高中数学数列初步试题精选及答案

1、高中数学数列初步试题精选以及详细答案【例1】求出下列各数列的一个通项公式1“51632964，2 3,18631111(3)二，二， 二，77， 3815241925(4)一，2, 一，8,222解(1)所给出数列前5项的分子组成奇数列,其通项公式为2n 1,而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2X2,所以，已知数列的一 ，2n 1通项公式为：an =L(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n,而分母组成的数列 3, 15, 35, 63,可以变形为 1X3, 3X5, 5X7, 7 X9,即每一项可以看成序号 n的(2n1)与2n+1的积，也即(2n1)(2n

2、 + 1), 因此，所给数列的通项公式为：2nann (2n 1)( 2n 1)(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1,而分母所组成的数列3, 8, 15, 24, 35,可变形为 1X3, 2X4, 3X5, 4X6, 5X7,，即每一 项可以看成序号n与n + 2的积，也即n(n+2).各项的符号，奇数项为负，偶 数项为正.因此，所给数列的通项公式为：(1)1n(n 2)1491625(4)所给数列可改与为 2, 2, 2, , -2 ,分子组成的数列为1, 4, 9, 16, 25,是序号n的平方即n2,分母均为2.因此所给数列的通项公式为 a【例2】求出下列各数列的一个通项公

3、式.(1)2, 0, 2, 0, 2,111(2)1, 0,0,0,0,357(3)7, 77, 777, 7777, 77777,(4)0.2,0.22, 0.222,0.2222,0.22222,解(1)所给数列可改写为1 + 1, 1 + 1, 1 + 1, -1 + 1,可以看作数列1, 1,1, 1,的各项都加1,因此所给数的通项公式an=(-1)n+1 + 1.所给数列亦可看作2, 0, 2, 0周期性变化，因此所给数列的寸丁 2 (n为奇数)、口 忆入寸丁 ,»通项公式an =/这一题说明了数列的通项公式不唯一.n 0 (n为偶数)，111.,101(2)所给数列1,

4、0, 1,0, 1,0, 1,可以改写成1一，一0, 1, 0,'分母组成的数列为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,是自然4567(1)n 1 1，s2,因此所给数列的通数列n,分子组成的数列为1, 0, 1, 0, 1, 0,可以看作是 2,10, 2, 0, 2, 0,的每一项的2构成为项公式为an(1)n1 12n(3)所给数列7, 77, 777, 7777, 77777,可以改写成 ：X9,77-X 99, X999,997X 9999, 97 X 99999，可以看作97 9X(10-1),7 9X(100-1),79 义(10001),79

5、 X (10000-1),7-义(100000- 1),因此所给数列的通项公式为an = 7(10n-1).9(4)所给数列 0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,可以改写,、22222成一X0.9, - X0.99,X0.999,X0.9999,X0.99999,可以看99999“ 22222作X(1 0.1),-x (1-0.01),-x (1-0.001),- x (1-0.0001),一x99999 21(10.00001)因此所给数列的通式公式为an =2(1 n).910说明1 .用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规 律.对于项的结构比较

6、复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它 们按运算规律结合起来.2 .对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n;自然数的平方数列，an=n2；奇数数列，an=2n1;偶数数列，an=2n； 1倒数数列，an=)要很熟悉，由联想将较复杂的数列通过合理的转化归 n纳出数列的通项公式.3 .要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形 方法，将其转化为常见的一些数列.【例3】 已知数列22, 55, 2姓, 画 则2。5是这个数列的第 几项.解 由所给数列的前4项42, 55, 2V2,斤可归纳得通项公式为an =3n 1 .此时运用方程的思想问题转化为2 5 3

7、n 1解关于正整数n 的方程，解得n=7,即245是该数列的第7项.【例4】已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式.(1)Sn=2n2 3n (2)Sn=n2+1Sn=2n+3(4)Sn=(-1)n+1 n解(1)当 n=1 时，a1=s1 = 1;当 n>2 时，an=Sn Sn-1=(2n2 3n)2(n1)23(n1)=4n5,由于a1也适合此等式，因此 an=4n - 5.(2)当 n= 1 时，a1 = S1=1 + 1 = 2;当 n> 2 时，2口 = Sn Sn-1=n2 + 1 (n 1)2 + 1 = 2n 1,由于 a1不适合 于此等式，2

8、n = 1因此，an =n 2n 1n> 2 且 nC N*.当 n= 1 时，a1=S1=2+3=5;当 n>2 时，an=snSn-1=2n + 3(2n-1 + 3)=2n-1,由于 a1 不适合于此等式，5 n = 1因此，an = n 1口厂n 2 n>2且 nCN*.(4)当 n=1 时，a1 = S1=( 1)2 1=1 ;当n>2时，an= Sn-Sn-1=(-1)n+1 n- (-1)n (n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a1也适可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1), nC N* .说明 已知Sn求an时，要先分n = 1和n&g

9、t;2两种情况分别进行计算，然 后验证能否统1【例5】已知 an=an1+ (n>2), a1=1,n(n 1)写出数列的前5项；(2)求 an ,1-斛由已知为=11+ (nF' a"1行_31)29 161a 912 2 (23 1a3二2 3 - 25152173433121247736945 -4420205(2)由第(1)小题中前5项不难求出.2n 1 1an(或 an 2)nn【例6】数列an中，a = 1,对所有的n>2,都有a1 a2 a§an求a3+a5；256 一 巴是此数列中的项吗?225解 由已知：a1 a2 a§ 2口

10、= n2得(n>2, nC N*)ai ' a2 , a3 anan 二一-Z-ai a? a3an i2nan r , n> 2.(n 1)由于ai = 1不适合于此等式.因此1n = 1(n 1)2 '22,3561(1)a 3+ a5 =-T25224216令2562252 ，(n 1)解方程可得n = 16256 一 一n=16GN*,是此数列的第16项.225说明 (1) “知和求差”“知积求商”是数列中常用的基本方法.(2)运用方程思想求n,若nC N*,则n是此数列中的项，反之，则不是此 数列中的项.【例7】 已知数an=(a21)(n32n)(a= w ± 1)是递增数列，试确定 a的 取值范围.解法一 :数列an是递增数列，an+1 >anan+1 an= (a2- 1)(n +1)3 2(n+ 1) (a2 1)(n3 2n)= (a2 1)(n + 1)32(n+ 1) n3+2n= (a2-1)(3n2+3n-1),.(a2-1)(3n2+3n-1)>0又 nC N*3n2+3n-1=3n(