高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法

1、排列组合问题的解题策略关键词： 排列组合，解题策略一、相临问题 捆绑法例1. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少 不同排法解：两个元素排在一起的问题可用 捆绑”法解决，先 将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考 虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。评注：一般地：个人站成一排，其中某个人相邻，可用 捆绑”法解决，共有 种排法。:、不相临问题选空插入法例2. 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种.评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用 插 空”法解决，共有 种排法。三、复杂问题一一总体排除

2、法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑 用 排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对 其构成元素的限制。例3.（1996年全国高考题）正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边 形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角 形，有3条，所以满足条件的三角形共有一3= 32个.四、特殊元素一一优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优 先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4. （1995年上海高考题）1名老师和4名获奖 学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有 不同的排法 种.

3、解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在 两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种， 而其余学生的排法有 种，所以共有 =72种不同的 排法.例5. （2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中 有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员 要安排在第一、三、五位置，其余 7名队员选2名安 排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员， 有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四 位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有=252种.五、多元问题分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论， 最后总计。例6. （ 2

4、003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种 数为（A ）A. 42B. 30C. 20D. 12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临:共有A22A61种。故不同插法的种数为： A62 +A22A61=42 ,故选A。例7. （2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用 同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方 法共有多少种（以数字作答）解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都 与三个区域相邻，因此

5、，可以涂三种或四种颜色.用三种颜色着色有=24种方法，用四种颜色着色有 =48 种方法，从而共有24+48=72种方法，应填72.六、混合问题一一先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后 进行排列的策略.例8. （ 2002年北京高考）12名同学分别到三个 不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4人，则 不同的分配方案共有（）A.种B.种C.种D.种解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法，分配到三个不同的路口的不同的分配 方案共有：种，故选Ao例9. （2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、 扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的 三块土地

6、上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（）A. 24 种B. 18 种C. 12种D. 6种解:先选后排，分步实施.由题意，不同的选法有 C32种,不同的排法有：A31 A22,故不同的种植方法共有 A31 C32A22=12,故应选 C.七.相同元素分配一一档板分隔法例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学 生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号 数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解， 并思考这些方法是否适合更一般的情况本题考查组合问题。解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再 对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一 本书，这相当于在7本相同

7、书之间的6个 空档”内插 入两个相同“I'（一般可视为 隔板”）共有 种插法，即 有15种分法。总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组 分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加， 分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考 虑其他元素。(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考 虑其他位置。(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减 去不合要求的排列组合数。排列组合问题的解题方略湖北省安陆市第二高级中学张征洪排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知 识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问

8、题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。 因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作 一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律 ：1）使用 分类计数原理”还是 分步计数原理”要根据我 们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这 件事时用分类计数原理”，需要分步来完成这件事时 就用 分步计数原理"；那么，怎样确定是分类，还是 分步骤分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给 的事件，而分步”必须把各步骤均完成才能完成所给 事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几 类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并 集为全集，不论哪

9、类办法都能将事情单独完成，分步 计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步 骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用 什么方法不影响后面的步骤采用的方法。2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序 有关。3）复杂的排列问题常常通过试验、画 树图”、框 图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结 果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求 解来获得检验。4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行 分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意至少、至多”等限制词的意义。5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组 合），后排列，按元素的性质进行 分类”和按事件

10、的 过程分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理 和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步 的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分 步层次清楚，不重不漏。6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组 合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与 组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和 遗漏计数。总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加， 分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组 合；正难则反，间接排除等。其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用 基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究 一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎 刃而解

11、。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一.特殊元素（位置）的 优先安排法”：对于特殊元 素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考 虑其他。例1、用0, 2, 3, 4, 5,五个数字，组成没有重复 数字的三位数，其中偶数共有（）。A. 24个 个 个 个分析由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又 因为0不能排首位，故0就是其中的 特殊”元素，应 该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1） 0排末尾时，有A42个，2） 0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数 A42 + C21 A31A31=30 个，选 Bo二.总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以

12、从总体 中把不合要求的除去。如例 1中，也可用此法解答：五 个数字组成三位数的全排列有 A53个，排好后发现0 不能排首位，而且数字3, 5也不能排末位，这两种排 法要排除，故有 A53-3A42+ C21A31=30个偶数。三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问 题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程 分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。四.相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素捆绑”起来，看作一 人”元素与其余元素排列，然后再考虑大 元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法.例2、有8本不同的书；其中数学书 3本，外语书

13、2 本，其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架 上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排 法共有（）种.（结果用数值表示）解：把3本数学书 捆绑”在一起看成一本大书，2本 外语书也 捆绑”在一起看成一本大书，与其它 3本书 一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书 有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步 计数原理共有排法 A55 A33 A22=1440肿）.注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.五.不相邻问题用 插空法”：不相邻问题是指要求某 些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开.解决此类 问题可以先将其它元素排好，再将所

14、指定的不相邻的 元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法.例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字 的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻， 而7与8不相邻。这样的八位数共有（）个.（用数字 作答）解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4 这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素 的内部中间只能排2,两边排1和4,因此大元素内部 共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素， 其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先 将这三个元素排好，共有 A33种排法，再从前面排好 的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字 7和8

15、插入即可，共有 A42 种插法，所以符合条件的八位数共有 A22 A22 A33 A42=288（种）.注：运用 插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入 的位置是否包含两端位置.六.顺序固定用 除法”：对于某几个元素按一定的顺 序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行 全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列 数。例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按 甲-乙一丙”顺 序排的排队方法有多少种分析：不考虑附加条件，排队方法有 A66种，而其中 甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 A66 +A33 =12肿。（或A63种）例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现

16、在将他们 排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少 种排法。解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74种排法， 余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有 A74种 排法。（也可以是A77 +A33中）七.分排问题用 直排法”：把几个元素排成若干排的 问题，可采用统一排成一排的排法来处理。例6、7个人坐两排座位，第一排 3个人，第二排坐4 个人，则不同的坐法有多少种分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。八.逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难 时，用试验逐步寻找规律。例7.将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3,

17、4的方 格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同 的填法种数有（）A. 6.9C解：第一方格内可填2或3或4,如第一填2,则第二 方格可填1或3或4,若第二方格内填1,则后两方格 只有一种方法；若第二方格填3或4,后两方格也只有 一种填法。一共有9种填法，故选B九、构造模型隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造 一个隔板模型来解决问题。例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把 球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的

18、正整数 解的组数共有C113 .又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数，可用此法解。十.正难则反一一排除法对于含 至多”或 至少”的排列组合问题，若直接解答多 需进行复杂讨论，可以考虑总体去杂”，即将总体中 不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条 件的排列组合数的方法.例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台, 其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法 共有（）种.A. 140 种B. 80 种 C. 70 种D. 35 种解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取 方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有 C93-C43-C53=70（故选 C.注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习十一.逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律 的问题需要认真分析，探索出其规律例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个 数，使它们的和大于100,则不同的取法种数有多少种。解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100,1为被加数时有1种，2为被加数有2种，49为被 加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被 加数有49种,52为被加数有48种,，99为被捕加 数的只有1种，故不同的取法有(1+2+3+ +50