高中数学-学生-对数函数反函数

1、初中/高中数学 备课组教师班级学生日期上课时间学生情况：主课题：反函数教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念2 .会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幕函数和指数函数的反函数）3 .掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线 y=x对称）教学重点：1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、 值域的关系2. 掌握求原函数反函数的一般方法3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y 对应）4. 掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线 y=x对称）教学难点：1.掌握求原函数反函数的一般方法2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y 对应）3. 掌握原函数与其反函数图像的关系（

2、关于直线 y=x对称）考点及考试要求：1 .理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数 定义域、值域的关系2. 掌握求原函数反函数的一般方法3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y 对应）4. 掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线 y=x对称）一、新课讲解1.反函数的概念问题1:(1)走进一家2元商店，买x件商品需要多少钱？ (2)量力而行，现有 20元钱，能买几件商品？ (3)若有y元(2的倍数)能买几件？问题2：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量。反过来，也可以由位移s和速度v (常量)确定物体作匀速直线运动的时间，即t -,V则

3、t是s的函数问题3：在函数y 2x 6( x R )中，x是自变量，y是x的函数。从中解出x,得x -y 3(y R).这样，对于y在R中任何一个值，通过式子 x - 3, x在R中都有唯一的2值和它对应。所以，x为y的函数，一般地，对于函数 y f(x),设它的定义域为 D,值域为A,如果对于A中任意一个值V, 在D中总有唯一确定 的x值与它对应，使y f (x)，这样得到的x关于y的函数叫做y f (x) 的反函数，记作x f 1(y).在习惯上，自变量常用 x表示，而因变量用 y表示，所以把它 改写为 y f 1(x) ( x A )从反函数的概念可知：如果函数y f(x)有反函数y f

4、 1(x),那么函数y f 1(x)的反函数就是y f (x),这就是说函数y f (x)与y f 1(x)互为反函数.函数y f(x)的定义域是它的反函数 y f 1(x)的值域；函数y f(x)的值域是它的反函数_ 1y f (x)的定义域函数y f (x)反函数y f 1(x)定义域DA值域AD2.反函数的求法求反函数y f 1(x)的三个步骤：(1) 倒解方程(由y f(x)解出x)(2) 交换字母x, y (在上述表达式中将 x, y互换)(3) 注明定义域(反函数的定义域是原函数的值域)知识点一：求原函数的反函数例1求下列函数的反函数(1) y 3x 1(x R)(2) y x2

5、i(x 0)2x 3(3) y Jx 1(x 0)(4) y (x R, x 1)x 1例 2 若 f(Jx 1) x 2，x(x 0),求反函数 y f 1(x)例3求函数f(x)x2 2x(x3x 1(xs的反函数0)知识点二：反函数存在的条件从反函数的定义可知，函数 y f(x)存在反函数，则在定义域上x与y 一对应例4已知函数f(x) x2 2x 5的定义域为 D(1) 若D=-3 , 2,问f(x)是否存在反函数？为什么？(2) 若D=a,)，且f(x)存在反函数，求 a的取值范围3.原函数图像与反函数图像的关系求函数y x3的反函数，在同一坐标系中画出 y x3和其反函数图像，你能

6、发现什么现象?般地，函数y f(x)的图像和它的反函数 y1f1(x)的图像关于直线y=x对称也就是说，对于在 y f(x)图像上的任意一点(a,b),则(b,a)在其反函数图像上画出函数y x2关于直线y=x的对称图像，y x2有反函数吗?对自变量加上什么条件才能有反函数？知识点三：反函数性质的应用1一 11例 5 已知 f(x)2(x1),求 f1(-)1 x23例6 (1)已知y 3x 2 5的图像过定点 ，其反函数的图像过定点 (2)已知y f(x)的图像过点(3,-1),1则y f(x 2)的图像过点 ； y f (x)的图像过点 ；1y f(x 2)的反函数图像过点； y f (x

7、 2)的图像过点【能力提高】1 .定义在 R上的函数 f(x)的最小正周期为 T,若函数 y f(x),x (0,T)时有反函数1 ,y f (x),x D ,则函数y f (x),x (T,2T)的反函数为1 ,A y f (x), x DC y f 1(x T),x DB y f 1(x) T,x D1D y f 1(x T),x Dx x e e _ 2 .函数y 的反函数是()2A奇函数，在(0,)上是减函数B偶函数，在(0,)上是减函数C奇函数，在(0,)上是增函数D偶函数，在(0,)上是增函数3 .已知 f (x) 1 Jax2 25( 5 x0),点P (-2,-4)在它的反函数

8、的图像上(1)求这个反函数f 1(x)的表达式(2)判定这个反函数在其定义域内的单调性1 2x14 .已知函数f(x) ，函数y=g(x)的图像与y f (x 1)的图像关于直线 y=x对称,1 x求g(x)的表达式有一位同学给出如下解法：因为y=g(x)与y f 1(x 1)的图像关于直线y=x对称，所以y=g(x)是y f 1(x 1)的反函3 2x数.而 y f (x 1)的反函数是 y=f (x-1) , g(x) f (x 1) 这个解答正确吗？请说明理由5.若函数yJxm与其反函数的图像有公共点,求 m的取值范围1 16 . f(x) x2 x 2(1)证明：函数f(x)有反函数，

9、并求出反函数(2)反函数的图像是否经过点(0,1) ?反函数的图像与 y=x有无交点?(3)设反函数y f 1(x),求不等式f 1(x)0的解集x 1 97 .已知函数f(x)()2(x1)x 1(1)求y f1(x)的表达式(2)设g(x) f 1；)& 2 ,求g(x)的最小值及相应的 x值x 1 98.已知 f(x)()2(x 1), x 1(1) 求f(x)的反函数及其定义域(2) 判断f 1(x)的单调性(3) 若不等式(1 Jx) f 1(x) a(a Jx)对区间x 1 J恒成立，求实数a的取4 2值范围【自我测试】一、填空题11 .函数f(x)_(x 0)的反函数是

10、x2 .函数yJT_x(x 1)的反函数是3 .函数f(x) x2 4x 5(x3)的反函数是14.若函数f(x)x3的反函数图像过点(m, 27),则m的值为x 215.已知函数f(x)的反函数f 1(x) f(x),则实数a=x a6 .若点(1, 3)同时在函数y JOxb及其反函数的图像上，则当 x=2时，y=7 .已知f(x) 2x b的反函数为y f1(x),若y f 1(x)的图像过点Q (5,2),则b=28 .要使函数y x 2ax 1在1, 2上存在反函数，则 a的取值范围是 9 .若函数y f(x)的图像经过点(0,-1),那么函数f(x+2)的反函数的图像经过点 函数f 1(x 1)的图像必经过点 二、选择10 .函数yx2在下列区间不存在反函数的是()A -1 , 1 B 0,1 C 0,) D (,011 .若函数y f (x)存在反函数，则方程 f(x)=m (m为常数)()A有且只有1个实根 B至少有一个实根C至多有一个实根D没有实数根2x,x 012 .函数y 的反函数是()x2,x 0x _x _2x, x 0，x, x 0,x 02x, x 0,x 0Ay 2B y C y 2D yx, x