(完整版)存在性问题压轴题

1、2017年中考备考专题复习：存在性问题、综合题(共21题；共291分)1、(2016殓华)在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为(-6, 0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点 C在第二象限.现将正方形 OBCD绕点O顺时针旋转角 “得到正方形OEFG .(1)如图2,若0=60, OE=OA,求直线EF的函数表达式.(2)若a为锐角，tan妹g,当AE取得最小值时，求正方形 OEFG的面积.当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P, 4OEP的其中两边之比能否为J2 : 1?若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由2、(2016?临沂)如图，在

2、平面直角坐标系中，直线 y=-2x+10与x轴，y轴相交于A, B两点，点C的 坐标是(8, 4),连接AC, BC.(1)求过O, A, C三点的抛物线的解析式，并判断4ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点 B运动；同时，动点 Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA ?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使以A, B, M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.3、( 2016讷江)已知抛物线 C： y=

3、x2-3x+m,直线l： y=kx (k0),当k=1时，抛物线C与直线l只 有一个公共点.(1)求m的值；1 1(2)若直线l与抛物线 C交于不同的两点 A,B,直线l与直线li： y= - 3x+b交于点P，且 已可+ =y =5具， 求b的值；在(2)的条件下，设直线li与y轴交于点Q,问：是否在实数k使Sapq=S/bpq?若存在，求k的值， 若不存在，说明理由.4、(2016渐疆)如图，抛物线 y=ax2+bx - 3 (aw。的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且BO=OC=3AO ,直线y= - fx+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)证明：D

4、BOsebC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由.5、 (2016徐圳)如图，抛物线 y=ax2+2x 3与x轴交于A、B两点，且B (1, 0)(1)求抛物线的解析式和点 A的坐标；(2)如图1,点P是直线y=x上的动点，当直线 y=x平分/APB时，求点P的坐标；(3)如图2,已知直线y=5x-5分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一 个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线 CF于点D,点E在线段CD的延长线上，连接 QE.问：以QD 为腰的等腰4QDE的面积是否存在最大值？若存在

5、，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.O,顶点为A (1, 1),且与直线y=x-2交于B, C两点.6、(2016摘宁)如图，已知抛物线经过原点(1)求抛物线的解析式及点 C的坐标；(2)求证：4ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点 N作MN，x轴与抛物线交于点 M,则是否存在以 O, M, N为顶 点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.7、(2016?眉山)已知如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1 ,OB=3, OC=4,(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标

6、系 xOy中是否存在一点 P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM - AM|的最大值时点 M的坐标，并直接 写出|PM-AM|的最大值.8、(2016承坊)如图，已知抛物线 y= gx2+bx+c经过4ABC的三个顶点，其中点 A (0, 1),点B (9, 10) , AC/x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶

7、点时，在直线 AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与 4ABC相 似，若存在，求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由.9、(2016行夏)在矩形ABCD中，AB=3 , AD=4 ,动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿 AB 向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP, QD, PD.若两个点同时运动的时间为 x秒(0VxW$ ,解答下列问题:(1)设4QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示(2)是否存在x的值，使得QPLDP?试说明理由.S;当x为何值时，S有最大值？并求出最小值;10、(2016枷州)如图，在平面直角坐标系中，点

8、。为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1, 3 后)，B (4, 0)两点.(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点 D,使得4ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在， 求出点D的坐标; 若不存在，说明理由；(3)点P是线段AB上一动点，(点 P不与点A、B重合)，过点P作PM/OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC，x轴于点C,交AB于点N,若 BCN、 PMN的面积Sabcn. Sapmn满足 MN一Sa bcn=2Sapmn , 求出 而了 的值，并求出此时点 M的坐标.11、(2016型枝花)如图，抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点

9、，B点坐标为(3, 0),与y轴交于点 C (0, - 3)(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形 ABPC的最大面积.(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线 m经过点B和点Q,是否存 在直线m,使得直线1、m与x轴围成的三角形和直线1、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直 线m的解析式，若不存在，请说明理由.12、(2016根阳)已知抛物线与 x轴交于A (6, 0)、B (-京，)两点，与y轴交于点C，过抛物线 上点M (1, 3)作MN，x轴于点N,连接OM.(1)求此抛物

10、线的解析式；(2)如图1,将4OMN沿x轴向右平移t个单位(0Wt涮O M N位置，MN、M 8直线AC分别 交于点E、F.当点F为M。的中点时，求t的值；如图2,若直线M N与抛物线相交于点 G,过点G作GH/ M。交AC于点H,试确定线段EH是否存 在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由.图1图213、(20167W州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A, B, C三点，点A的坐标是(3, 0),点C的坐标是(0, - 3),动点P在抛物线上.(1)b=, c=，点B的坐标为 ;(直接填写结果)(2)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直

11、角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为 F,连接EF,当线 段EF的长度最短时，求出点 P的坐标.14、(2016?昆明)如图1,对称轴为直线x= *的抛物线经过B(2,0)、C (0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP的面积为S,求S的最大值；(3)如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点 Q, AMQC为等腰三角形且 MQB为直角三角形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请

12、说明理由.15、(2016颂港)如图，抛物线 y=ax2+bx-5 (aw与x轴交于点A (-5, 0)和点B (3, 0),与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E为X轴下方抛物线上的一动点，当SzABE=SzABC时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点 P,使/BAP=/CAE?若存在，求出点P的横坐标；若不存在, 请说明理由.16、(2016辨安)已知 RtAABC 中，ZB=90, AC=20 , AB=10 , P 是边 AC 上一点(不包括端点 A、C), 过点P作PEXBC于点E,过点E作EF/ AC,交AB于点F.设PC=x,PE=y.(1

13、)求y与x的函数关系式；(2)是否存在点P使4PEF是Rt4?若存在，求此时的 x的值；若不存在，请说明理由.317、（2016?衢州）如图1,在直角坐标系 xoy中，直线l： y=kx+b交x轴，y轴于点E, F,点B的坐标 是（2, 2）,过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为 A、C,点D是线段CO上的动点，以BD为对称 轴，作与 4BCD或轴对称的 ABC D.当/CBD=15时，求点C的坐标.（2）当图1中的直线l经过点A,且k=- 亚时（如图2）,求点D由C到。的运动过程中，线段 BC扫过的图形与OAF重叠部分的面积.当图1中的直线l经过点D, C时（如图3）,以DE为对称轴，作于

14、ADOE或轴对称的 D。E,连结 O C, O 0,问是否存在点 D,使得DO E与CO 0相似？若存在，求出 k、b的值；若不存在，请说明 理由.18、（2016淅州）在线段 AB的同侧作射线 AM和BN ,若/ MAB与/NBA的平分线分别交射线 BN ,AM于点E, F, AE和BF交于点P.如图，点点同学发现当射线AM , BN交于点C;且/ACB=60时,有以下两个结论：/ APB=120 ；AF+BE=AB ,那么，当 AM / BN 时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 /APB的度数，写出AF, BE, AB长度之间的等量关系，并给予证明；（2

15、）设点Q为线段AE上一点，QB=5,若AF+BE=16 ,四边形ABEF的面积为32后，求AQ的长.19、(2016邓州)如图，抛物线 y=ax2+bx-4 (a 与x轴交于A (4, 0)、B ( - 1, 0)两点，过点A 的直线y= - x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使 BDE的周长最小，求此时 E点坐标；当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线 A- C- B-AA上运动时，是否存在使 4BDE为直角三 角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.20、(2016?玉林)如图，抛物线 L：

16、y=ax2+bx+c与x轴交于A、B (3, 0)两点(A在B的左侧)，与y 轴交于点C (0, 3),已知对称轴 x=1 .(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内(包括OBC的边界)，求h的取值范围；设点P是抛物线L上任一点，点 Q在直线l: x=-3上，4PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直 角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.21、(2016?曲靖)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A , B两点，交y轴于点C(0, 3) , tanZ OAC= :(1)求抛物线的解析式

17、；(2)点H是线段AC上任意一点，过 H作直线HNx轴于点N,交抛物线于点 P,求线段PH的最大值；(3)点M是抛物线上任意一点，连接 CM,以CM为边作正方形 CMEF,是否存在点 M使点E恰好落在对 称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.备用I团答案解析部分、综合题【答案】（1）解：如图1,过点E作EHLOA于点H, EF与y轴的交点为 M. OE=OA , a =60； . AEO 为正三角形, . OH=3 , EH= =62-32 =3 5E/ AOM=90 ,/ EOM=30 .在 RtAEOM 中,. cos/ EOM=OM=4 31- M（。，4 在）.设直线

18、EF的函数表达式为 y=kx+46，-3k+4=3,解得 k= ,（-3, 3 百）即=（3）解：设正方形边长为m.当点F落在y轴正半轴时.如图3,如图4,所以，直线EF的函数表达式为 y= Hx+4 y3射线OQ与OA的夹角为a （ a为锐角，tan弓）.无论正方形边长为多少，绕点 O旋转角a后得到正方 形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AELOQ时，线段AE的长最小.在 RtAAOE 中，设 AE=a ,则 OE=2a,a2+ （2a） 2=62 ,解得 a1=半，a2=-半（舍去） OE=2a= I 币,S 正方形 oefg=OE2=53当P与F重合时， PEO是等腰直角三角形，有苗二或

19、怎二在 RtAOP 中，/APO=45 , OP=OA=6,，点 Pi 的坐标为（0, 6）在图3的基础上，当减小正方形边长时，点P在边FG上，4OEP的其中两边之比不可能为 巧：1；当增加正方形边长时，存在若亳=衽（图4）和=ys （图5）两种情况.GOH EFP是等腰直角三角形，有此时有 AP /OF.在 RtAAOE.OE=OA=6，.,.PE=点P2的坐标为(6, 18).PE中，Z AOE=45 ,i OE=12, PA=PE+AE=18 ,如图5过P作PR x轴于点R,延长PG交x轴于点H.设PF=n.在 RtPOG 中，PO2=PG2+OG2=m2+ (m+n) 2=2m2+2m

20、n+n2在 RtPEF 中，PE2=PF2+EF2=m2+n2当隹=旧时，PO2=2PE2 .1-2m2+2mn+n2=2(m2+n2),得 n=2m . EO / PH, Qd Qff 1.AOEA AHP , 可三豆祖=1AH=4OA=24 ,即 OH=18, ，m=9f PH=36, .-.OR=RH - OH=18, .点 P3 的坐标为(18, 36).在等腰 RtPRH 中，PR=HR=6,P与A重合时，在 RtPOG中，OP= yOG, 又正方形OGFE中，OG=OE,.OP=/oe.，点P4的坐标为（-6, 0）.在图6的基础上，当正方形边长减小时，4OEP的其中两边之比不可能

21、为7）这一种情况.：1；当正方形边长增加时，存在 =设 PG=n .在 RtOPG 中，PO2=PG2+OG2=n2+m2 ,在 RtAPEF 中，PE2=pf2+FE2= (m+n ) 2+m2=2m2+2mn+n2 .当 =时， PE2=2PO2 .2m2+2mn+n2=2n2+2m2 ,n=2m,由于 NG=OG=m ,贝U PN=NG=m ,AN FN an. OE/PN, .1.AAOEA ANP, /三旗=1，即 AN=OA=6 .在等腰 Rt ONG 中，ON=m, z. 12=m,m=60，在等腰 RtAPRN 中，RN=PR=6 ,点P5的坐标为(-18, 6).所以，OEP

22、的其中两边的比能为 ： 1,点P的坐标是：Pi (0, 6) , P2 (-6, 18), P3 (18, 36) , P4 ( 6, 0) , P5 ( 18, 6)【考点】待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质【解析】【分析】(1)先判断出AE。为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；(2)判断出当AE，OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；(3)由OEP的其中两边之比为1分三种情况进行计算即可.此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定 理，解本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算.【答案】(1)解:直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A, B两

23、点，A (5, 0) , B (0, 10),二.抛物线过原点，.设抛物线解析式为y=ax2+bx, .抛物线过点 B (0, 10) , C (8, 4),2s+5匕=。,64+ Sb=4 ,抛物线解析式为y=总x2.ABC是直角三角形(2)解：如图1,当 P, Q 运动 t 秒，即 OP=2t, CQ=10 t 时,由(1)得，AC=OA , / ACQ= / AOP=90 ,在 RtAAOP 和 RtAACQOP=CQ , .1.2t=10 -t, RtAAOP RtA ACQ ,t= , 当运动时间为号时，PA=QA(3)解：存在，. y= 1 x2-1x,抛物线的对称轴为x= W ,

24、 . A (5, 0) , B (0, 10) , AB=5 6设点 M ( 2 , m),2+ (m- 10) 2=125,|x, -, A (5, 0) , B (0, 10) , C (8, 4), . . AB2=52+102=125, BC2=82+ (8- 5) 2=100, AC2=42+ (8 - 5) 2=25, . . AC2+BC2=AB 220-5/132CH-s/l9 20-5J19 / 52OH5J19、 /=-m2= A，M 二，一M)，M2(若 AM=AB 时，.(占2+m2=125, . m3=迥,m4=-亚,-M3 ( X 炉),M4 ( X,一班),若 M

25、A=MB 时，-5) 2+m2= ( ?) 2+ (10-m) 2 ,m=5,M (卷，5),此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，点 M 的坐标为：M1 ( 9 ,一计，19), M2( ?,万尹),M3 ( 1 ,) , M4 ( W ,运)【考点】待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质【解析】【分析】(1)先确定出点 A, B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理 判断出ABC是直角三角形；(2)根据运动表示出 OP=2t, CQ=10-t,判断出RtAAOP RtAACQ ,得到OP=CQ即可；(3)分三种情况用平面坐标系内，两

26、点间的距离公式计算即可，此题是二次函数综 合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的 关键是分情况讨论，也是本题的难点.【答案】(1)解：当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，直线l解析式为y=x,飞 2 c2 .x23x+m=x . . x2- 4x+m=0. .=16 4m=0 . m=4C. AC, BE是以上(2)解：如图，分别过点A, P, B作y轴的垂线，垂足依次为 C则 AOACs opdOA ACBOD, E,= SRO月十0且2十笈E 2日公+EK2,即必有一商.解方程组由方程组仅=上工 卜=-3x+h 仔=上工,得 x

27、=x=备,即 PD= 3消去 V,得 x2- ( k+3) x+4=0.次方程的两根，AC+BE=k+3 , ACX BE=4 .比一工.解得b=8 .4(3)解：不存在.理由如下：假设存在，当SzAPQ=SzBPQ时，有AP=PB ,于 k+3是 PD AC=PE PD,即 AC+BE=2PD .由(2)可知 AC+BE=k+3 , PD= , . . k+3=2X ,即(k+3) 2=16/J8二解得k=1【考点】【解析】(舍去k=-7).当k=1时，A, B两点重合，4BQA不存在.根与系数的关系，比例的性质，相似三角形的判定与性质【分析】(1)两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解,

28、OP OP值；(2)作出辅助线，得到OACsopd, 市+ 市 =2,同理即ACx+4=0 两根，即可；(3)由 S4apq=Szbpq 得至ij AC+BE=2PD ,建立方程数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质, 的关键是灵活运用根与系数的关系.，不存在实数k使 Saapq二S BPQ =0,代入计算即可求出 m的 pn=2, AC , BE 是 x2 - ( k+3)k+3) 2=16即可.此题是二次函次方程的根与系数的关系，解本题【答案】(1)解：二抛物线 y=ax2+bx-3,，c=-3,，C (0, - 3),BO=3 , AO=1 ,B (3, 0) , A (

29、- 1, 0),二.该抛物线与x轴交于0 卬=1，卜抛物线解析式为y=x2-2x-3OC=3 , BO=OC=3AO ,A、B两点，(2)证明：由(1)知，抛物线解析式为y=x2 - 2x - 3= (x- 1) 2-4, E (1, 4),- B (3, 0) , A (- 1, 0) , C (0,直线y= - gx+1与y轴交于点D,CD S， OE BD3) , .,.BC=3,BE=2CE=D (0, 1) , B (3, 0) , .-.OD=1 , OB=3, BD=加, 巨 器=焉第,/BCEsiDO(3)解：存在，理由：设 P (1, m) , B (3, 0) , C (0

30、, 3),BC=3 心,PB= 厢+4,PC= 扬+ 3J + 1 , .PBC是等腰三角形,m +当PB=PC时，山居+ 4当PB=BC时，/.3 =2=而再,/4 1 , . m=-1, .P (1, - 1),m=后，P (1,旧)或 P (1,-师),当 PC=BC 时，/.3 行如三 4, m=-3土耳，.P (1, -3+ 而)或 P (1, 3-斤)，符合条件的P点坐标为P （1, - 1）或P （1, 旧）或P （1,-，值）或P （1, - 3+ J）或P（1 , - 3 - 了 ）【考点】二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标,

31、数法求出抛物线解析式；（2）先求出点A, ，OD=1 , OB=3 , BD= 反 ,求出比值,在由BO=OC=3AO ,确定出点B, A的坐标，最后用待定系B, C, D, E的坐标，从而求出 BC=3,BE=2 ，CE=得到穿 三/热二等得出结论；（3）设出点P的坐标,CJJU L/Z5 JBU表示出PB, PC,求出BC,分三种情况计算即可.此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定 方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断 BCEsbdO .难点是分类.【答案】（1）解：把B （1,A图10）代入 y=ax2+2x -3,可得 a+

32、2- 3=0,解得 a=1,，抛物线解析式为 y=x2+2x - 3,令y=0,可得x2+2x - 3=0,解得x=1或x=-3, .A 点坐标为（-3, 0）.（2）解：若y=x平分/APB,则/APO=/BPO,如图1,若P点在x轴 上方，PA与y轴交于点B,由于点P在直线y=x上，可知/POB=/POB =45,1 Z Z POS在BPO 和AB P O尸=。尸,.-.BPOAB/ PQASA）,（z sop = z FopBO=B O=1,设直线AP解析式为y=kx+b,把A、B两点坐标代入可得T , 直线AP解析式为y= gx+1=13联立飞-J，P点坐标为（不，K）;若P点在x轴下

33、方时，同理可得 BOPB OP ./BPO=/B PO又/B POE/APO的内部, /APO /BPO,即此时没有满足条件的 P点，综上可知P点坐标为（-,）.（3）解：如图2,作QHXCF,0交CF于点H ,24CF为y=mx -手，OC 3 . tan/ OFC=万声=一4可求得 C ( q , 0) , F (0,一手)，,.DQ/y 轴, .tan/HDQ= 不妨设 DQ=t, DH=QDE是以DQ为腰的等腰三角形，若 DQ=DE ,贝U Sadeq= D DE?HQ=若 DQ=QE,皿 1贝U Sadeq = G DE?HQ=当DQ=QE时4 DEQ的面积比6 2Lt2DQ=DEN

34、!Zt2V 及 t226时大.设Q点坐标为（x,Q点在直线 CF的下方，DQ=t= Q4x- 5 - (x2+2x-3) = - x2 ./ QDH= / MFD= / OFC,23而 t，HQ=后 t，杉二t22612DH?HQ=工X用昭仁x2+2x - 3)，贝U D (x,423243x9)，当 X= - W 时，tmax=3_ 6, S Sa DEQ ) max=即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为=冷邛13【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0,可解得相应方程的根，可求得 A点坐标；（2）当点P在x轴上

35、方时，连接 AP交y轴于点B,可证OBPOB P,可求得B坐标，利 用待定系数法可求得直线 AP的解析式，联立直线 y=x,可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得/ BPO= / B PO又/ B POEZ APO的内部，可知此时没有满足条件的点P;（3）过Q作QHLDE于点H,由直线CF的解析式可求得点 C、F的坐标，结合条件可求得tan/QDH ,可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用 DQ的长表示 出4QDE的面积，再设出点 Q的坐标，利用二次函数的性质可求得 4QDE的面积的最大值. 本题主要 考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、

36、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等.在（2）中确定出直线 AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出4QDE的面积是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强,计算量大，难度较大.（1）解：二顶点坐标为（1, 1）,，设抛物线解析式为 y=a （x-1） 2+1,又抛物线过原点,1- 0=a （。-1） 2+1 ,解得 a= - 1,，抛物线解析式为 y= - （x-1） 2+1,即 y= - x2+2x,联立抛物线和直线解析式可得与八、5贝U AD=OD=BD=1B (2, 0) , C (- 1, - 3)分别过A、C

37、两点作,BE=OB+OE=2+1=3 ,A ABC=90 ,.ABC是直角三角形；（3）解：假设存在满足条件的点N,设x轴的垂线，交x轴于点D、E两EC=3 ,/ ABO= / CBO=45 ,即N (x, 0),则 M (x, x2+2x),ON=|x| , MN=| - x2+2x|,由(2)在RtAABD和RtACEB中，可分别求得 AB= MN，x 轴于点 N / ABC= / MNO=90 ,业人a”力人s 士口介田士 MW ON t MN ON 当 ABC 和 MNO 相似时有 = 瓦？或 wc =，MN ONHr斗，tH1当 7二 而时，则有f,即|x|-x+2|二0凶，二,当x

38、=0时M、O、N不能构成三角1157一 57形，xWQ .,. |- x+2|= m ,即-x+2= G ,解得 x= 了 或 x= q ,此时 N 点坐标为（m , 0）或（耳，0）;mn on 口小:“ H当 第=蕾时，则有 丁=不，即 |x|-x+2|=3|x|,，|-x+2|=3,即-x+2= 3,解得 x=5 或5x=- 1,此时N点坐标为（-1 , 0）或（5, 0）,综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（入，0）或7（0）或（1, 0）或（5, 0）【考点】 抛物线与x轴的交点，勾股定理【解析】【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式,

39、可求得C点坐标；(2)分另过A、C两点作x轴的垂线，交得/ ABO= / CBO=45 ,可证得结论；(3)设出N点坐标，可表示出 M点坐标,x轴于点D、E两点,从而可表不出MN、相似时，利用三角形相似的性质可得ON = AB BCNN _ ONBCAB结合A、B、C三点的坐标可求ON的长度，当 AMON和4ABC点的坐标. 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用，在(3)中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到综合性较强，难度适中.关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的

40、对应. 本题考查知识点较多,*【答案】(1)解:C ( 4,解得：a=一设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c ,匕+匕+t=0A ( 1, 0)、B (0, 3)、析式为y=-0x厂 -14d + c = 00b=-彳，c=3 , .经过 A、42cx+34B、C三点的抛物线的解中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为:ACBP为菱形,(3)解：设直线当点M与点P、 当点M与点P、解得：k= , b=-A不在同一直线上时, A在同一直线上时，当点M与点P、A在同一直线上时,f 4;|PM-AM|的值最大，即点 M为直线PA与抛物线的交点,解方程组伤=1 h=。回%

41、=一9的坐标为(1, 0)或(-5,-耳)时，|PM-AM|的值最大,此时|PM-AM|的最大值为5.【考点】【解析】二次函数的应用【分析】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把A, B,C三点坐标代入求出a, b,c的值,(2)解：在平面直角坐标系 xOy OB=3 , OC=4, OA=1 , BC=AC=5 ,当BP平行且等于AC时，四边形BP=AC=5 ,且点P至ij x轴的距离等于 OB,点P的坐标为(5, 3),当点P在第二、三象PM时，以点 A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点 的坐标为(5, 3)时，以点 A、B、C、P为顶点的四边形为菱形

42、.PA 的解析式为 y=kx+b (kwo) , ：A (1, 0) , P (5, 3),j，直线PA的解析式为y=宁x-,根据三角形的三边关系|PM - AM| PA ,|PM AM|=PA ,即可确定出所求抛物线解析式；(2)在平面直角坐标系 xOy中存在一点 巳 使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理 由为：根据OA, OB, OC的长，利用勾股定理求出 BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时, 四边形ACBP为菱形，可得出 BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出 P坐标，当点P在第二、 三象限时，以点 A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；(

43、3)利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点 M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM-AM|vPA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|=PA ,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，即点 M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM-AM|的最大值时M坐标，确定出|PM - AM|的最大值即可.此题属于 次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形 的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.(C 11 T v xSl-9d-Hc= 101抛物线的解析式为

44、y= X x2+2x+i(2)解：.AC/x 轴，A (0, 1)x2+2x+1=1 ,，xi=6, X2=0, 点 C 的坐标(6, 1),点 A (0, 1) . B (-9, 10) , 直线 AB 的解析式为 y=-x+1 ,设点 P (m, m m2+2m+1 )E (m, m+1)PE=- m+1 - ( Jm2+2m+1) =- 4 m2- 3m, / ACXEP, AC=6,S四边形AECP=Saaec+Saapc= AC XEF+ACX PF=ACX (EF+PF) = 4 ACX PE= W- gm2-3m)981=-m2 - 9m= - ( m+ m)2+ , / - 6

45、4x=2x ,Sabpq= 一 BQ?BP= 一,Sapcd= - PC?CD=s=s 矩形 abcd Sa adq Sa bpq Sa pcd=12 2x 4? (4-x) ?3=6- x,又 S矩形ABCD =AB?BC=3 4=12 ,2 2 2(Xx xx2) (6苴 x)=耳 x22x+6= K (x-2) 2+4,即 S= k (x 2) 2+4,.S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2,当0vxv 2时，S随x的增大而减小，当 2vxW3时，S随x的增大而增大，9又当x=0时，S=5,当S=3时，S=工，但x的范围内取不到 x=0,1 S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最

46、小值为 4（2）解：存在，理由如下：由（1）可知BQ=3 x, BP=x, CP=4-x,当 QPDP 时，贝 U / BPQ+/ DPC= / DPC+/ PDC , . / BPQ= / PDC,且/B=/C, /.A BPQA PCD,券二卷，即 台=W，解得x= 7b（舍去）或x= ，当x= 7-迎 时QPXDP【考点】二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP,从而可表示出 Saadq、 Sa bpq、 Szxpcd 的面积，则可表示出S,再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、

47、BP、PC,当QPLDP时，可证明BPQsCDP,利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得 x的值.本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、二次函数的最值、相似三角形的判定和性过点A作ADx轴于点D,质及方程思想等.在（1）中求得S关于x的关系式后，求 S的最值时需要 注意x的范围，在（2）中证明三角形相似是解题的关键.本题考查知识点 较多，综合性较强，难度适中.【答案】（1）解：/A （1, 3 及，B （4, 0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，卜十注=/,解得1抛物线解析式为y= - Ji x2+46x,，D坐标为（1, 0）;当点D在y轴上时，设D （0, d）,则AD

48、2=1+(3d)-A (1, 3 投BD2=42+d2 , 且 AB2= (41) 2+ (3 后)2=36, ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形，AD2+BD2=AB 2 ,即 1+ （3 6d） 2+42+d2=36 ,解得l- D 点坐标为（0,）或（0,）;22综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1, 0）或（0,（0,赤-旧）；d= /疝,血叵）或（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点 D在x轴上时，如图1,(3)解：如图2,过P作PFXCM于点F,MF AD r. PM/OA, RtAADORtAMFP, = =3 仍,MF=3 y3 PF,在 RtAABD 中，BD=

49、3 , AD=3 后,，tan/ABD=后,a A ABD=60 ,设 BC=a,贝U CN= 收 a,在 RtA PFN 中，/ PNF= / BNC=30 .tan/PNF= j =,FN=PF, .1.MN=MF+FN=4Sa bcn=2Sapmn色 a2=2xgx4 y3 PF2 ,.-.a=2PF,NC=於2 gPF，提=日m MN=NC=xa=Ga, . MC=MN+NC= (后+后)a，1 M 点坐标为(4 - a,(后 +)a),又M点在抛物线上，代入可得-(4 a) 2+4(4 - a)=(丙+ 后)a,解得 a=3 -或 a=0 (舍去)，OC=4 - a=0+1 , MC

50、=2 而 + 场,点 M的坐标为（+1, 2阶后）C图1（1）解：把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得b= -2r ,二次函数的应用【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出 D点坐标为（0, d）,可分别表示出 AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；（3）过P作 PF CM 于点 F,利用 RtAADO RtAMFP以及二角函数，可用 PF分别表不出 MF和NF ,从而可表不出MN ,设BC=a,贝U可用a表示出CN,再禾用Sabcn =2Sapmn可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN,可求得 当的值；彳t助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出 M点的坐标.本题为二次函数的综合应用， 涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等.在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表不出MF 和NC是解题的关键，注意构造三角形相似.本题涉及知识点较 多，计