《线性代数理综合复习资料》

1、线性代数(理)综合复习资料、选择填空题6 01、行列式1 32 415中，元素4的代数余子式为 22 10，2、设A，则A的秩r(A)3413、已知三阶方阵 A的特征值为1,0,2,则E A的全部特征值为24、一次型 f(X1,X2,X3) X12X3 2x1X2 2x1X3 6X2X3 的矩阵为 A6、设A,B均为3阶方阵，且A 2, B 21 ,则行列式A B A的值为(1) 6;(2) 8;(3) 12;(4) 16。a11a12a13a31a32a335、设行列式a21a22a233,则a11a12a130a31a32a332a212a222 a237、设A和B皆为n阶实方阵，则下面论

2、断错误的是()(1) A可逆的充要条件是 A等价于n阶单位矩阵E ;(2) A与B相似的充要条件是存在可逆阵 P ,使得A P 1BP ；(3)若A是正交矩阵，则 A 1；(4) A与B均正交相似于一个对角矩阵。8、对于矩阵ARn n,下列说法不正确的是()(1)如果矩阵A中有一行元素全为零，则 A 0 ；(2)如果矩阵A中有两行元素对应成比例，则 A 0;(3)如果交换矩阵 A的任意两行，则相应的矩阵行列式值不变；(4)如果将矩阵 A的某一行加到另外一行，则相应的矩阵行列式值不变。11119、设矩阵A Rm n的秩为r ( rmin(m, n), r0 ),则下列说法不正确的是(1)矩阵A所

3、有r阶子式均不等于零；(2)矩阵A的所有r 1阶子式全等于零；(3)矩阵A的行向量构成的向量组的秩为r ；(4)矩阵A的列向量构成的向量组的秩为r o10、设 Aaii乳ai3a2ia22a23，ana2iai2a22a3ia32a33a3i2aiia322ai2ai3a23a33 2ai3PA B ,则初等矩阵P为()i 0 0(i) P 0 i 0 ； (2) P2 0 ii 020 i0 ； (3) P0 0ii02i000i0；(4)P0i000i20iii、二次型 f (xi, x2, x3) 3x；2X34xiX2 6X2X3 的矩阵为 Ai2、如果矩阵A与三角矩阵20052 0相

4、似，则 A的全部特征值为 373i3、非齐次线性代数方程组Axb(ARnn,b 0)有解的充要条件是i4、下列说法不正确的是()(i)含有零向量的向量组一定线性相关；(2)不含有零向量的向量组一定线性无关；(3)如果一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组一定线性相关；(4)如果一个向量组线性无关， 则该向量组中任意部分向量构成的向量组一定线性无关。i5、下列说法不正确的是()(i) 一个向量组的最大无关组是不唯一的；(2)向量组与其最大无关组是等价的；(3)如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性相关；(4)秩相同的向量组一定是等价向量组。、计算题1、计算行列式D2、设矩阵3、已知

5、向量组的值。,求矩阵A 1。,21023,31135,求该向量组的一个最大无关组。X1 4x2X34、设有线性方程组X13X13x22x2X3ax3有无穷多解?5、求矩阵A6、计算行列式7、6 ，问a、b为何值时，方程组有唯一解？无解?的特征值和相应的特征向量。为何值时，非齐次线性方程组的值。X1X2X38、求矩阵A9、设矩阵A 210、已知向量组X1X1X2X2X3X302的特征值和相应的特征向量。4有唯一解？无解？无穷多解?10 1,21 32 0,35 1 6 2,7 0 14 3 ,求该向量组的一个最大无关组。1、-31;2、2; 3、2,6、（3）;7、（4）; 8、11、2二、解:

6、1.2.1, -1； 4、11(3); 9、(1); 10、(4)12、2, -23；13、利用行列式的性质简化行列式即得10102 2r120AME0M20M21M 1r3 3r1r11M10M02M03 ； 5、 6;rank (A,b) rank (A)； 14、(2)； 15、(4)10103.将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为行阶梯形矩阵即可:所以2是该向量组的一个最大无关组。04.对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得(A|b)1141时，方程组有唯一解（系数行列式非零）1且b 9时，方程组无解（rank （A）r

7、ank (A b);1且b 9时，方程组有无穷多解（rank (A b)rank (A)3)。5.解:首先计算特征多项式2)2)(3)241)(2)(5)特征值为22, 3求11对应的特征向量： 解方程组（EA）x 0,等价方程组X2X3此时方程组的基础解系为p11对应的所有特征向量为 k1Pl k11 ,kk1 R0 o0应的特征向量：解方程组(2EA)x方程组XiX20 ,此时方程组的基础解系为P221112X32对应的所有特征向量为 k2P2 k2 0 ,kk2 R0。1应的特征向量：解方程组(5EA)x即等价方程组为X1X20 ,此时方程组的基础解系为P3X35对应的所有特征向量为k3

8、 P3k3 1 ;kk3 R0。3 06、利用行列式的性质简化行列式即得233rl4r145rl143225544141111141414（第二行和第三行对应成比例）7.解：解:1 1121(1)(31)1)(3)(1)当3时，有唯一解;11(2) 1 时，A 1111rank (A) 2 rank (A) 3 月1 3 1(3) 3 时，A 11 311 1rank (A) 2 rank (A) 3 月8.解：首先计算特征多项式200E A 032023特征值为12, 2 1，3 5123求12对应的特征向量：解方彳11111302 22200 0 3113 1140 4 4 330 2 2

9、 2(2)(1)(；组(2E A)x 0 ,5) 0000X1052X20,025x31此时方程组的基础解系为p100k1故12对应的所有特征向量为k1 P10 , kuR0。00X12 x22 X33 00,求2 1对应的特征向量：解方程组（E A）x 0,即等价方程组 02020此时方程组的基础解系为p21;0故11对应的所有特征向量为k2 p2k21 ，k2R0 即等价方程组为求 3 5对应的特征向量：解方程组（5E A）x 0700 x10022 x20,此时方程组的基础解系为p31 ;02 2 x319. AIE130M00130M100210M010070M 210422M001002M0210故i 5对应的所有特征向量为 k3 P3 k3 1 ,也 阳。1133717