高一数学知识点不等式的恒成立及有解问题—教师版

1、在不等式的知识中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立、恰成立及有解。这类条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定， 难以寻觅。 这类问题综合考查函数、 方程和不等式的主要内容， 并且与函数的最值、 方程的解和参数的取值范围紧密相连。 在分析这类问题中要注意区分不等式恒成立、能成立、恰成立：恒成立问题（关键词：对所有，任意、 恒） ； 能成立问题 （关键词： 有解， 存在， 解集非空， 能） ； 恰成立问题 （关键词：定义域，值域，方程有解） 。解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换

2、主元法、构造函数的方法等等。一.不等式恒成立1.变量分离:若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知， 另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。这类题型的基本解题思路如下：(1)将参数与变量分离，即化为 g(a) f(x)(或g(a) f(x)恒成立的形式；(2)求f (x)在x w D上的最大(或最小)值；(3)解不等式g(a)之f(x)max (或g(a) M f (x)min),得a的取值范围.【例1】当xw 1,2】时，不等式x2 +mx + 4 M0恒成立，求m的取值范围.【难度】【答案】m

3、 ： -5.22【解析】当xw 1,2 时，由x2 +mx + 4 0得m -.令f (x)=-,则易知xxf(x)在H,2上是增函数，所以 xW 1,2】时f(x)min = f(1) = 5 ,则m 5.【例2】已知函数f (x) = ax -V4x x2 ,x w (0,4时f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围.【难度】【答案a :二0一 一 4x- x2 .【解析】将问题转化为 a 对x匚(0,4恒成立.4x -x2令 g(X)=，则 a g(X)minX由 g(x) = 4xX = /4二可知 g(x)在(0,4上为减函数，故 g(x)min =g(4)=0 X x，a0即a的取

4、值范围为( * ,0).【例3】已知xw (3,1时，不等式1+2X+(aa24X A0恒成立，求a的取值范围【难度】【解析】令2X =t2 t 1,*x=(一笛,1，tu(0,2 所以原不等式可化为：a a4对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围【难度】【答案】27或24恒成立,即 a-3 4,解得 27或20得：a 22 ,当2x = J2时等号成立.所以有a 0 ,对xW (,1)恒成立.1 2，、a a a = -(2+2 ) x= (-0,1)恒成立.4xx2_ 1.1令 t =2 , g(t) = (t +t )又 x = (-0,1)则 t= (一 ,8), a g(t)对 t=

5、(一，收)恒成立,22又；g(t)在t1，依)上为减函数，g(t)max = g(l) = 一，a3.22446 / 342.利用二次函数的性质对形如f (x) A 0或f (x )0 (或ax2+bx+c 0 (或ax +bx+c 0的解集是R ,求m的范围.【难度】【答案】m 1,9)【解析】要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ,所以要讨论 m -1是否是0.(1)当m -1 =0时，元不等式化为 20恒成立，满足题意；m -1 0(2)当m 1#0时，只需9，所以，mw 1,9).”(m-1)2 -8(m-1) 0【例5】 已知f(x) = x2+a

6、x+3a,若xy2,2, f(x)之2恒成立，求a的取值范围【难度】分无零点、【答案】-5 a 0飞038 / 34零点在区间的右侧三种情况，即-2 -2 或4f (-2)之 0f (2)之 0-a _22 f(-2) ,0 f(2) _0f (x) =x2+ax+3a2 之0 ,即 f (x) = x2+ax+1a 之 0在一2,2上成立.(1) A=a2 -4(1-a )0 -2-272 a0_a0f(2)02 0-之2, 2-5a0f(2) 0综上所述，-5 a 2对任意的xw R恒成立，求实数k的取值范围. x x 2【难度】【答案】2 M k二102【解析】化简得(k2)x +(k-

7、2)x + 20在R上恒成立.22.设f(x)=x 2ax+2,当xu1,0)时，都有f(x)之a恒成立，求a的取值范围【难度】【答案】-3, 1【解析】在f (x) a不等式中，若把 a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题.设 F (x )= f (x )a = x2 2ax + 2 -a ,(1 )当 = (a 2 一4(2 -a )=4(a 一1 (a +2 )0 时，即 一2 a 1 时，对一切 xw 一1,y),5衣心0恒成立；(2)当 = 4(a -1 (a+2巨0时由图可得以下充要条件：之0(a1)(a+2)之04 f (1)之0 即a+3之0一 w-1T,2

8、一 ,得3Wa 2,综上所述：a的取值范围为-3, 1.3.变换主元：在不等式的恒成立问题中， 有一类题型是题中的参数如 a、 m、 k等的范围是已知的，而题要求的反而是变量 x的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说， 我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。【例6】对于?t足a| E2的所有实数a,求使不等式x2+ax + 1 A2a + x恒成立的x的取值范 围.【难度】【答案】x3【解析】在不等式中出现了两个字母:a及x,关键在于该把哪个字母看成是一个变量

9、，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在卜2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.原不等式转化为(x1)a+x2 -2x+1 0在a| 0 即卜2-4x+30卜蜒 x 0x2 -1 0xax1nx 0对于aw (8,3恒成立，求实数x的取值范围.【难度】【答案】x (-二,0) . (1，二)【解析】注意到 4x -a 2x + 2 0对于aW(,3恒成立是关于a的一次不等式.不妨设f(a) =2x a +(4x +2),则f (a)在aW(*,3上单调递减，则问题等价于 f(3) 0 ,所以 4x 3 2x +2 A0= 2x 2 或 2x m(x2 -1)对满足

10、-2WmW2的所有m都成立，求x的范围.【难度】【解析】将不等式化为：2x1m(x21),；令f (m) = m(x2 -1) (2x1),则2MmM2时，f(m)0恒成立，所以只需旧即卜21)一 1.f (2) 02(x2 -1)-(2x-1)0以x的范围是四宰，=3).2,、2.设函数是定义在Sf 上的增函数，如果不等式f(1-ax-x )A成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；iiiax若在区间D上存在实数x使不等式f(x) B成立，则等价于在区间 D上的f(x)min B.【例8】存在实数x亡1,2 ,使得不等式kx2+k - 2 0有解，求k的取值范围【难度】【答案】k ：二1

11、2一、2【解析】存在性问题，变量分离， k 2-,只需在区间k ()max . x2 1x2 1【例9】已知函数 f(x)=lg(a -ax -x2 ),若定义域不为空集，试求a的取值范围【难度】【答案】 20.【解析】f(x)的定义域非空，相当于存在实数 x,使a-ax-x2 0成立，22- 4a - a 4a a邛(x)=a ax x2的最大值大于0成立，max(x)=一二=-4 0解得a 0.【巩固训练】1 .存在实数x,使得不等式 x+3+|x-1 Ma2-3a有解，则实数a的取值范围为 【难度】【答案】a _4或a -1【解析】设f (x户|x +3 +x -1 ,由f (x卢2 -

12、3a有解，=a2 _3a之f (x 又 x+3+x7 之(x+3 )(x 1 卜4 ,a2 -3a 之4 ,解得 a 之 4或 a 0,若存在x13_4,4,使f(x)1,求b的取值范围【难度】-1【答案】0 :二b 4【解析】若存在xw I1,- 使f (x庐1,而f(x)=1 ,即21 , bA0分离变 14 4_ x2+b x2+b量得 b x - x2,即 b W (x -x2 ax ,可得 b A的解集为D；若不等式f (x ) B在区间D上恰成立，则等价于不等式 f (x )0的解集为Wx |-1 x -b则a|_b=.3【难度】【答案】ab=6.21【解析】恰成立问题，a0的解集

13、为(2,3),试求a的值.【难度】【答案】a -5.2.一一【解析】恰成立问题，f(x)0的解集为(2,3),等价于不等式a ax x2 1的解集为(2,3)； 于是有x2 + ax+1-a 0 = (m-1 f -4m04 m_1，解得 m3+2420 12m、f(1)A0【例14若关于x的方程25* -4 51-m =0有实根，则实数 m的取值范围是 【难度】【答案】-3,0解析设 y=5平音，则 0 yE1 , m = y2 _4y = (y 2 24 ,解得 mW一3,0)【例15】已知a是实数，函数f (x )=2ax2+2x 3 - a,如果函数y=f(x)在区间一1,1上 有零点

14、，求实数a的取值范围.【难度】 【答案】aM_3_二或a.23【斛析】a =0 时，f(x)=2ax +2x-3 - an x =-正一 1,1,故 a#0二 f (x )=2ax2 +2x-3a = 0在区间一1,1上有解=(2x2 -1)a=3-2x在区间L1,1上有解=1 = 2x -1在区间1-1,11上有解a 3 - 2x2x2 -1g(x) =,xW1,1的值域为 77 -3g(x) 13 -2x1即 7 -31r3.7即a三_3一或2_1.2【例16】已知方程ax2+2(2a1)x+4a7=0中，a亡N,问a取何值时方程至少有一整数根.【难度】【答案】a=Ka=5【解析】原方程化

15、为(x+2)2a =2x + 7.；x = -2不是原方程的根，.x + 200,2x 72x 7a =-. au N, 二之1,解得 一3*=1且*#-2,(x 2)2(x 2)2x X取整数的值只有-3, -1, 0, 1四个，对应的a的值为1,5, 7和1. 4，当a =1或a =5时，原方程至少有一个整数根.【巩固训练】21 .万程x+x+k=0在xw (0,1)有解，求k的取值氾围.【难度】【答案】k三2,02 .如果关于x的方程(2 -2)2 -a -2 = 0有实数根，那么实数 a的取值范围是 【难度】【答案】a -1,2)【解析】原方程通过变量分离化为(2* -2)2 -2 =

16、 a ,通过左右值域相等，来满足方程有实根，令g(x) = (2书2)2 -2 ,求出g(x)的在R的值域.-2.22.一 3 .关于x的方程(x -1) -x -1+k =0在x= R有解，求k的取值范围.【难度】4 .若方程2ax2+2x3a =0在区间Ll,1】上有解，求实数a的取值范围.【难度】【答案】当a=0时，方程在 Ll,1】上无解； 22当a#0时，=x二！在Li,1有解，可求得函数 y= x 1在Li 1上的值域为 a 3 -2x3-2xIV7 -3,1 ,即 77 -3- 1,解得 a -3 + x7 或a 1 a23 - -7 7综上，实数a的取值范围是a 12一、一25

17、.若关于x的方程ax +2(3-a)x+a-2=0中的a为负整数，则使方程至少有一个整数解时a的值是。【难度】, 2 6x ，一 一， ，,2 6x【答案】x#1。分离常数得 a = 2；。由题意,a为负整数，故a = 26x21(x-1)(x-1)整理得 xW4 J13, 4+J13,又 x 为整数且 x=1,故 x = 2,3,4,5,6,7经验证 当x=2,3时符合题意，相应的2 = -10或。四.任意与存在在考题中我们经常见到这么一类动态的函数、方程或不等式问题：对区间内任意自变量，若命题成立，求参数取值范围；或在区间内存在一个自变量或两个自变量，使命题成立，求参数范围等等。对这类涉及

18、多变量的问题，由于其问题自身的抽象性和隐蔽性，我们将其分为以下几个类型：(1)任意型：对任意的 xw D ,都有f(x)m,则f(xin m；对任意的x w D ,都有f (x m ,则f (x，ax m,则f (x max a m ；若存在x w D ,使得f (x ) m,则f (x认 m ;(3)任意=存在”型：对任意的 w a ,存在x2w B ,使得f (x1)=g(x2 ),则f (x)的值域是g仅X直域的子集，即f (A后g(B );(4)存在=存在”型：若存在x1w A ,存在x2亡B ,使得f(x,)= g(x2),则f (x)的值域是g仅)的值域有非空交集，即 f(Ap g

19、(B/0 ；(5)任意E任意”型：对任意的 WA,任意的x2WB,使得f(x1Ag(x2)，则f (x max M g(x min ；对任意的x W A ,任意的x2 W B ,使得f (%上gj?),则 f x m i n g x m a x(6)任意E (2后在型：对任意的x1 w A,存在x2w B,使得f(x1 )g(x2),则f (x max M g (x max ;对任意的xi w A ,存在乂2三B ,使得f & )之gj ),则 f(xm in占 g(xm in(7) 存在E存在”型存在x1 w A ,存在x2 w B ,使得f (x1g(x2),则f (x min g(x2)

20、,则 ffxjrn之 gxk ；【例17若对任意x0 ,都有 2 xa ,则a的取值范围是。x 3x 1【难度】【答案】-,二 15)【解析】题意等价于f (x %ax M a , f (x卜 x=1，令t = x +工之2,则x 3x 1 x - 3xx1，一 If t =t之2为减函数，于是t 31,1ft *ax = f 2 =一,故 aj口也5 屿【例18】存在xe R,使不等式x2 +ax +10成立，求实数a的取值范围【难度】【解析】存在xw R,使不等式x2 +a x +1 a ,由于x2 1x2 1=-2,则a 1 ,若对于彳i意的x三口,2a 1都有y w a, a2 !荫足

21、方程log a x + log a y = 3 ,这时a的取值范围为【难度】【答案】2, 二【解析】因为 logax+logay=3,所以 xy = a3,又 xw b,2a ，则 y = aw i a 2, a2 1, xIL2由题意可知L1a2,a2lj a,a2，即1 a22a,解得a 2,故aw 2y) _22【例20】已知函数f (x )=ex -1, g(x )= -x2 +4x -3，若有f (a )= g(b ),则b的取值范围为【难度】【答案】2 - 2,22【解析】因为f(x)的值域为(1,收)，又有f(a)=g(b),即g(b)A1 ,解得2 - 2 ： b ： 2 ，2

22、【巩固训练】fl飞x1 .已知函数f(x)=x2, g(x)= 1 -m ,若对任意xw 1,2，都有f(x心g(x),求实数m的取值范围 【难度】1【答案】-1, 二一 2,-.x【解析】对任意的xW 1,2，都有f(x)之g(x),转化为 m f- I -x2 ,题意等价于r，i 丫、,I、m ii- i -x2 I ,令 h(x )= - i -x2 ,且 h(x)在 x w 1,2上为减函数，故H.Laxm.1 w1h(xmax =h(1 )=2,故 me 2-2 .已知f(x)=x22x,g(x )= ax+2(a a 0)，对任意的x1 w1-1,21, 存在乂2- 1-1,21,

23、 使得g(x1 )= f仅2 ),则a的取值范围是【难度】【答案】0,2【解析】由xwL1,2，f(x)=x22x, 9仪)=2乂 + 2匕A0)可得仪)的值域为 匚1,3】, g(x)的值域是La+2,2a+2，又对任意的x1三匚1,2，存在乂2亡【-1,2，使得 g(x1)=f(x2),则f(x)的值域包含g(x)的值域，即La+2,2a + 2上 匚1,3，则 1 _11 Wa+22a+2W3,解得 0a W,故 aw 0,2123.已知函数 f(x)=2k2x+k, xw 0,1】，g(x )=3x22(k2+k+1 k + 5 , x 匚1,0，存在 x1 w 0,11, x2 w匚

24、1,0，使得g(x2 )= f(x1)成立，求k的取值范围【难度】-1 -v41 1 r -1 +v41【答案】k= 1-10,41 |U |_41,.4.4 J【解析】存在x1w 0,1 x2w匚1,0，使得g(x2)=f (x1)成立，则f(x),g(x)的值域相交非空，f(x)的值域为k,2k2 +k , g(x)的值域为5,10+2k2+2k，则5 Mk M10+2k2+2k或 5 2k2 +k 1 ,所以g(x)单调递增，故在a,2a】上的值域为1,1+loga2，且f(x)单调递减，故在 Aa2上的值域为lp-2,p-11,要使得对任意 为乏匕,22，都有x2亡ka2，满足等式g(

25、x1)+g(x2 )= p ,则g(x)f(x),即p -2 1+log22+loga2=3,解得 a =2五.综合应用方程f(x)-g(x)=0在区间x I的解通过等价变形转化成f(x) = g(x)的解，进而进一步看成函数y = f(x), y =g(x)的图像在xW I上的函数图像交点，同时方程根的个数转化成函数图像交点个数.当牵涉到方程解的个数时，一般的转化成图像交点个数比较简单形如f g仅)的复合函数问题，一般转化为u = g(x )和f (u )分别画出函数图像再根据满足条件的范围来求解。【例21】函数f (x) = x2, g(x) = x+a,对于任意的x1 W 0,1,均存在

26、x2w 2,4 ,使得f (x1 )=g(x2 )成立，求a的取值范围.【难度】【答案】-3三a 0 时，f(x) = 2x矛, V1V 2V由条件可知 2x -7 = 2 ,即(2x)2 2 0,所以，x = log2(1 + J2)。(2)当 tw 1,2 】时，2t(22t J)+m(2t J 之02t4t2t即 m(2 1)至一(2 1),因 2 1 0 ,所以 m 至一(2 + 1)令 g(t) =(22t +1).因 tw 1,2 ,所以 g(t) w 1-17, -5,故m的取值范围是1-5, 卜一 一4x2-7【例 24】函数 f(x)=,xW0,1,2 -x(1)求f(x)的

27、单调区间和值域;(2)设 a 至1 ,函数 g(x) =x3 3a2x_2a, xw0,1。若对任意 x1w0,1,总存在X0W0,1,使得g(xo) = f (xi)成立，求实数a的取值范围；【难度】【答案】(1) xw0,1,令 t =2xw1,2 , x=2t,4(2 -t)2 -79则 f(x)=-()=4t+16, tw1,2tt所以，f(x)的值域为y3卜-3 3当tw1,2时，f(x)单调递减；当 咐2,2时，f(x)单调递增；一、 S 1J故f(x)在x= 0,万时为单调递减，在x=,1时单调递增；(2)对任意x2,x30,1,不妨假设x2 x3 ,有,、，、3-23-2g%)

28、-g) =x2 -3a x2 -2a -(x3 -3a x3 -2a)z、/22c 2、二 (x2-x3)(x2x3x2x3 - 3a )因为 x2x3 A 0, x22 +x32 +x2x3 3 , 3a2 至 3 ,故g(x2) g(x3) 0 ,函数g(x)在0,1上单调递减。则函数 g(x)的值域为g(1),g(0) 土1 3a2 2a,2a由题意，任青:合 总勺0,1, f(x卢4,3,存在 xw0,1,使得 g(x0)= f(x1),2.皿21-2a-3al4,则1 -2a -3a ,-2a二-4, -3,即 =2a - -3.a至1或a k)有两个不相等的实根 0.有Jg(k)之

29、0 ，解得2k 十 1,k-2实数k的取值范围为解法二：方程可化为 k = x - x 2 .令 t = Jx +2 w 0, +),则 k = t2 一t 一2 = g(t),4,-2: g在oj 1上是减函数，在丁，+的:是增函数，且g(0)=2,gd) = ?, _ 2|l2242依题息，函数丫=卜与丫=1 t2(x至0)的图象有两个交点,实数k的取值范围为x - 1 O2.已知 f (x) = () (x 1)x 1(1)求f ,；(2)判断f，(x)的单调性;(3)若(1 Jx) f (x) a(a 一 Jx)对 x e 1-1恒成立，求 a 的范围.,4 2【难度】x1，则 x 百

30、十 yy=x1，所以 x=ix 11- y得 f (x)=x (0,1)设 7x=t,则 tw 1-, ? 2 .112g( ) = (1 a)-a 1 0则必有 22222g( 2 ) = 2 (1 a)-a2 1 0- 1a 3解得一 1 ： a ： 1(2)任给 Xi,X2 W (0,1)1J 1x11 x22( x1 - x?)且、：二 x2.f但)- fd)1告12二 01-x11- x2(1- x1)(1 - x 2 )所以f（x）在（0,1）上单调增。(3) (1 - Vx)1 +x a(a - Vx),则 1 + 人 Aa(a_Vx彳#(1 + a)/x a2 -11 ：x、一

31、2. . I. 1 x/2 L一，_.，设 g(t) = (1 + a)t - a +1.g(t)在-,恒大于 0二2 1所以a.（-1,；）关于含参不等式恒成立问题，含参方程有解性问题，我们常用的方法是变量分离，讲不等式方程转化成两个函数图像之间的关系，得出相应的结论，应要注意区间的开闭问题；函数的零点，方程的根，函数图像的交点注意三者之间的转化，可通过数形结合来处理方程的根、函数图像的零点问题.对任意与存在的讨论，关键是合并成一个函数去求解其最值或是看成两个函数的最值的比较。1 .若ac a22 .不等式组jX a 有解，则实数a的满足的取值范围集合是x。4 2a,【难度】1 【答案】a

32、（-二，-3U，二）3【解析】由不等式组 得1+a2 x4+2a,要有解，则1+a20恒成立，则t的取值范围是 【难度】【答案】t :二524【斛析】分离不等式x +（1t）x+4 0中的参数t,得t x十一+1 ,对任意xw2,依）， x44y = x + +1在xw2,）上单调递增，故y = x + +1至5所以，t 0 在2xw（ 叼1止恒成立，变形为a-（4x+2x 对任意xw（的,1）成立，即aA（4x+2x*ax,经计算可得a 0,故aw h ）.5.若函数f （x）= Jx1 +m在区间G,b】上的值域为a，b（ba至1）,则实数m的取值范围为 【难度】-1【答案】(0,1 2|

33、 ：a -1 m=a【解析】2 ,即可以看做关于 x的方程Jx-1+m = x在x三1,)有两个.b1 m b-22不等的实数根.6.已知函数 f(x)的值域为 10,4(xw 2,2,函数 g(x) = ax 1,x，2,2,寸xw2,2,总存在xo亡-2,2，使得g(xo) = f (不)成立，则实数a的取值范围为 .【难度】，、一2 l227.关于x的方程(x2 1) -x2存在实数k ,使得方程恰有存在实数k ,使得方程恰有存在实数k ,使得方程恰有存在实数k ,使得方程恰有-1 +k = 0 ,给出下列四个命题:2个不同的实根；4个不同的实根；5个不同的实根；8个不同的实根。其中假命题的个数是(A. 0B. 1C. 2D. 3【难度】【答案】A28 .已知方程ax +2ax+a-9 = 0至少有一个整数根，则整数 a的值为【难度】【答案】1或99 2.【解析】易知x#1。分离吊数得 a= o由x为整数且x#1, (x+1)之1。(x + 12)9由题意，a为整数， 1Ea=2M9,故(x+1) =1,3(舍),9。从而 a=1,9。(x 1)x9.已知f(x)=x2,g(x)1 im,若对任意的xw匚1,3，存在乂2W0,2】，2 J“为心g(x2 ),则实数m