2019九年级数学上册1.4用一元二次方程解决问题专项练习二(等积变形、面积问题)

1、第一章 第4节 用一元二次方程解决问题专项练习二二、等积变形、面积问题 2:1 .某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠墙(两堵墙互相垂直，长度不限)，另两边用木栏围成，木栏总长 20米.(1)兔场的面积能达到 100平方米吗？请你给出设计方案；(2)兔场的面积能达到 110平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理.2 .张大叔从市场上买回一块矩形铁皮， 他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1米的正方形后, 剩下的部分刚好能围成一个容积为 15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2米, 现已知购买这种铁皮每平方米需 20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元

2、钱？3 .如图，学校打算用16 m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙(如下图)，面积是30 m2.求生物园的长和宽.4 .现有一块长20cm,宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？5 .校生物小组有一块长 32ml宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2,小道的宽应是多少米?136 .要对一块长60米，宽40米的矩形荒地 ABCDS行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为1形ABC面积的

3、-, 4两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽.DC7 .如图，在矩形ABCD43,BC=24cmP、Q M N分别从A、B C D出发，沿 ADBGCBDA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若 BQ=xcm (xw0),贝U AP=2xcm CM=3xcm DN=Xcmi,(1)当x为何值时，点P、N重合；(2)当x为何值时，以P、。M N为顶点的四边形是平行四边形.黄用图)8 .如图，要建一个面积为 150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡

4、场的一边沿用原来的一堵墙, 墙长为a m,其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.如果a=40,那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？9 .如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边.如图，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是 40平方米.求花边的宽10 .如图，在 RtACB中，/ C=90 , BC=6m AC=8m点P、Q同时由A、B两点出发分别沿 AC, BC方向向点C匀速运动，已知点 P移动的速度是，20cm/s,点Q移动的速度是10cm/s,几秒后 PCQ勺5面积为RtACB面积的？811 .做

5、一个底面积为 24 cm2,长，宽，高的比为 4： 2： 1的长方体.求:(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2)长方体的表面积是多少？的厚度忽略不12 .把一边长为 36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子(纸板计)(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.2要使折成的长方体盒子的底面积为676cm,那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边

6、上)将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)13 .在一块长宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下 面分别是小华与小芳的设计方案.(1)小芳说，我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度 均相同，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度.(2)小华说，我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点 分别在矩形荒地的四条边上，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在 图之和图3中画

7、出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由.e16mItvn14 .用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形(阴影部分).并制成一个长方体纸盒。(1)用a, b, x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；(2)当a=6, b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.答案详解：1. (1) 10 m; (2) 110 m2.试题分析：(1)设AB=x,则BC=20 x,利用矩形的面积作为等量关系列方程，解方程求解即可，根据方程解的情况给出方案；(2)设AB=x,则BC=20 x,利用矩形的面积作为等量关系列方程，若一元二次方程有解则可求出长和宽从

8、而可设计方案，若方程无解，则不能围成上述条件的长方形.试题解析：(1)设 AB=x,贝U BC=20- x,根据题意，得 x (20-x) =100整理，得 x2- 20x+100=0,解得 x1=x2=10,所以兔场的面积能达到 100 m2,设计方案为：AB=BC=10 m.(2)设 A田x,贝U BC=20- x,根据题意，得 x (20-x) =110,整理，得 x2-20x+110=0,A=400- 4400, .原方程无解.故兔场的面积不能达到 110 m2.点拨：本题考查了一元二次方程的应用，解决这类题目要读懂题意，准确的找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断

9、是否符合题意，进行值的取舍.2. 700.试题分析：本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为(x+2)米，根据刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案.试题解析：设长方体箱子宽为 x米，则长为(x+2)米.依题意，有 x (x+2) X 1=15.整理，得 x2+2x-15=0 ,解得 x1=-5 (舍去)，x2=3,这种运动箱底部长为 5米，宽为3米.由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为(5+2) X (3+2) =35，做一个这样的运动箱要花35X20=700 (元).答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元3. 长和宽分别是 3、10或5、6.试题分析

10、：首先设生物园的宽为x米，则长为(16-2x)米，根据题意可得等量关系：长方形的长X宽=面积30米2,由等量关系列出方程 xx (16-2x) =30,再解方程即可.试题解析：设宽为 x m,则长为(16-2x ) m.由题意，得 xx ( 16-2x ) =30,解得 x 1=3, x2=5.当 x=3 时，16-2X3=10,当 x=5 时，16-2X5=6.4. 3cm.试题分析：设剪去的小正方形的边长为x,根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.试题解析：设剪去的小正方形的边长为xcm,根据题意得：(20-2x) (10-2x) =56,整理得：(x-3) (x-12) =0,解得

11、：x=3或x=12,经检验x=12不合题意，舍去，x=3,则剪去小正方形的边长为 3cm.5. 2m首先设道路的宽为xm,然后根据种植面积列出方程(32-x ) ( 20-x ) =540 ,整理，得 x2-52x+100=0 ,(x-50 ) (x-2 ) =0,.,.X1=2, x2=50 (不合题意，舍去),小道的宽应是2m故答案为：2.点拨：此题应熟记长方形的面积公式，另外求出 4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题 的关键.6. 两块绿地周围.的硬化路面宽都为10米.试题分析：可把 P, Q通过平移看做一个矩形，设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，用含x的代数式分别表示

12、出绿地的长为60-3x,宽为40-2x,利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD1.面积的-”作为相等关系列方程求解即可.解：设P、. Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为 x米，根据题意，得 (6。- X (40- 2x) =60X40x14解之得Xi=10, X2=30经检验，X2=30不符合题意，舍去.答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米.7. (1) x=4时点P与点N重合；(2)当x=2或+时四边形NQM超平行四边形 分析：(1) P、N两点重合，即 AP+DN=AD=B或立方程解答即可；(2)把P、N两点分两种情况讨论，点 P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边 形的性质联

13、立方程解答即可.详解：(1)当点P与点N重合时，由x2+2x=24,得X1=4、X2=-6 (舍去)，所以x=4时点P与点N重合. 因为当N点到达A点时，x2=24,解得： ，此时M点和Q点还未相遇，所以点 Q只能在点M的左侧，如图1,当点P在点N的左侧时，由 24- (x+3x) =24- (2x+x2),解得X1=0 (舍去)，X2=2;故当x=2时四边形PQMN1平行四边形;如图DB Q2,当点P在点N的右侧时，由24- (x+3x) = (2x+x2) -24,解得+户7 ,0(舍去)；故当也7时四边形NQM灌平行四边形;综上：当*=2或-3+*7时四边形NQMP1平行四边形.点拨：本

14、题主要考查一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的性质； 关键是能借助 图形的性质找出数量关系，并能针对具体问题进行分类讨论8. (1)养鸡场的长、宽分别为20 m, 7.5 m或15 m, 10 m. (2)建成长为15 m,宽为10 m或长为20 m,宽为7.5 m的养鸡场.分析：(1)设与墙垂直的一边长为xm,则由题意可得与墙平行的一边长为(35-2x) m,根据长方形的面积计算公式结合题意列出方程，解方程即可求得养鸡场的长和宽；(2)由养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a,结合(1)中所得结果进行分析即可.详解：(1)设养鸡场与墙垂直的一边长为x m,则与墙平行的一边长

15、为(35 -2x)m,根据题意得：x(35 2x)=150,解得：x1=10, x2= 7.5 ,当 x= 10 时，352x=15;当 x= 7.5 时，35-2x= 20.答：养鸡场的长、宽分别为20 m, 7.5 m或15 m, 10 m.(2)由题意可知，养鸡场与墙平行的一边的长度不大于墙的长度a,结合(1)中的结果可知：当av 15时，问题无解；当15wav20时，问题有一解，即可建成长为 15 m、宽为10 m的养鸡场；当aR20时，问题有两解，即可建成长为 15 m,宽为10 m或长为20 m,宽为7.5 m的养鸡场.点拨：(1) “读懂题意，结合图形，知道用竹篱笆只围了养鸡场的

16、三面”是解答第1小题的关键；(2) “读题题意，知道养鸡场与墙平行一边的长度不大于墙的长度a”是解答第2小题的关键.9.花边的宽为1米.试题分析：可以设花边的宽为x米，可以列出方程解题.试题解析：解：设花边的宽为x米，列方程为2x 6 2x 3)=4011解之得为=1,x2(舍去)答：花边的宽为 1米.510. 10秒后 PCQ勺面积为RtACB面积的5 .8试题分析：设运动时间为 t秒，表示出PG QC再根据三角形的面积公式列出方程，然后根据一元二次方程的解法求解即可.试题解析：设运动时间为 t秒，则PC=8- 0.2t , QC=6- 0.1t ,由题意得，1 (8 0.2t ) (6 0

17、.1t ) =5 x 1 X6X8,282整理得，t2- 100t+900=0 ,解得 ti=10, t2=9 0 (舍去)，5答：10秒后4PCQ勺面积为RtACB面积的811. (1)这个长方体的长、宽、高分别是4，3cmT, 2，3cm, J3 cm； (2)长方体的表面积是 84 cm2.试题分析：(1)(2)设出长宽高，利用底面积，求出长宽高，最后再求出表面积试题解析：(1)设长方体的高为x,则长为4x,宽为2x,由题意得4xX2 x=24解得x=J3 ,则4x=433,2x=2褥.答：这个长方体的长、宽、高分别是4 J3 cm, 2J3 cm, J3 cm(2)(4 痣 X2 百+

18、百 X4 点 +2 点 X 73) X2= (24 + 12 +6) X 2= 42X 2= 84(cm2).答：长方体2的表面积是84 cm12. (1)剪掉的正方形的边长为5cm,当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2; (2)剪掉的正方形的边长为8cm.此时长方体盒子的长为20cm,宽为10cm,高为8cm.分析：(1)设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得出(36-2x) 2=676,求出即可；设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为 Scm2,则y与x的函数关系为：S=4 (36-2x) x,利用二次函数最值求出即可；(2)设剪掉的长方形盒子的高为

19、acm,利用折成的一个长方形盒子的表面积为880c,得出等式方程求出即可.详解：(1)设剪掉的正方形的边长为xcm.则( 36 - 2x) 2=676,即 36-2x=26,解得：Xi=31 (不合题意，舍去)，x2=5, ，剪掉的正方形的边长为 5cm.侧面积有最大值.设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为 Scm,则S与x的函数关系为：S= (36 - 2x) XxX4 =- 8x2+144x= - (x- 9) 2+648,.x=9 时，S最大=648.即当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积最大为648cm2;(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为acm,长为（36-2a）cm,宽为（18-a）cm,高为acm.（36-2a） X36+2a （18-a） =880解得：ai=- 26 （不合题意，舍去），a2=8.，剪掉的正方形的边长为 8cm.此时长方体盒子的长为 20cm,宽为10cm,高为8cm.点拨：本题考查了二次函数的应用及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细