2015北京各区期末考试解析几何分类汇编理

1、解析几何（理）分类、选择题1.（海淀1）抛物线=-2y的焦点坐标是（(A) (-1,0)(B) (1,0)S、1© (0,-3)(D)答案：C2.（朝阳2）过抛物线y2 =4x的焦点F的直线l交抛物线于A, B两点.若AB中点M到抛物线准线的距离为6,则线段AB的长为B. 9C. 12D.无法确定x - -1 3cosu,3.(石景山3)点(1,2)与圆y =3sin的位置关系是（A.点在圆内B.点在圆外C点在圆上D.与日的值有关答案：A4.（海淀4）已知直线11 :ax+(a+2)y+1 =0, l2：x + ay + 2 = 0.若 11 _L l2,则实数 a 的值(A) 0(

2、B) 2或-1(C) 0 或-3(D) -3答案：C25.（西城7）已知抛物线C:y =4x,点P（m,0） , O为坐标原点，若在抛物线 C上存在一点Q ,使得？ OQP 90o,则实数m的取值范围是（(A) (4,8)(B) (4, + ?)(C) (0, 4)(D) (8, + ?)答案：B6 (丰台8).在平面直角坐标系 xOy中，如果菱形 OABC的边长为2,点B在y轴上，则菱 形内(不含边界)的整点(横纵坐标都是整数的点)个数的取值集合是(A) 1, 3(B) 0, 1, 3(C) 0, 1, 3, 4(D) 0, 1, 2, 3, 4答案：D7 .(东城8)已知圆C: x答案：y

3、2 = 2xx2 y22.(西城10)设Fi,F2为双曲线C：下工=1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一 a 16点，如果|PFi | |PF21 = 4 ,那么双曲线 C的方程为;离心率为 . 2_ 答案：4_工=1.5 163.(朝阳10)双曲线 C:x2丫2=九(九>0)的离心率是 ;渐近线方程是.+y2 =2 ,直线l :x + 2y 4=0,点P (x0 , y0)在直线l上.若存在圆C上的点Q ,使得ZOPQ =45(。为坐标原点)，则x0的取值范围是811 8(A)0,10, (C),1(D) -,8522 5答案：B二、填空题21.(东城9)若抛物线y2 =

4、2px(p >0)的焦点到其准线的距离为 1,则该抛物线的方程为答案：2、v= x2 2 y4 .（海淀11）若双曲线x -匚=1的一条渐近线的倾斜角为 60°,则m=m答案：325 .（石景山 12）.若抛物线 y=ax2的焦点与双曲线 _Lx2 =1的焦点重合，则 a的值3为.6 .（丰台13）过点M （百y0）作圆O: x2+y2 =1的切线，切点为N ,如果义=0,那么. OMN -切线的斜率是如果6 ,那么y0的取值范围是答案：-1"£127 .（昌平13）.已知双曲线x2L=1 （mA0）的离心率是2,则m=，以该双曲m线的右焦点为圆心且与其渐近

5、线相切的圆的方程是 .答案：3； (x2)2 +y2 =3三、解答题1.(海淀18)22已知椭圆M :二十匕=1,点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l （不 43与x轴重合）交M于A, B两点.（I）求M的离心率及短轴长;(n)是否存在直线l ,使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.22解：(I)由 x_ + _y_=i 得：a=2,b=J3.43所以椭圆M的短轴长为2曲.因为 c = Ja2 -b2 =1 ,c11所以e =,即m的离心率为一.a22(n )由题 意知：C(-2,0),Fi(-1,0),设 B( M, y) (&l

6、t; 2汹，须)22迎+迎=1. 7分43I因为 BE BC =(-1-%,-义)(-2-,-%)22二2 3x0 X0 y011分12c L c =-x0 +3x0 +5>0,4所以. B(0,.所以点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l ,使得点B在以AC为直径的圆上13分另解：由题意可设直线l的方程为x = my1, A(x1, y1), B(x2, y2).-22x y -1224 43,可得：(3m +4)y -6my-9 = 0.6m-9所以 y1 +丫2 = -2，y1y2 =-2一3m2 43m2 4所以 CA CB =(必 2,yi) (X2 2,y2)/ 2=

7、(m2 1)-96m23m2 423m2 4=(m 1)%y2 m(y1 y2)1-52,3m 4因为cosC =CACB e(-1,0),CCB所以一 兀NC52,力11分所以b(0,2所以点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线 1 ,使得点B在以AC为直径的圆上.13分2.(丰台19)已知椭圆C ：5+与=1(a >b >0)的右焦点F(J3,0),点M (6 a b椭圆C上.(I)求椭圆C的标准方程;(n)直线l过点F ,且与椭圆C交于A, B两点，过原点 O作直线1的垂线，垂足2|OP |为P ,如果 OAB的面积为一1AB | 4 (九为实数)，求九的值.2+(3,解

8、：（I ）由题意知：c二邪.根据椭圆的定义得：2a = 、 （- .、3-、3） 即 a= 2.所以 b2 = 4- 3=1.2所以椭圆C的标准方程为 二+ y2=1.4(n )由题意知， ABC 的面积 S抬BC = 11 AB | JOP| =_ 1AB 1 +4 , A 22|OP|4-24整理得 = OP | |ab| 当直线1的斜率不存在时，1的方程是x = J3此时 |AB|=1, |OP|=73,所以 九二|OP|2 = 1 |AB|当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y = k（x-邪）,设 A(Xi, y1), B(x2, y2) .2x_+ 2 = 14 y - 可得(

9、4k2 + 1)x2- 8V3k2x+ 12k2- 4=0.y=k(x- 3)8 3k2X1 + X2 = -24k + 1x1x2 =12k2- 44k2 + 1因为 y1 = k(x1 -8),y2=k(x2- 73),所以 |AB|= .,(k- x2)2 + (y1- y2)2 = (k2+1)(x1- x2)2=. (k2+ 1)(X + X2)2- 4x1X2=444k + 111分所以|op|2二(|-L|)2 k2+ 13k2k2+ 1，此时,3k2 4k2 1d=-2一 -2二 1 k2 1 k2 1综上所述，九为定值-1 .14分3.(东城19)已知椭圆C的中心在原点，焦点

10、在j3x轴上，短轴长为2,离心率为 2(I)求椭圆C的方程;(n)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为(n)设P(m,0) ( -2 <m <2),由已知，直线l的万程是y=1(x m).的直线l交椭圆C于A , B两点, 2求证：| PA |2 +| PB |2为定值.22x y解(I)设椭圆 C的标准方程为-2+2 = 1(a>b>0),a b2 2.2,2a =b +c由题意知c =，3,解得a =2.a 2b =1一 一八 八、一I , X22所以椭圆C的标准方程为 一+y2=1. 5分4y4(x-m)，22由( 2消 y 得 2x2 2mx + m2_4

11、 = 0 (*).上 y2=14 y ,设A(xi,y1)，B(x2 , y2),则“、X2是方程(*)的两个根,2m -4所以 x2 +x2 = m , x1x2 =2所以 | PA |2 | PB |2 = (x1 -m)2 - y； (x2 -m)2 y；212212= (x1-m)(x1 - m)(x2 - m)(x2 - m)44522力)5 _ 22_,、_2.= -x1 x2 -2m(x1 x2) 2m 4522r=一(为 x2) -2m(x1 x2) -2x1x2 2m 4= 5m24222-2m (m -4) + 2m = 5 (定值).所以|PA|2 +|PB |2为定值.

12、13分4.(西城 19)22x y已知椭圆C: 一 十工=1的右焦点为F16 12右顶点为A,离心率为e,点P(m,0)( m泗)满足条件| FA| 二e.|AP|(I )求m的值;(n)设过点F的直线l与椭圆C相交于M,N两点，记&PMF和APNF的面积分别为 S,求证：6=吧S2 |PN|(X1 -8)(X2 -8)22x y /(I)解：因为椭圆C的方程为=116 12所以 a =4, b =2,3, c =,0 =2,1,|FA|=2 , | AP|=m4.2因为|FA| 21-, | AP| m-4 2所以m =8.(n)若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x2),

13、 M(x1,y3 N(x2,y2).解：若直线l的斜率不存在，则有 S =S2, | PM |=|PN |,符合题意.22由巳十上=1田1612,y =k(x -2),得(4k2 3)x2 -16k2x 16k2-48 =0 ,可知Aa。恒成立，且 x1+x216k24k2 316k2 -48Xi x2 =24k2 3因为 kPM - kPN =y- -2- x1 8 x2 -8_k(x1-2) , k(x2-2) x1 - 8x2 - 810分k(x1 -2)(x2 -8) k(x2 -2)(x1 -8)(Xi - 8)( X2 - 8)_ 2kx1X2 -10k(x1 X2)32k2k16

14、k2 -484k2 3-10k16k24k2 332 k所以.MPF =. NPF .(x1 - 8)(x2 - 8)12分1因为iPMF和iPNF的面积分别为 § =5 | PF | | PM | sin/MPF ,c 1S2 = | PF | PN | sin/NPF ,213分所以S2 |PN |5.(朝阳19)22-已知椭圆C：+4=1(a Ab >0)过点(1 乂3),离心率为 .过椭圆右顶点a2b2221条斜率乘积为-的直线分别交椭圆 C于M,N两点.4A的两(I)求椭圆C的标准方程;(n)直线 MN是否过定点D ?若过定点D ,求出点D的坐标；若不过，请说明理由C

15、=解：(I)由已知得I a 2工.2a2 4b2a2 = 4解得 2b2 =12 x 2所以椭圆的标准方程为一 + y =1. .4分4(n)直线MN过定点D(0,0).说明如下：由(I)可知椭圆右顶点 A(2,0).由题意可知，直线 AM和直线AN的斜率存在且不为 0.r 224x +4y =4y =k(x-2)设直线AM的方程为y=k(x_2).2222得(1+4k)x 16k x+16k 4 = 0._4_22A=256k4 -16(1+4k2)(4k , C、 尸一源(x - 2) 1)=16 >0 成立,2216k -48k -2所以 2 Xm =2 ,所以 xm =21 4k

16、1 4k一 2_8k -2-4k所以 yM =k(xM 2)=k(r-2)=2 .1 4k 1 4k一 2 一8k -2-4k 、于是，点 M (r,2) .1 4k2 1 4k2因为直线AM1和直线AN的斜率乘积为-4故可设直线AN方程为同理，易得8(xN 二4k)2-21 4(2-8k221 4k22-8k24k所以点N(F,2) .1 4k2 1 4k2所以，当xM = xN时，即kMN2k1 -4k2直线MN的方程为y -4k21 4k2k1 -4k2(x-2JL8k?).214k整理得y2k2 x .1 -4k显然直线MN过定点D(0,0).(点M , N关于原点对称)由(*)式,x

17、1X"16k2(1 4k2).1当Xm =Xn ,即k=±1时，直线MN显然过定点D(0,0).2综上所述，直线 MN过定点D(0,0) . .14分6.(石景山19)22,且过点B(0,1).2已知椭圆xr+A=1(a Ab0)的离心率为a 椭圆的标准方程为： y2 -1. (n)设 P(), yJQd, vJy = k(x 2)联立 x29 ，消去 y ,得：(1 十 4k2)x2+16k2x + (16k24)=0. 6 分 + y2 =1.4依题意：直线l : y = k(x + 2)恒过点(-2,0),此点为椭圆的左顶点,所以 = -2 , y1 =0 -， b2

18、(i)求椭圆的标准方程;(n)直线l : y = k(x+2)交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围.b =1J c <3a=2d e =解：(i)由题意知a 2 ,解得b=12 l.2 ,2厂a =b +c c =、,3可得 y1 +y2 =k(x1 +2)十k(x2 +2) =k(x1 +x2) +4k -由2 -8k2， x2 =2 ，14k4ky2214k10分12分14分22x y已知椭圆C : =1(a . b 0)a b经过点P(1,),离心率是 22由点B在以PQ为直径的圆内，得 /PBQ为钝角或平角，即 BP .BQ <0.BP =

19、( -2,-1) ,BQ = (x2, y2 -1) . BP BQ=2x2 - y2 1 ： 0 .-1 >0 ,整理得 20k 所以椭圆C的方程是 x-+y2=1 . 5分 (II)方法一(1)由题意可知，直线l的斜率为0时，不合题意.(2)不妨设直线l的方程为x=ky+m. -4k-3<0.-r31解得：k. (-,1).10 27.(昌平 19)(I)求椭圆C的方程；(II)设直线l与椭圆C交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M ,求证：直线l恒过定点.13 八2 +-2 =3a =2b =1a 4b解:(I)由 c =a 22.2.2a =b +c俨=ky m由x22, 消去 x 得(k2 +4)y2+2kmy+m2_4 = 0 7 分4 y =1设 A(xi,yi), B(x2,y2),则有 y1+y2= J2km，y1y? =m4k 4k 48分因为以AB为直径的圆过点 M ,所以MA温=0 .4 r， c 、r ，八、由 MA =(x1 2, y1), MB = (x2 2, y2) ,信(xi 2)(x2 2) + y1y2 = 0 .将 x1