3, , ,4.6.1主振型分析法BQKMQMpQPiPiiiPiiiiPi222()in12 3, , ,M xK xQtiPiiPiPisinxBtPiPisinttTPPPsindiagsinFaABx faAAxAxTPPPPdiag iiiiiKMMp11222()返回原物理坐标返回原物理坐标这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为主振型这就是系统对简谐激振力的

51、稳态响应。上述方法即为主振型分析法。分析法。FAaQaBTPPPdiagdiag 4.6.2正则振型分析法 xA xNN xP xqNNN2qAfQNNTNtsinQA FNNTMxKxf 将正则坐标变换的关系式由正则振型的正交条件可得到解偶的运动微分方程sinxp xQtNiiNiNi2in12 3, , ,xBtNiNisinBQpQpinNiNiiiNiii2222112 3, , ,可写成n个独立的方程FAQBTNNNdiagdiag ttTNNNsindiagsinFABx tTNNNNsindiagFAAxAx 返回原物理坐标fFsint4.6.2正则振型分析法 可以看出，当激振力

52、的频率等于系统固有频率中任何一个时，可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统发生共振。与单自由度系统不同，发生共振。与单自由度系统不同，n自由度系统一般有自由度系统一般有n个固个固有频率，因此可能出现有频率，因此可能出现n次共振。可以证明，当系统发生共次共振。可以证明，当系统发生共振时，譬如振时，譬如 ，这时第，这时第i阶主共振的振幅会变得十分大，阶主共振的振幅会变得十分大，称系统发生了第称系统发生了第i阶共振，且系统在第阶共振，且系统在第i阶共振时的振动形态阶共振时的振动形态

53、接近于第接近于第i阶主振型。阶主振型。 piBQpQpinNiNiiiNiii2222112 3, , ,BQKMQMpQPiPiiiPiiiiPi222()4.6.2正则振型分析法 例例 在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为m，且，且，kkkk kk F tFt F tFt F t123411223230,;( )sin,( )sin,( )试求系统的稳态响应。解：设取广义坐标解：设取广义坐标x1、 x2、 x3 如图所示。如图所示。MxKxf( )t系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为4.6.2正则振型分析法 tFtFsin)(11M

54、xKxf( )t由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在F1(t)和和F2(t)单独单独作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后得到系统对作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后得到系统对激励激励 f (t)的响应。的响应。MKfmmmkkkkkkktFtFt,( )sinsin202033012tFtF3sin)(220)(3tF4.6.2正则振型分析法 pkmpkmpkm122232075312444838020.,.,.ANm1058780736903283074030328105914032630590907375. xxqNNNppp12223

55、200现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程4.6.2正则振型分析法 将qN分成两种情况(用下标1，2分别表示F1(t)、F2(t)单独作用的情况)。()sin.sin()sin.sinqAqANNTNNTFtmFtFtmFt111222001058780736903283003107403032810591432211iipxqNiiNii 12 3, ,tmFtmFNNNN3sin5914. 03281. 07403. 0)(diag)(sin3283. 073

56、69. 05878. 0)(diag)(32221222223121111111 qxqx22231iip4.8.2正则振型分析法 由于激振力是不同频率的， F2(t)的频率是F1(t)的三倍，因此系统的总响应不再是简谐的，而是周期性的。xA xNN xx11121311121311121311212223212223212223220345505430010780435102417019420191804354024210435102418019420548001076034980241601937043623.sin.sinFmtFmtxxx( )( )12 第第4 4章章 多自由度系统的

57、振动多自由度系统的振动 4.7.1 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼4.7.2 存在比例阻尼时的强迫振动存在比例阻尼时的强迫振动 4.7.1多自由度系统的阻尼在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼与速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分的阻尼与速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是方程式中的阻尼矩阵一般是n阶方阵。有阶方阵。有MxCxKxfC cccccccccnnnnnn111212122212C是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔度影响系数类似，阻尼矩是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔

58、度影响系数类似，阻尼矩阵中的元素阵中的元素cij称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第j个坐个坐标上产生单位速度而相应于在第标上产生单位速度而相应于在第i个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 CA CAPPTP利用主坐标分析法，用主振型矩阵利用主坐标分析法，用主振型矩阵AP试对阻尼矩阵试对阻尼矩阵C进行对角化进行对角化CP一般不是对角阵一般不是对角阵CMKabCAMK AMKPPTPPPabab()C aMbKaMbKaMbKnn11221. 将阻尼矩阵假设为比例阻尼将阻尼矩阵假设为比例阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合假设阻尼矩阵是质

59、量矩阵和刚度矩阵的线性组合a、b是正的常数是正的常数称为主阻尼矩阵称为主阻尼矩阵4.7.1多自由度系统的阻尼CAMK AIPNNTNabab()2CNnabpabpabp12222cabpN ii2in12 3, , ,若用正则振型矩阵变换若用正则振型矩阵变换22iiiiNbpapciiipbpa22振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数振型阻尼比或模态阻尼比振型阻尼比或模态阻尼比4.7.1多自由度系统的阻尼2. 2. 由实验测定各阶振型阻尼比由实验测定各阶振型阻尼比对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在列写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，这样，在列写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方