高中数学常用公式及结论

1、高中数学常用公式及结论不为困难找理由只为成功找方法 我行我一定行高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系：Ao.r A, xeCt A<> A. 0 0 A o 4 * 02集合小火,的子集个数共有2"个：真子集有2。-1个：非空子集有2”-1个：非空 的真子集有2,-2个.3二次函数的解析式的三种形式，(1) 一般式/(*) = "+bx + c("O);(2)顶点式/(工)=-4):“工0);(当已知抛物线的顶点坐标血幻时，设为此式)(3)零点式/(幻”(>-马)(工-1/。/0)；(当已知抛物线与X轴的交点坐标为 (“0】区,0)时，设为

2、此式)(4)切线式r /(1,) = (. %)；(依+d).("£0) (当已知抛物线与直线y = > 4相切且切点的横坐标为.1,时，设为此式)4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否定形式；原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有(-1)个小于不小于至多有个至少有("+I)个对所有工，成立存在某h不做或4且>7对任何X ,不成 立存在某h成立，且4或、q6四种命题的相互关系(下图)：原命题与逆杏俞题同我同假:逆命题与否命题同真同假.)充要条件s (1)、p=>q，则P是<

3、;|的充分条件，反之，q是P的必要条件：(2)、p=>q，则P是q的充分不必要条件；(3)、p工> p flqn”,则P是q的必要不充分条件：4. p工> p , IL q p,则P是q的既不充分乂不必要条件,7函数单调性:增雨数：(1)、文字描述是，y随x的增大而增大.(2),数学符号表述是：设f (x)在HD上右定义，心时任意的X七任。，“百<七 棒右/(&)/(&)成立,则就叫f(X)在xWD上是增函数c C则就是f (x)的递增区间.款函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而微小.(2) .数学符号衣述是：设f G)在>£D上有定

4、义，若对任意的大都行/*/>/(占)成立，则就叫f (x)在xWD上是破函数。I：则就是f (C的递减区间.单调性性质:(】)增函数十加函数帽由数：、减由故，减函致诚M数：(3)、增由数被函数：曾函故：(4)、诚函数增闲数减削数：注？匕述站界中的函数的定义域殷惜;尤卜.是理及的.星等号左边两个由数定义域的交集 复合函数的单调性，-0.单蠲性内层函数tti外£函数itit发合函数ttii等价关系,(1)设.q,q/$那么a f)/(X)-./")o o ")一/ > 0 o上是增函数;再一«-心)八* /5)<0o 短匕3°&l

5、t;0o “X)在卜用上是减函数.(2)设函数5,= /(>)在某个区间内可呼，如果/r(A)>(),则/()大增函数，如果fx) <0, »J/(x)为减函数.8函数的奇偶性：(注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必很关口奴力，对称) 奇函数：定义：在前提条件下,若疗f(r) = -fa)W(T)+ f(x) = O.则f (X)就是奇函数.性质：(1)、奇函数的图象关于原点对称：(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间：(3)、定义在R上的奇函数,有f (0)=0 .偶函数：定义：在前提条件下，若行7)=/(幻，则f(X)就是偶函数。性质：(

6、1)、偶函数的图象关于y轴对称；(2)、偶函数在x>0和k<0上具有相反的单调区间：奇偶函数间的关系(1)、奇函数偶函数二奇函数： (2)、奇函数奇函数;偶函数：(3)、偶奇函数偶函数偶函数：(4).奇函数土奇函数奇函数(也仃例外得偶函数的)(5).偶函数士偶函数二偶函数： (6)、奇函数士偶函数二非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关 于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 偶函数.9函数的周期性：定义：对函数f (x)，若存在Two,使得f (x+T) -f (x),则就叫f (x)

7、是周期函数，其 中，T是(X)的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：、f (x+T) = - f (x),此时周期为2T ；(2)、 f (x+m)=f (x+n).此时周期为2何一加：(3)、f(x + m) k，此时周期为 2m 0f(x)10常见函数的图像,k<0k>0y=kx+b)MoQt0<a<la>111对于函数J = /(N)(NW R), /* + “) = /(。7)恒成立，则函数/“)的对称轴是K= W两个函数v = /(x + a)与y = /S-x)的图象关于直线 =审对称.12.1 分数指数零与根式的性质：(1)=fl w > 1

8、 ).(2)(3)(4)12.2.a m =7 ( d > 0,nun N., FIm > 1 )./标(防) =a.当为奇数时，而 W 当为偶数时，行文,|=卜"2°-4" <0有理指数塞的运算性质(1) ar-a'*'(« >0.r,5G 0).(2) (a)=个(0/,$£。).(3) (ab)r = ab' (a > O.Z> > 0, r Q).注：若a>0, p是一个无理数，则以表示一个确定的实数.上述行理指数第 的运算性质，对于无理数指数耳都适用.13指数式与

9、对数式的互化式：log. N = b o a = N (a > 0,a = 1,N > 5.指数性质：(1)1、:(2)、a° = l (a*0)： (3)、"“=(1)av、a、>0.r.s wQ):、o* = a ：指数函数，、y = a (a > I)在定义域内是单调递增函数:(2)、)，=加()<<1)在定义域内是单调递成函数。注：指数函数图软都小过七 (0,1)对数性质：、log. M *bg. N = log/MN) ； (2)、log<( Af -log = log ； N、log.夕=w log/ :、log . l

10、og ：、log1 = 0m、log. a = 1 s、。国'=b对数函数：(1)、 y = logux(a>I)在定义域内是单调递增函数：(2)、y = hg, x()< a < I)在定义域内是单调递减函数：注：对数函数图缥都恒过点(1、.0)、 Io i( .vgp> 0 <=> a,x e (0J)5)Ca<x (l.-Hx>)(4)、log” *<0oa w(0.1)则xw(L+oo)或 a w(l,+co)则rw(O.l)14对数的换底公式:kg N =(a>0,且awl, j>0,且 *1, N >0

11、)-对数恒等式？ "、=n (a>0,且 wl, N >0).推论 log =Zk)gq。(”>0,且“ wl, N >0). tn15.1对数的四则运算法贝ij:若a>0, a#L M>0, N>0,则(1) ogu(MN) = loga M + Iog N ；(2) logo 枭=,og,( M 俎 N ;(3) log." =fog；(4) log . AT = log4,g/?).in15. 2.对数换底不等式及其推广1?o>0./>>0. x>Q. x.则函数> = 1083,(#) a(1)

12、当a > 时,在(0)和(L-c)上J = bg“Sx)为增函数. a a ”'|4<力时"(0')和(L+oo) l.y = log,“(bK)为送函数. a a推论:设 >/ >1，p > 0 a >0 II.a # 1 »则<2> log, in logt< n < log/ .16平均增长率的问题(负增点时<0):如果原来产值的基础数为N,平均增长率为，则对于时间x的总产值丫，有 y = AT(l + p)17等差数列，通项公式：（1> a. =q+（-l）d .其中q为首项，d

13、为公差.n为项数，a“为末项.（2）推广：an =at ¥（n-k）d<3） 4=，-S“t（”22）注：该公式对任意数列都适用）前n项和，（1） 二*）:4中q为泞项.n为项数，4为木丸/、c m，i）.（2 ） Sn = nay + -a（3） S。=S1M 式2 2）（注：该公式对任意数列都适用）（4） Sn = ax +g + a.（注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若 mn-p*q，则有+a ：“,r注：若4是耳,叫的等差中J拓 则仃24=q+%=n、m. p成等年。（2）、若4、J为等差数列.则可士2为等差数列0 （3）、凡为等处数列，S,为其前n项机

14、则S<II.S%-S.S%-S2>1也成等差数列（4）、与=4.4 = 贝必八9=0 ：（5）等比数列，通项公式，（1）q=qq-="/（1） ,其中q为广项.n为项数.q为公比, q(2)推广：%=为."-q=S-S._1(“2 2)前 n 项和 (1) S. =5. +%( 2 2)(2) S“ =" +"、+ + q,（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）（注：该公式对任意数列都适用）nals,=卬1一心"q常用性质？（1）、若 m*n-p+q ,则T 4, a.=3q ：注：若心是外,巴,的等比中项则行

15、明 '=” 册on、m (2)、若4、4为笫比数列,则". “为等比数列.、P成等比,18分期付款(按揭贷胤：每次还款x =照罟元(贷款元,"次还清,每期利率为619三角不等式:(1)若 x e (0t) 9 RO sin x < .r < tan x.2若 xw(O二),则 I <sin .r+cos x<，2.2Isinxl + lcos vl21.20同角三角函数的基本关系式:sin 8 + co/e = l, Ian6=, tan(9-cnf = 1. cos <92122正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)和角与差角

16、公式sin(fz± ft) = si ri cos p ± cos or sin ； cos(6Z ± p) =coscosTsiimsin fi ；仇 tanaitan/? .厂""rv . ztan(a±/>) =- aina + bcosa-yj(C +/厂 sm(a +3)1T tan a tan fl(辅助角9所在象限由点(”.)的致网决定，tan=-)23二倍角公式及降嘉公式.令 .2 tan asin 2a = sin a cos a =；-1-i-tan' acos2tt =cos:a-sin a = 2

17、cos a-l = l-2sin;a =(an 2a -sin2 a2 tan a1 tan a1-cos 2a 2,cos*al + tan* asin 2a I - cos2a inn a =；1 4- cck 2/y sin laI + cos 2a24三角函数的周期公式函数 y = sin(ex + 0), x£R 及函数 v = cos(rc;.v + )> xWR(A, 3, g 为常数，且 AHO)的用期丁=K；函数y = tan(x + 0),刀工上不+工,kwZ (A, 明为常数，且AW0)的周期 (o2b正弦定理：25sin A sin B sinCa)三角

18、函数的图像:v=sinxV=，SV4 sx_/一 2R (R为A48c外接圆的半径).一 万。，=2R sin A力=2R sin B.r = 2R sin C o «: />: r = sin A: sin ft: sin C26余弦定理:a =/ +( -2/x cos/A ; b2 =c2 -2cacosB; c2 =a: +b? -2obcosC.27面积定理：(1) S = Lah” =1b% =工ch, ( 哈耳分别表示a、b、c边上的高).222(2) S ='a力sinC ='csin A = "easin B. 222(3)Sa =

19、| yl(OA4OR)2 -(OA OB)2.，/切MG藏工"S.生殍皿/28三角形内角和定理：/在ABC 中，有 A + 8 + C = ioC = /r - (A + 8)Vo 与= g-o2C = "-2(A + 8).29实数与向良的痴的运算律:设入、口为实数，那么：(1)结合体：X (n a) = (X p) a(2)第一分配律：(入“)A J + ji a;(3)第二分配律：X (d + /)=X a + b.304与力的数量积(或内积)：d b=(ih cos".31平面向量的坐标运算：(1)设不=a，yj, 5=(-,力),则万+5=(用+勺方+内

20、)(2)设。:(»,箝)9 6=(七,y)，用._§ = (马 _占,1一%).(3)设 A(、，m), B(x?.),则 AB =OB-OA = (x2-xv乃一.四)(4)设万:(ky)/wR.则4G=(Z*"y).(5)设万二(n，m), G = (/,)、)，则。力=(工内+ %月).32两向量的夹角公式： .一，=1%=1* ,(1=(15 = (.1 3”)也；+K J巧 +>?233平面两点间的距离公式： >49=1 瓦口J而.亚=+(为(A*c B(&,%).34.1向量的平行与垂直i设5=(小,A)，且=6,则：d 116 o

21、白=入n o,工-x2y =。(交叉相乘差为零)a Lb (万工6)o a h =0o xx2 +=0.(对应相乘和为零)34. 2.“按向量平移”的几个结论(1)点P(x,y)按向量a=平移后得到点PCr + /ry+&)(2)函数)，= /(幻的图&C按向量a平移后得到图象C,则C的函数解析式为y = /di)+h(3)图象C.按向量。血k)平移后得到图敛C,若C的解析式y = /(X), HIC的函数解析 式为), = /(*+人)-h曲纹C : /(x,y) = 0按向量a= (h,k)平移后行到图象C',则C的方程为 /(4一加),一上)=0.(5)向;i：

22、nr (&1,)按向；底a-(/iJ )平移后得到的向试仍然为m=(x. v).35线段的定比分公式：设P2(x2.y2)t P(.M)是线段的分点，穴是实数，且I.二: 一 配 1+.=而=吟1%E +小?I + A产一O丽二丽+ (1T)丽(白)36三角形的重心坐标公式：ZSABC三个顶点的坐标分别为A(%yJ、B(x2, y2). CC,y ,), 则AABC的重心的坐标是G(土土沪幺，左亨).37三角形五“心”向量形式的充要条件，,设。为丛8。所在平面上一点，角A,从。所对边长分别为.Ac,则(1)。为A48c的外心丽；反匚(2) O为A/MC的重心03+而+沅=6.(3>

23、;。为AABC的垂心o85砺=丽 丽=无万L(4)。为A48c的内心oaOS+ cO6 = (k(5)。为&4AC的ZA的旁心丽+ c灰.38常用不等式：(1) &必/?=>/+从2 2M(当且仅当=1)时取7号).(2) 4/£*=土也之而(当且仅当a = b时取"L号).2(3) n"+b'N 3abe(a>0,b>0.c>0).(4) |a| -1/>| < |a 4-/»| < |a| +1/>|.(5) 学痴4巴产4的?1 (当且仅当a=b时取“=”号).(6)村西不等式(

24、一 +)(<?+/)? (acbd)a,b,c.d R.39极值定理：已知k.j都是正数,则有(1)若视xy是定值p ,则当.r = j时和x+5,有最小值2而；(2)若和x + y是定值一则当>=)时积与有最大值(3)已知",仇x.y w/T ,若"十力=1则有 + =(0A+Av )(+) = a + /> + + a+/? + 2>® = (6 + )、x yx yx y(4)已知。，瓦x.yeR ,若 + 2 = 1则有x yx + j = (x + y)( +)= + b + -4- -+ 14cT b(a y/b)2x yx y

25、40 一元二次不等式。彳2+/?< + «>0(或 <O) (aHO.A=/r-4ac>0),“与 a/+/八+(同号.则其解集在两根之外,如果与/+机异号，则其解集在两根之间.简言之，问号 两根之外，异号两根之间.即：耳 <X< x2。(K-%)(<-与)< 0(8心)：x< xrsHx> x2 O(K-/)(X-xJ>0(A <x>).41.1 含有绝对值的不等式：当a> 0时，有 国 <。=X： < / O -。< K V。 凶 > « o-> /。或 x

26、 v a 41.2 .指数不等式与对数不等式当 >1时.> 0*3 u> f(x)> g(x);/(x)>0Io j/(x)> lo B#(N)c Jg(z)>0 f(x)>g(x)(2)当0<o<l时.a,u) >atM o /(x) < g(x):f(x) > 0Io g/(x)>lo gg(N)O g(x) > 0 f(x)<g(x)42斜率公式：k = ”（片（菁,凹）、鸟（,以）“2 一七43直线的五种方程：（1）点斜式（直线，过点印孙%）,且斜率为A）.（2）斜械式 > =履+66

27、为直线/在丫轴上的截距）.（3）两点式 匕"=，二（yw力）（耳（3,四）、4。”为）（士工力）两点式的推广：（叫-1Xx-jcJ = O （无任何限制条件！）（4）截距式 2+=（%方分别为直战的横、纵截距，/£0、8=0） a h（5） 一股式/U+8.v + C = 0（其中A、B不同时为0）.44直线Ar +好+ C=0的法向量：7 = （48）,方向向量：/ =（8.-川夹角公式，k 一4(1) tanor=l 1 LL (4：.丫 =尤工 +优，l2 :y = k2x + h29 k- 0-1)I > I(2) lanaT(/tixv+C, =0, /2:

28、/l>x+»y + C2 = O, A& + 8/#0).A 4、+ B'B、直线时,直线4与A的夹角是会45 /伊儿的角公式，A 4(1) tantf = tan a =44_i5L.+ =0, l2:H 2yC2 =0.+ 48, *0).A& + B四L. (/.: v =|X + 4 , L : v = A" + />, kk.工-1)l+Mi- 1 2直线3M直线z到4的角哼46点到直线的距离：4=与券/°（点。（4,斓，宜线/： Ar + fiy + C-O）.47圆的四种方程：（1）圆的标准方程（x-a）2 （v-

29、by =r2.(2) Bl的一般方程 / + .v、Dr+£y + F =0(加 + £2-4F>0).（3）面的参数方程x = “ + rcos6 y h + rsinO（4）国的直径式方程（"A）（x-iJ+（y-）i）（.v-vJ = O （圆的直径的端点是也,卜）、B（卬）?）.48点与圆的位置关系：点也.卬%）与圆-+（y-力二，二的位置关系有三种:若d =一%）,则d>ro点2在圆外；</=，=点户在圆上；4<=点2在圆内.49直线与圆的位置关系，直线At + H.v + C=O与例（4 -+（>-/>/=/的位置关

30、系有三种 _Aa + Bb + C.=d > r c 相离 o A < 0 ； J = r o 相切 oA = 0；d<ro 相交 o A >0.50两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为a, a,半径分别为r” n，|aa| = d,贝IJ： d>八十G o外离u>4条公切线；d = 4+? o外切。3条公切线；Mkdvqf o相交=2条公切线；At ¥ 侬阳做二|八一。| =内切o条公切线； T q0<dh-rjo 内含 o 无公切线. o- d - yLdfTlfd51椭回£ + 1 = l（a>b>0）的参数方

31、程是离心率e = E = JlM，<r lr（j- = bsuGu V ir准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离（焦准距）/； = - CC过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为，2-. a52椭圆二十 = 1（。>方>0）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积： iT 卜|PAi| = e（x + -） = a + e.v, PF: = e（- - x） = a - ex ； = r I 1= tan 53椭圆的的内外部：.(1 )点 P(xo, %)在楠园+ T = 1( >力 >0)的内部 O -y4 yv < 1. a。 b.0.2222(2

32、)点 P(%,)在椭圆*r + yv = 1( >b >0)的外部o r + yr > I. ocr /r54椭圆的切线方程： 椭圆，* = 1（。>6>0）上一点Pg.）处的切线方程是苦+笔=1.<2）过椭圆；+2 = 1外一点0（与，环）所引两条切线的切点弦方程是号+浑=L 0* 3a ”（3）椭圆£ = 13">0）与直线41 +少+ （? = 0相切的条件是心1、8次=/. （T 从55双曲线二-二=|（>0>0）的离心率“ = £= l+'.准线到中心的距离为土，焦点 u.a V （Cc到对应

33、准我的距离（焦准距）=上过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其K度为：2 ca焦半径公式归川=Mx+2）l=ia+f.rl, |PF,| =1 e（- - x） 1=1!? -I»两焦半径与焦距构成三角形的面积臬中 =6%。1笥竺.56双曲线的方程与渐近线方程的关系：（1）若双曲线方程为-4 = 1=渐近线方程* £-4 = 0=尸/X. "« Zra若渐近线方程为片±，0 土埒=0=双曲线可设为二-二=大. a ah b'（3）若双曲线与= l有公共渐近线，可设为二-£ =入（%>0,焦点在x轴上，入<0,焦点在y轴上

34、）.（4）焦点到渐近线的距离总是。57双曲线的切线方程：双曲线摄-，=1（“>0/>0）上一点处的切线方程是苦-芳=1（2）过双曲线工-二-1外一点P（.W。）所引两条切钱的切点弦方程是 W-W a* '>q 力.22（3）双曲线一1 = |与直线版+8+« =0相切的条件是八/B次=/. 公tr58.1 抛物线尸=2川的焦半径公式：抛物线,二= 2px(p>0)焦半径|CF =.% + §.过焦点弦长仁。=占+ y+.r2 + § = 4 +x2 + p.58.2 ,抛物线/=2内上的动点可设为P山：0）或P（2m-2m）或Pa.

35、j）,其中 2P58.3 .二次函数y = a»+历+,=。（1+ 2户+处二生（=0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 2a 4a（-二，驯二生）；（2）焦点的坐标为（-2.4d'二.+，<3）卷线方程是y = 4"j"二L 2a 4a2a 4a4a58. 4.抛物线的内外部(1)点 PC%, v。)在抛物线 V2 = 2px(p > 0)的内部 o y2 < 2p.r(/>>0).点在抛物线y: = 2px(p > 0)的外部。y: > 2P式p>0).(2)点 P(.).3,o)在抛物线 y2 = -2

36、pxp > 0)的内部 o y2 < -2pxp > 0).点 Pg, yn)在抛物线 y2 = -2px(p > 0)的外部=> -2px(p>0).(3)点P(,y0)在抛物线x2 = 2P>0)的内部oV2py(/>>0).点 P(8. y0)在抛物线 x2 = 2py(p>0)的外部 c F > 2”(p > 0).(4)点PCr0.打)在抛物线=2pv(p >0)的内部u>/< 2p,v(p > 0).点P(i八y”)在抛物线/ =-2阿(0)的外部0丁 > -2/;>(/&g

37、t;>0).58. 5.抛物线的切线方程抛物线/ =2内上,点Pa。.%)处的切纹方程是心=/>(1 + /).(2)过拗物线y2 = 2px外一点尸(,均)所引两条切线的切点弦方程是yoy= p(.v+.r).(3)地物线y2 = 2px( p> 0)。口线Ax +外+ C = 0相切的条件他=2AC.58. 6.留锥曲线的两类对称问题(1)曲线/。,了) = 0关于点成中心对称的曲线是尸(20大2%-3)=0.<2)曲线尸".)=0关于复线Ax + 8,v + C = 0成轴对称的曲线是24(A» + fiv + C)2fi(A.r + flv

38、+ C),人F(x；), v;X) = 0.4、&A2B-58.7.“四线” 一方程对于 般的 次曲线A/ + 8£v +(y+ 6 +切+ =0,川*Ht.d,川心代产用旦亨左 代封，用空代X，川汽？代)，即得方程岑必+ Cv“ +。号1+E "21+尸=0m线的切线，切点弦，中点弦，弦 中点方程均是此方程得到.59 次函数>, = av2 + + c =+ -)2 +色七匕(u/(J)的图象是抛物线：2a 4a(1)顶点坐标为(-二,把一七)；(2)焦点的坐标为(_*.把二生上1)；2a 4a2a 4a(3)准线方程是、，二%二Q二！.4a60直线与圆惟曲

39、线相交的弦长公式|A8| = /«tJ+(wJ或AB = yj( + k2)(.r2 + )2 -4.t2 -xl =1 x - & IV1 +(anz =1 yi - v I Jl +r广 ap(弦端点人(再.筋),"(匚，v.),由方程, kx卜消去y得到al +b.v + c =0F(x.y) = 0 >0, a为直线A月的倾斜角.4为直线的斜率.I.D , J(M +马)'-4k占61证明直线与平面的平行的思考途径：(1)转化为直线与平面无公共点：(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.61.1. 证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为

40、判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行：(3)转化为线面平行：(4)转化为线面垂直：<5)转化为面面平行61.2. 证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行(3)转化为线面垂直.62证明直线与平面垂直的思考途径：(1)转化为该直线与平面内任一直畿垂直，(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行：(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。62.1.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直：(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.63证

41、明平面与平面的垂直的思考途径：(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。646566向量的直角坐标运算设万=b = (4也也)则：(1) a + b =(q+4,%(2) d h =(3)人,=(痴|"生乂/)(X eR)s(4) a 9 b = afy + a2b2 + a也 i夹角公式：设a =b =(4仇也)，则cos<4" >=,二力;、.Qa； +a1 J, +h；异面直线间的距离：吗史& /是两异面直线，其公垂向量为九 c。是上任一点，4为间的 In I距离).67点8到平面夕的距离;丝如(G为平

42、面a的法向量，Awa,八。是a的一条斜线段). Ini68球的半径是R,则其体积y = g,其表面积S = 4“藉.69球的组合体：(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的极长.正方体的楂切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体：校长为。的正四面体的内切球的半径为理a148.柱体、椎体的体积匕怫=；防(S是柱体的底面积、4是柱体的高).= iSh ( S是锥体的底面积、是锥体的高)(正四面体高半。的J) ,外接球的半行为半(正四面体高坐的 344347

43、0分类计数原理(加法原理)；N =+分步计数原理(乘法原理)：N 叫xX”.71排列致公式：+-"工(，段£N',且加£).规定0!=1.72组合数公式， = £=四二上空山=_生_(“£M,，wN,且加。). 4*vm * ./m . mV组合数的两个性质：(1) C： = C；m ;(2) C； + C：-1 = C1 .规定C： = 1 .72.1.等可能性事件的概率74互斥事件A, B分别发生的概率的和：P(A+B)=P(A)+P(B).个互斥事件分别发生的概率的和，P(Ai+A2+A/=P%) + P(A2)+P(An).75独立事件A, B同时发生的概率：P(AB)= P(A) -P(B).n个独立事件同