30.高考数列与不等式综合应用问题

1、仅供个人参考高考数列与不等式综合应用问题考情分析：数列与不等式的综合问题是近年来高考的一个热点，也是一个难点；教学目标：掌握用常规的放缩思想去解决数列与不等式的证明问题；培养学生的探究分析能 力；基础知识回顾：(一)常用放缩和裂项拆项的结论 ：11*一(k 2,k N ) k 1 k1111k k 1 k(k 1)k2 k(k 1)不得用于商业用途(2) 2(Jk 1 衣)2(、k 、k 1)(k 2,k N*)2,k113k3k(k 1)(k 1)111(k2 k(k 1) k(k 1)-(-).(1 -)- bk bk bk 1b2 6 6(二)常用证明不等式的方法：作差、作商、放缩、函数

2、法、数学归纳法、反证法例题讲解： 1 9. *已知数列an满足：a1 2,an1 2(1 )24(n N ) n(1)求证数列 a2是等比数列，并求出数列 2的通项公式; n(2)设 cnn17一 ,Tn是数列cn的刖n项和，求证：Tn an24跟踪训练:1、等比数列an的前n项和为Sn ,已知对任意的n N ，点(n£),均在函数y bx r(b 0且b 1,b,r均为常数)的图像上.(1)求r的值；(11)当 b=2 时，记bn2(log2an 1)(n N )证明：对任意的n N ,不等式bJ 也bn成立b1b2bn解:因为对任意的n N ，点(n,Sn),均在函数y bx r

3、(b 0且b 1,b,r均为常数的图像上.所以得Snbn r,当 n 1 时，a1S1b r,当 n 2时，anSn Sn 1bn r (bn 1 r) bn bn 1 (b 1)bn 1又因为an为等比数列所以r 1,公比为b,an (b 1)bn 1(2)当 b=2 时，an (b 1)bn 12n1,bn2(log2an 1) 2(log22n1 1) 2nb 1则b一1 bn=所以U2nb1b2bn 13 5 712n 1Lbn2 4 6 2n(1 b2 1bn 1 3 5 7 2n 1、卜面用数学归纳法证明不等式* * L V n 1 成立.b1b2bn2 4 6 2n当n 1时，左

4、边=3,右边= J2,因为3 J2,所以不等式成立 22一,r b11b2 1bk 1 3 5 7 2k 1 假设当n k时不等式成立，即巴2一 L 4k 1成立.则3 5 7 L 2k 1 2k 3246 2k 2k 2b1b2bk2 4 6 2k当n k 1时，左边=bbbk 1bk 1 1bib2bk bk 1.【圣 产 3)2弁 1)2 4(k 1) 1JJ1一厂.(rv2k 2. 4( k 1),4(k 1),4(k 1)所以当n k 1时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知Sn求an的基本题型，并运用数学归纳法证明与自

5、然数有关的命题，以及放缩法证明不等式.2、已知为锐角，且 tan 2 1 ,函数 f(x) x2 tan2 x sin(2 ),.14数列an的首项 a1_ , an 1 f (an).2(1)求函数f(x)的表达式；求证:an1 an ；求证:解：tan2an 1课后练习:1、 已知1(1)(1a1a12tan, 2tan2ana；1a n 1,11 a11, a2anan1, , an 1an1) a2若不存在，说明理由解：设存在正数k,则k -12n记 F(n)1 a22(、. 2 1)an2 (n 2,1 (.2sin(2一 an 11an(111)2为锐角f(x)a2,a3,an都大

6、于anan11an 1g)a3(1ana2足an1 一) an11 ana2a2a3anan 1a32 an1 ana22n1,(nan 111 anN*)试推断是在正数 k ,使得kv2n1对一切n N *均成立？若存在，求出 k的最大值;一 1使(1)(1a1i)1、(1 一)kV2n 1 成立 an(111一)， an(12n 111)(1)a1a2(1 -)，则anF(n 1)F(n 1)F(n)12n 32n1(1 -)(1a12-)(1-)(1a2an2(n 1),(2n 1)(2n3)4(n 1)2 1an 12(n 1) 12(n 1)F(n1)F(n)F(n)是随n的增大而增

7、大n N*,1 时，F(n)min2 32.3一 F(1) -, k 1,即k的最大值为332.332、已知an满足an |2n23(1)n,证明：对任意白整数m4,有1 a4证明：观察要证的不等式，左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,a5使之能够求和。而左边工1 La4a5amI 12m 2 ( 1)m如果我们把上式中的分母中的掉，就可利用等比数列的前 n项公式求和,由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起，一一 11进行放缩，尝试知： 22 1 23 1122以从第一项开始两两组合在一起再放缩来解决，若11'23 1 24 1，一1m为奇数可将-2211

8、二二，因此若m为偶数可2324-保留，再将后面的项两两组合后放1缩，即可求和。这里需要对m进行分类讨论,(1)当m为偶数(m4)时,a4 a5ama4(a) amJ -2324-X)2m 2 )4(1了)(2)当m是奇数(m4)时,1为偶数,a4a5ama4a5a6amam 18所以对任意整数/右14,有a43、已知 lnxwx1求证：蜉 22a5am7 O本题的关键是并项后进行适当的放8缩。对定义域中的每一个ln332ln n2n2n2 n4(n 1)1，一 (n C N, n>2)证明：Q lnxw x1，又 x>0,ln xnln n2N*, nn2,得2nIn n-2nln

9、231 .2(nn*1 ln3 31)!)，(22ln n13y-(1 2222L n(2-1、,n(n 1)1 (2 (21)2n2n2n24(n 1)，结论成立.1 ,4、已知an?两足an=( 4若T2na1 2a23a32na2n ,24n nQn= 124n 4n 1(nCN),试比较9T2n与Q的大小，并说明理由.解：- T2 n= a1+2a2+3a 3+(2n-1) a 2 n 1+2na2 n,1、)2na2 n2T2 n= (- a1)+( - ) 2a 2+ ( -) 3a 3+(- -)(2n-1)a2 n 1+ (22222=a 2+2a 3+(2n 1) a2 n

10、na2 n.3两式相减，得 一丁2 n= a1+a2+a3+a2 n+na2n.21 ()342 一 T2n =21 122n+ nx-(-1)2n421=161(-)2n+-(-l)2n 162421 11 2n n 12nli 3nT2n = 9-9(-2) +6(-2)=9(1-Tn1-).1- 9T2n = 1-又 Qn = 1-3n 1.2 2n3n 12 ,(2n 1)当 n=1 时，22 n= 4,( 2n+1)2=9, . 9T2 nV Q n； 当 n=2 时，22 n=16,( 2n+1)2=25, . 9T2 nQn；当 n>3 时，22n (1 1)n2 (C0

11、C： C3 C；)2 (2n 1)2, -9T2 n>Q n.5、在数列an,bn中，a12,D 4,且an,bn,an1成等差数列，bn,an1 ,bn 1成等比数列求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测 小 , bn的通项公式，并证明你的结论；、r 11证明： Ila1b1a2b2说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运 用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分 12分.解析：2,(I )由条件得 2bn an an 1, an 1 bnbn 1由此可得a2 6,b29,a312,b316,a420,b425.2猜测 an n(

12、n 1), bn (n 1).用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.假设当n=k时，结论成立，即2 ak k(k 1), bk (k 1),那么当n=k+1时, 2ak12。ak2(k1)2k(k 1) (k 1)(k 2),bk1(k2)2.所以当n=k+1时，结论也成立. 2由，可知an n(n 1), bn(n 1)对一切正整数都成立.()1a1 bi512n>2时，由(I)知 anbn (n 1)(2n 1) 2(n 1)n .an bn6 2 2 3 3 41n(n 1)11故a1b1a2 b21111116 2 2 3 3 411111156 2 2 n 16 4 12综上，原不等式成立.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu leummlen Zwecken verwendet werde