初中数学中基本数学思想方法

1、初中数学中的基本数学思想方法学习主题具体要求典型例题数学思想(1)用字母 表小数会用字母表示数，进行式的运算 和讨论一些数学问题。如会列方程解 应用题，会用换元法，利用整体思想 达到化简解题过程或解决问题的目的 等。用字母表示数的思想是数学转化 思想的具体体现。1 . 一件工作，甲做a 完成，现在甲先做了 工作由乙继续完成， 全部工作？2 .已知x= 4 J3求)值。天能完成，乙做b天能c天(c < a),余下的 乙需做几天可以完成4 6x3 2x2 18x 23 的x2 8x 15能运用代数、三角比知识通过数 量关系的讨论去处理几何图形的问 题；能运用几何、三角比知识通过对 图形性质的

2、研究去解决数量关系的问 题。能将抽象的数学语言与直观的图 形符号结合起来，把抽象思维与形象 思维结合起来；会用代数的方法去研 究几何问题，会根据图形的性质及几一， ，一“，y1、已知二次函数y图所示，则a0,b0, cdax:b bx c的图象如,20,b2 4ac0(2)数形结 合法何知识去处理代数问题。飞0T72、如果关于x的方程2x2 3x 5m 有且只有一个大于1的实数根，求 围。2 . ，一3,二次函数y ax bx c如图(的符号及a、b、b2 4ac的符号(2)试确定 a+b+c、a-b+c 的0m的取值范1)试确定ciy10、(3)函数思 想函数所揭示的是两个变量之间的 对应关

3、系，通俗的讲就是一个量的变 化引起了另一个量的变化。在数学中 总是设法将这种对应关系用解析式表 示出来，这样就能充分运用函数的知 识、方法来解决有关的问题。1 .把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各 截去边长为xcm的小正方形，再将它折成一 个无盖盒子。求这个盒子的容积 V关于自变 量x的函数解析式，并说明 x的取值范围。2 .如图在 Rt A ABC / BAC=90o,AB=AC=2,点 D 在BC上运动(不能到达 B、C),过D作/ADE= 45 o, DE 交 AC 于 E。设 BD=x , AE=y , 求y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围。问当 ADE为等腰三角形时，求

4、AE 的长。B DC(4)方程思 想学会分析问题中白数量关系，寻找已知量与未知量之间的相等关系 .学会通过适当设元 ，列出方程或 方程组，从而解决问题的一种思维方 式.1 .牧场的青草，每天都生长一样快，牧场的全 部青草可以供给10头牛吃20天供名15 头牛吃10天，那么供给25头牛可以吃几天？2 .四边形ABCD对角线相交于。点,且4 ABC、ABCD> ACDA > DAB 的面积分 别为 5、9、10、6,求AOAB、OBC、 OCD及4 ODA的面积.(5)分类讨 论思想当面临的问题/、宜用一种方法处 理或同一种形式叙述时，就把问题按 照一定的原则或标准分为若叶类，然 后逐

5、类进行讨论，再把这几类的结论 汇总，得出问题的答案，这种解决问 题的思想方法就是分类讨论的思想方 法。分类讨论的思想方法的实质是把 问题“分而治之，各个击破”。其一般 规则及步骤是：(1)确定同一分类标 准；(2)恰当地对全体对象进行分类， 按照标准对分类做到“既不重复又不 遗漏”；(3)逐类讨论，按一定的层次 讨论，逐级进行；(4)综合概括小节， 归纳得出结论。1 .解关于x的方程2 _. , 2_ . 一x x 2 k(x 2x) 02,已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 。(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实 数根；2 2) 若等4ABC的一边长a=1,另两边长 b, c恰

6、好是这个方程的两个根，求4 ABC的周长。3 .已知AB为。O的直径，D为直径AB上一 动点(D不与点A, B重合)，过D作CD ±AB 交。于C,过C作。O的切线PC,交。O的 切线AM于P,连PB交CD于Eo(1)请根据D点的不同位置画出符合题意的 图形；(2)猜想CE与DE的数量关系，并就 D点 的某一位置证明你的结论；(3)如果。的半径为1,设点D与圆心O 的距离为m,试求PC的长(可用m的 代数式表示)。(6)化归思想化归思想方法是处理数学问题的 指导思想和一种基本策略。化归思想 就是把未知问题化归为已知问题。把 复杂问题化归为简单问题，把非常规 问题化归为常规问题。从而使

7、很多问 题得到解决的思想。结合解题进行化 归思想方法的训练的做法：1、化繁为 简；2、化高维为低维；3、化抽象为 具体；4、化非规范性问题为规范性问 题；5、化数为形；6、化实际问题为 数学问题；7、化综合为单一；8、化 一般为特殊1 .解方程：J2x3 x2 .已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点 A在点B的 左侧，如图。二次函数2y ax bx c(a 0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C。(1)a、c的符号之间有何关系？如果线段OC的长度是线段 OA、OB长度的比例中项，试证 a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果 b=4, AB= 4/3求a、

8、 c的值。(7)数学模 型思想设计一条隧道，要使高 4米，宽4米的巨 型载重车辆能单向通过，隧道上的纵断面是如 图抛物线状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得的最小整数值。(单位：米；J5= 2.236)“y所谓数学模型，是指用数学语言 把实际问题概括地表述出来的一种数 学结构。数学模型是对客观事物的空 间形式和数量关系的一种反映。它可 以是方程、函数或其他数学式子，也 可以是一个几何基本图形。利用数学 模型解决问题的一般数学方法就是数 学模型方法。它的基本步骤如下图所 示：数学抽象实际问题的解(8)分解组 合思想能把在内容和形式上，和教材上 的公式、定理所需要具备的条件不完 全一样的数学问题

9、，通过对问题的分 解、拆割，或者合成、拼补等手段， 将问题转化为符合公式、定理所要求 的形式，并运用公式、定理来加以解 决。求重罐1、因式分解：2c22x 2xy y a2、将两块三角板如图放置，CEDB 90 , AAB DE 6,摹部分的面积。AADB2ab b2其中45 , E 30 ,(9)图形运 动思想初中图形运动包含平移、翻折和 旋转，能通过实验、操作、观察和想 象掌握运动的本质，在图形的运动中 找到小变量，然后解决问题。把一张边长为2的正方形纸片ABCD折 叠，使B落在AD上(不和A、B重合)，MN为折痕，设 AB =a。求：(1)折起部分面积；(2)折痕MN的长。(用a的代数式

10、表示)1BB；C数学方法(1)待定系数法熟练掌握待定系数法的基本思想和步 骤，会求解一些需要确7E系数的问题， 尤箕是确定函数解析式，或者会利用 系数证明一些问题。1 .已知二次函数的图像顶点坐标为(2, 5)它在y轴上的截距是一7,求这个二次函数。、,212 .已知抛物线 y=x (a+b)x + zc2，a、b、c分别是/ ABC中/ A、/ B、/ C的对边。(1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点为P、Q,顶点为 R, /PQR=a, tga=«, / ABC 的周长为10,求抛物线的解析式；(3)设直线y=ax bc与抛物线交于点E、F,与y

11、轴交于点M ,抛物线与y轴交于点N ,若抛物 线的对称轴为x=a, /MNE与/MNF的面积之 比为5: 1,试判断力 ABC的形状，并证明你的 结论。(2)配方法学会通过凑、配等手段得到完全平方、 完全立方等形式，再利用完全平方项 是非负数等性质，达到增加题目的条 件等目的。主要用在多元代数式求值， 无理式的证明和化简以及求解方程。1.若实数x、v、z满足4(" Jy 1 jz 2) x v z求x、v、z的值。2、已知关于x的方程2,、，2. 2、x 2(1 a)x (3a 4ab 4b 2) 0有实根。求a、b的值。(3)换元法会用新的未知数去替换原条件中的旧 未知数或数字或代数式，使较为复杂 的多项式结构简化，以达到简化解题 过程的目的，是体现数学转化思想的 具体体现。1.解方程 2x2 x 552x2 x 62 计算（111）（11231999 232000（1 11，）（1+1+ +，）2 32000 2 31999(4)判别式法会用判别式去处理一兀二次方程、二次函数、二次三项式等方面问题把一次二项式、兀一次方程、分式方程、无理方程、二次函数求最值 等问题，利用一元二次方程的判别式 来进行求解。1 .不解方程，判别下列方程的根的情况： (