2017年高考北京卷理数试题解析(解析版)

1、绝密本科目考试启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)若集合 A=x|2<x<1, B= x|x< T 或 x>3,则 AI B二(A) x|N<x<T(B) xp2<x<3(C) xT<x<1(D) x|1<x<3【答案】A【解析】试题分析：利用数轴可知 AI B x| 2 x 1 ,故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列

2、举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.(2)若复数1 i a i在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a的取值范围是(A) (-0? 1)(B)(-叶 T)(C) (1, +00)(D) (T, +8)【答案】BK解析】试题分析；设不二。“("+。=(q+1)+(1封匕因为复数对应的点在第二差限,所以二十久、L(T > U解得二故选B一【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式， 列出实部和

3、虚部满足的方程 (不等式)组即可.复数z=a+ bi- " ?复平面内 uuur的点 Z(a, b)(a, bCR).复数 z= a+bi(a, bCR)<j平面向量 OZ .(3)执行如图所示的程序框图，输出的 s值为(A) 2（B）25(C)3(D)5【答案】C【解析】试题分析：底二。时？成立了第一次进入循环，k=LJ=千二人1 m3成立，第二次进入循环:32 +1 3亍+1 55=2= -!工<3成立J第三次进入循环；k=，5 = y =w 3<3不成立，输出5 二三,2故选C【考点】循环结构【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是

4、直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写 出每一个循环，这样避免出错 .x 3,(4)若x, y满足 x y 2,则x + 2y的最大值为y x，(A) 1(C) 5(B) 3(D) 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域,1 .z x 2y表木斜率为一的一组平行线，当 z x 2y过点C 3,3时，目标函数取得最大值2Zmax 3 2 3 9,故选 D.【考点】线性规划 【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.解决此类问题的关键

5、是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求.常见的目标函数类型有：(1)截距型：形如z ax by.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by转化为直线的斜截式:azz .y x -，通过求直线的截距 一的取值间接求出 z的取值；(2)距离型：形如bbb2;(3)斜率型：形如z1 x ,(),则 f(x) 3R上是增函数R上是减函数2z x a y b(5)已知函数f(x) 3x(A)是奇函数，且在(C)是奇函数，且在【答案】A【解析】 xx试题分析：f x 3 x 113x33-yb ,而本题属于截距形式.x a(B)是偶函数，且

6、在 R上是增函数(D)是偶函数，且在 R上是减函数f x ,所以该函数是奇函数， 并且y 3x是增函数,1y 1 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选 A.3【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据 f x与f x的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数-减函数二增函数；（4）利用导数判断函数的单调性 .（6）设m,n为非零向量，则 存在负数，使得mn ”是 m n<0”的（A）充分

7、而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：着mMOj使城=",则两向量加，盟用电夹角是1g/,男法丽F =同同8420。=同卜卜若那么两向量的夹角为F拜不一定反向; 即不一定存在负数彳，使得冽,所以是充分而不必要条件散选A.【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若 p q,q p,那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p q ,那么p , q互为充要条件；若p q,q p , 那么就是既不充分也不必要条件 .（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已

8、知 p:x A, q:x B ,若A B ,那么p是q的充分不必要条件，同时 q是p的必要不充分条件；若 A B ,那么 p , q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为 q是p条件的判断.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(A) 3后(B) 273【答案】B正（主）视图(C)【解析】试题分析：几何体是四棱锥,如图.侧左：，视闫(D) 2Du-J A最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长枝的长度为？三厅3万三2小；故 选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查

9、了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题(8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是 N(B) 1053(D) 1093(参考数据：lg3=0.48(A) 1033(C) 1073【答案】D【解析1手乱o3Sl试题分析士 设二二y = fj 两边取对籁,= 13-l5LO35 =361x13-80 = 93.28, N1渭1小所以，=1产叫即=最接近1。咒故选D N【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问

10、题的形式给出，但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系，难点是令 x ,并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包 10含 logaM loga N loga MN , loga M loga N loga , log a M n n loga M . N第二部分 (非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。2_(9)若双曲线x2 1的离心率为 J3 ,则实数m=. m【答案】2【解析】试题分析：a2 1,b2 m,所以m 网,解得m 2. a 1【考点】双曲线的方程和几何性质【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题.解题

11、时要注意a、b、c的关系，即c2 a2 b2,以及当焦点在x轴时，哪些量表示a2,b2,否则很容易出现错误.最后根据离心率的公式计算即可.(10)若等差数列 an和等比数列 0 满足ai=bi= -1, a4=b4=8,则=.b2【答案】1解析】试题分折；设等差数列的公券建比蛾列的公比分另的/和J则7 +纭=-决=8求得.小 T十三 q = 4 = 3 > 那么*【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方

12、程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法(11)在极坐标系中，点 A在圆 22 cos 4 sin 4 0上，点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小 值为.【答案】1【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为x2 y2 2x 4y 4 0 ,整理为22-一 / /x 1 y 21 ,圆心为C 1.2，点P是圆外一点，所以AP的最小值就是PC r 2 1 1.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系222【名师点睛】(1)熟练运用互化公式：x y , y sin ,x cos将极坐标化为直角坐标；(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究

13、极坐标系下图形的性质时，可 转化为在直角坐标系的情境下进行.1(12)在平面直角坐标系 xOy中，角”与角3均以Ox为始边，它们的终边关于 y轴对称.若sin,则3cos( ) =.【答案】79【解析】1试题分析：因为 和 关于y轴对称，所以冗2卜秘 Z,那么sin sin ,3coscos（或 coscos U），3所以coscos cos sinsin22八2cos sin 2sin 1【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于y轴对称，则2 2k Ti； kZ ,若 与 的终边关于x轴对称，则2

14、k « k Z,若与的终边关于原点对称，则冗 2kRk Z .(13)能够说明 设a, b, c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a, b, c的值依次为【答案】-1, -2, -3 (答案不唯一)【解析】3 n矛盾，所以T, -乙-3可脸证该命题是假命题一【考点】不等式的性质【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一.Ai的横、纵坐标分别为第 i(14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为

15、第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1, 2, 3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则 Qi, Q2, Q3中最大的是pi , P2, p3中最大的是记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则工作时间(小时)【答案】Q1 p2【解析】试Hi分析：作图可得44申点辍坐标比鸟&,44中点、的班坐标大,所以0, Q, S中最大的是a.分另蚱是关于原点的对称点E，4B：；比较直线同当月:必/过的斜率(艮昉第i名工A在 这一天中平均每小时加工的零件数),可得是以最大,所以F-2，四中最大的是此.【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分

16、析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i名工A BAB； -人加工总的零件数是 A B,比较总的零件数的大小，即可转化为比较A 2 Bi的大小，而 A 2 Bi表示AiBi中点连线的纵坐标，第二问也可转化为A Bi中点与原点连线的斜率三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)在那BC 中，A =60°, c=3 a.7(I )求sin C的值；(n )若a=7,求AABC的面积.【答案】(i)氏B； (n) 6招.14【解析】试题分析: a(i)根据正弦定理sinAcsinC求sinC的值；(n)根据条件可知a 7,c 3

17、,根据余弦1定理求出b的值，最后利用二角形的面积公式S -bcsin A进行求解即可23试题解析：(I)在 "BC中，因为 A 60 , c a,7所以由正弦定理得sinC cs” 3- .a 7214(n)因为a 7,所以c 7 3.71由余弦te理 a b c 2bccosA得 7 b 3 2b 3 -,2解得b 8或b 5 (舍).所以GABC的面积S 1 bcsin A 18 3 6石.222【考点】正、余弦定理，三角形面积，三角恒等变换【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子

18、中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是 变角、变函数名和变运算形式 ”，其中的核心是 变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构 差异的依据就是三角公式.(16)(本小题14分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面 ABCD ,点M在线段PB上，PD/平面 MAC , PA=PD=/6 , AB=4.(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III )求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【答案】(I )详见解析;冗/、26n 3；"

19、1T【解析】试题分析：(1 )交点为£ ,连接A二 , 因为线面平行，即尸平面耳4c.根据性质定理,可知线线平行，PDUME ,再由石为3Z?的中点，可知必为日的中点.(II)因为平面ZW 平 面加CZ)j PAPD,所以取加的中点。为原点建立空间直角坐标系J根据向量法先求两平面的 法向量M , P ,再中魏公式84里办,求二面甬的大小山口)根据(】【)的结论J直接求|35 (嬴 即可-试题解析：(I)设AC,BD交点为E ,连接ME .因为PD /平面MAC ,平面MACI平面PDB ME ,所以PD / ME .因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以 M为PB的中点.2.

20、6UD取血)的中点。,连接QF, 0E因为Ra二FD,所以OP 1AD又因为平面上仞，平面四CD7且。Pu平面H4D,所以。_1平面458因为QEu平面.超8,所以。?一QE.因为13CD是正方形？所以。E_TD.如图建立空间直角坐标系o-邛上,则P(o：o二W),(2:0:0), 5(-2:4:0),而二(4=-43 而=QOT)uurn BD 0 4x 4y 0设平面BDP的法向量为n (x, y,z),则 山& ，即 :.n PD 0 2x 2z 0令 x 1 ,则 y 1, z72 .于是 n(1,1,J2).平面PAD的法向量为p(0,1,0)，所以 cos<n, p&

21、gt;n p|n| Pl由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为 -.、2uum(III)由题意知 M ( 1,2,)，C(2, 4,0), MC2 (3,2, ?).设直线MC与平面BDP所成角为，则sinuuuuuuuu |n MC | |cos<n,MC>| uuuu|n|MC|2.69所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为【考点】线线、线面的位置关系，向量法【名师点睛】本题涉及立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求 解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种常见且有 效的方法，要注意建立适当的空间直

22、角坐标系以及运算的准确性（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选 100名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药.一段 时间后，记录了两组患者的生理指标 x和y的数据，并制成下图，其中 “*表示服药者，“+表示未服药 者.17指标T（I ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（n ）从图中A, B, C, D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标 x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望 E（）;（出）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标 y数据的方差的大小.（只需写出结 论）【答案】（I ） 0.3；（ n

23、）详见解析；（出）在这100名患者中，服药者指标 y数据的方差大于未服药者 指标y数据的方差.【解析】试题分析：（I）根据所给图数出 y 60的人数，再除以 50就是概率；（n）由图可知 A,C两人的指标x 1.7,根据超几何分布写出分布列,0,1,2, Pk 2 kC2c2C20,1,2 ,并求数学期望；（出）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小试题解析N I)由图知F在服药的50名患者用,指标)的值小于60的有养人I15所以从服药的50名患者中随机选出一大，此人指标F的值小于60的概率为京=0.3 .(H)由图知，"BCD四人中，指标工的值大于1J的有2人；

24、A和C.所以Y的所有可能取值为0.L2.P(0)c2C2i6，P(i)CcC23，P(c22) -4C2所以的分布列为012P162316121故的期望E( ) 011-2-1.636(出)在这100名患者中，服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.【考点】古典概型，超几何分布，方差的定义【名师点睛】求分布列的三种方法：(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有 k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.(18)(本小题14分)已知抛物线C: y2=2px过点P(1,

25、 1).过点(0, 2)作直线l与抛物线C交于不同的两点 M, N,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP, ON交于点A, B,其中O为原点.(I )求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(II)求证：A为线段BM的中点.211【答案】(I)万程为y2 x,抛物线C的焦点坐标为(-，0),准线万程为x - ; (n)详见解析. 44【解析】试题分析：(I)代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；(n)设直线I的方程为y kx 1 (k 0),与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线 ON的方程为y &x, 2x2联立求得点B的坐标为（x1,丝），再证明y1x

26、2x1y22x1X20.试题解析:（I）由抛物线C: y2 2Px过点P(11),得所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为（1, 0）,准线方程为4（ID由题意,设直线的方程为工启一月与抛物股C的交点为NO妁）一V =A1-,由彳 2+(4fc-4)x-l = 0.卜=见看一餐=营，玉/=金因为点p的坐标为（b i）,所以直线的方程为点x的坐标为直线QV的方程为"生力点H的坐标为（描也）因为y1生2x1x2y1x2 y2x1 2x1x2X2八 1、 八(kx1 -)x2 (kx21、 C2)x1 2xx2X2 1(2 k 2)x1x2 2(x2 x1)x211(2 k 2)

27、24k 2kX20,所以y1型2xi .x2故A为线段BM的中点.【考点】抛物线方程，直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系 翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能 需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量(20)(本小题13分)已知函数f(x) excosx x.(i )求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)求函数f (x)在区间0,-上的最大值和最小值.

28、【答案】(i)y 1； (n)最大值为1；最小值为 .2【解析】试题分析：(I )根据导数的几何意义，先求斜率,再代入摊叁方程公式d (O)='(G(h-0)中 即可I(II)设求/幻，根据Y(x)vo璐定画较由的单调性，根据里调施求困 教的最大值力(。)=0,可以知网力=/口)。恒成工 所以函封是单调递混函数，*魏单 调性求最值.试题解析：(I )因为f(x) excosx x ,所以 f (x) ex (cosx sin x) 1, f (0) 0.又因为f(0) 1 ,所以曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y 1.(口)设 h(x) ex(cosx sin x)

29、 1 ,贝U h (x) ex(cosx sinx sin x cosx)2exsin x.当 x (0,-)时，h(x) 0,2 TT所以h(x)在区间0,-上单调递减.2 兀一所以对任意 x (0,有 h(x) h(0) 0,即 f (x) 0. 2-.、.TT所以函数f (x)在区间0,-上单调递减.2因此f(x)在区间0,上的最大值为f (0) 1,最小值为f (-)-.222【考点】导数的几何意义，利用导数求函数的最值这名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要两次求导数，因为通过 f x不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 h x f x , 再求h x , 一般这时就可求得函数 h x的零点，或是h x 0或h x 0恒成立，这样就能知道 函数h x的单调性，根据单调性求最值，从而判断 y f x的单调性，求得最值.设an和bn是两个差C 列，记Cnmax biain, b2a2n, bnann( n1,2,3,) ,其中maxx,x2, ,xs表示x1,x2, ,xs这s个数中最大的数.(i )若an n , bn 2n 1,求G,Q,C3的值，并证明Cn是等差数列；(n)证明：或者又任意正数 M ,存在正整数 m,当n m时，cn m ；或者存在正整数 m,