全等三角形知识梳理

1、全等三角形知识梳理、知识网络性质对应角相等对应边相等边边边 SSS应用全等形全等三角形边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边HL角平分线作图性质与判定定理二、基础知识梳理(一)、基本概念1、全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形；(2)大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等；(2)全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形

2、全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性o2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等， 可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等 （AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，

3、 可找夹角相等（SAS）第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等， 可找任一组角相等（AAS或ASA）夹等角的另一组边相等（SAS）三、典例赏析例1、如图：AD/BC,AB/CD 你能找出其中的全等三角形吗？说明你的理由。解析：由AB/CD可得 12,由AD/BC可得 34,12AC CA,可得： ABC CDA34点评：通过间接条件得到直接条件,是解决问题时经常遇到的，目的是考查对知识的综合运用。你会做吗?变式 1:改 AD/BC,AB/CD 为 ADBC, AB CD又如何？能得到一样的结论吗?变式2:若将“AD/BC,AB/CD”改为AD/BC AD BC ,能得到一样

4、的结论吗?例 2、如图，OC 平分 AOB,OA OB,PD AC于 D,PE BC 于 E,求证：PD PE.证明：因为OC平分 AOB所以 AOC BOC,因为 OA OB,OC OC,所以 AOC BOC (SAS)所以 ACO BCO,即OC是 ACB的平分线。因为 PD CA, PE CB,所以PD PE (角平分线上的点到角边的距离相等)点评：本题主要应用了全等三角形的有关知识和角平分线性质，解决本题的关键是把要证明相等的两条线段看作一个平分线上的点到该角两边的距离。怎样添加辅助线作辅助线时应考虑以下几个方面：(1)充分利用条件，体现条件集中的原则，充分揭示题目中的各个条件间的不明

5、显的关系；(2)恰当转化条件；(3)恰当转化结论.下面举例说明.例 如图1,在4ABC中，/B=2/C, /BAC的平分线交 BC于D,求证：AB+BD=AC.分析1:因为/ B=2ZC,所以AOAB,可以在AC上取一点 巳 使得AB=AE,构造 ABDAAED,把AB边转移到 AE上，BD转移到DE上，要证 AB+BD=AC.即可转化为 证 AE+BD=AE+EC,即证明 BD=EC .证明：在 AC上取一点E,使得AB=AE,连结DE.在4ABD 和4AED 中，AB=AE, /BAD=/DAE, AD=AD, ABDA AED (SAS).BD=DE, / B=Z AED.又/ AED=

6、Z EDC+Z C=Z B=2ZC, ZEDC=ZC.ED=EC.AB+BD=AC.分析2:因为/ B=2/C,所以ABV AC,可以在AB的延A长线上取一点 E,使得 AE=AC,构造 AEDA ACD,把AC边转移到 AE上，DC转移到DE上，要证 AB+BD=AC.即可转化为证 AB+BD=AB+BE,即证明BD=BE.证明：在AB的延长线上取一点 巳使得AC=AE,连结DE.在 AEDACD 中，AE=AC , /BAD = /DAC, AD=AD,AAEDA ACD （SAS）./ C=/E.又/ ABC= / E+Z BDE =2 / C=2 / BDE, ZE= /BDE. BE

7、=BD.AB+BD = AE=AC.分析3:若延长 DB到点E,使得 AB=BE,有AB+BD = ED,只要证出 ED=AC 即可.证明：延长 DB到点E,使得AB=BE,连结AE , *二二一一,方C贝U有/ EAB=/E,图 3Z ABC=ZE+ZEAB=2Z E.又/ABC=2/C,/ E= / C.AE=AC.又/ EAD= Z EAB+ ZBAD= /E+/DAC = /C+ /DAC = /ADE,. AE=DE . AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC.评注：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上.上述前两种方法实

8、际上是通过翻折构造全等三角形，目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起.证明一条线段等于另两条线段 之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫补短法在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫戳长法”.这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法.巧作辅助线，妙解题如图所示，已知 AD / BC, / 1 = 72, /3=/4,直线DC经过点E交AD于点D,交BC于点Co试说明AD+BC=AB 的理由。分析：此类问题在计算过程中，主要借助于三角形n .全等，根据全等三

9、角形对应边相等， 得出相关的等式，然后进行多次等量代换，就可以得出所要说明的结论。但是题目当中并没有全等三角形，应该作辅助线，可以有两种方法：截取法，二是延长法。解：第一种方法(截取法)：在AB上截取线段 AF=AD ,连结EF在4ADE和4AFE中AD AF12AE AE所以ADE0AFE (SAS)所以/ D= ZAFE因为 AD / BC ,所以/ D+ / C=180因为/ AFE+ / EFB=180所以/ EFB= / C在 BEF和 BEC中EFB C34BE BE所以BEF0BEC (AAS)所以BF=BC因为 AB=AF+FB所以AB=AD+BC (等量代换)第二种方法(延长法)：延长线段AE和BC ,相交于点F。因为 AD / BC,所以/ 1 = Z F,又因为/ 1 = /2,所以/ 2=/F