线性空间的坐标表示(temp)

1、2021/4/21第第11讲讲 极大无关组与线性空间的基极大无关组与线性空间的基2 线性空间的基与维数线性空间的基与维数1 极大无关组与秩极大无关组与秩3 线性空间的元素坐标线性空间的元素坐标2021/4/22定义定义11.11 极大无关组与秩极大无关组与秩组组称称为为该该元元素素组组的的非非零零元元素素组组的的一一个个部部分分.极极大大无无关关组组就就是是其其本本身身显显然然线线性性无无关关元元素素组组的的且且从从原原元元素素组组如如果果此此部部分分组组线线性性无无关关极极大大无无关关组组 ,得部分得部分中任取一个添进去后所中任取一个添进去后所如果还有如果还有的剩余元素的剩余元素)(.组组总

2、总线线性性相相关关.,线线性性无无关关部部分分组组m ,:)(,:)(11 IIIrii是元素组是元素组假定元素组假定元素组定理定理11.1.)(线线性性表表出出被被元元素素组组 I由定理由定理10.2及定义及定义11.1容易证明容易证明)()(III 是元素组是元素组那么元素组那么元素组中每个元素都能中每个元素都能是元素组是元素组极大无关组的充要条件极大无关组的充要条件)(II注记注记 定理表明定理表明元素组与其极大无关组等价元素组与其极大无关组等价.同一元素组的任意两个极大无关组必等价同一元素组的任意两个极大无关组必等价.2021/4/2311.1例例取取元元素素组组中中在在,xK32,1

3、, 12423221 xxx 21, 则则部部分分组组线性无关线性无关 且且213 12432 .,432121的的极极大大无无关关组组是是元元素素组组因因此此 等等也也是是元元素素组组同同样样可可验验证证元元素素组组3231, .极大无关组极大无关组无关部分组都可无关部分组都可非零元素组的任一线性非零元素组的任一线性定理定理11.2.无无关关组组扩扩充充为为该该元元素素组组的的极极大大证明证明.,1t 设设线线性性无无关关部部分分组组为为重排该非零元重排该非零元素组元素次序后素组元素次序后 记其为记其为,1st . st 其中其中knkn可依次如下定义可依次如下定义对对令令1, 11 ,:m

4、in111线线性性无无关关且且innkkknisin 2021/4/24.,:1 线性无关线性无关且且innrrnisi 使得使得直至某个直至某个r,1有限有限以及以及注意到注意到snnkk . srr 必必然然存存在在且且且且因因此此, tr 线线性性无无关关性性可可知知定定义义表表达达式式以以及及由由tkn ,1., 2, 121tnnnt 定义表达式可知定义表达式可知再由再由rnrnnn ,21线性无关线性无关后后剩剩下下的的元元素素中中任任除除去去此此时时在在rnns ,11,k 取一个取一个使使得得则则存存在在rit 1 iinkn)(1snr规定为规定为其中其中 的的定定义义由由1

5、 in)1(式可知式可知或或)1(.,121扩扩充充所所得得确确由由tnnnr 进进而而knnr ,1.线性相关线性相关,1线线性性相相关关knni 为极大为极大即即rnn ,1.无关组无关组2021/4/25大大无无关关组组中中元元素素称称非非零零元元素素组组的的任任一一极极. 0零零元元素素组组的的秩秩规规定定为为注记注记定定有有极极大大无无表表明明任任意意非非零零元元素素组组一一定定理理11.2,关组关组.组组极极大大无无关关组组且且可可按按证证明明方方法法找找到到一一定义定义11.2.个个数数为为该该元元素素组组的的秩秩定理定理11.3线性无关且能由元素组线性无关且能由元素组设元素组设

6、元素组s ,1sjtikijt, 1, 1,1 即即存存在在线线性性表表示示 .2211ttjjjjkkk .)(,)(tsArkAstij 那那么么记记)2(证明证明得得由由)2( tisjijijsjtiiijjsjjjxkkxx11111)( 因因此此若若方方程程组组, 2 , 1, 01tixkjsjij 有有即即0 Ax那那么么非非零零解解),(1sxx 2021/4/26.,1线性无关矛盾线性无关矛盾这与这与s 0 xArs.只有零解只有零解所以所以.)(sArr 性性可可知知任任意意元元素素及及极极大大无无关关组组间间的的等等价价由由定定理理10.5).,(,11mmr 记做记做

7、的秩唯一的秩唯一组组线线性性能能由由元元素素组组设设元元素素组组mn ,11推论推论1 1则则表示表示,).,(),(11mnrr . 秩秩等等价价的的元元素素组组有有相相同同的的推论推论2推论推论4线线性性能能由由元元素素组组设设元元素素组组mn ,11,nm 且且表示表示.,1线性相关线性相关那么那么n 推论推论5且且其其中中一一个个元元素素组组能能若若两两个个元元素素组组的的秩秩相相同同.,则则此此两两元元素素组组等等价价示示被被另另一一个个元元素素组组线线性性表表.2211 ssxxx因此因此推论推论3.),(,11nrnn 线线性性相相关关元元素素组组2021/4/272 线性空间的

8、基与维数线性空间的基与维数nVKV中存在中存在如果如果上的线性空间上的线性空间是数域是数域设设,定义定义11.3中任一元素都可由中任一元素都可由且且个线性无关元素个线性无关元素Vn,21 ,维维线线性性空空间间为为那那么么称称个个元元素素线线性性表表示示这这nVn称称n.的维数的维数为为V.,1的的一一组组基基称称为为空空间间Vn 如果对任如果对任,N意正整数意正整数个线性无关个线性无关中都能找到中都能找到NVV则则称称.为无穷维线性空间为无穷维线性空间,元素元素.0,维线性空间维线性空间为为则称则称中无线性无关元素中无线性无关元素如果如果VV.)2(间间为为有有限限维维线线性性空空间间统统称

9、称维维数数有有限限的的线线性性空空的的基基必必线线性性无无关关且且相相有有限限维维空空间间可可知知由由定定义义V,11.1.相互等价相互等价11.3,因此由定理因此由定理的任一组基中所含元素的任一组基中所含元素V,个个数数相相同同.dim,VV记记其其为为的的维维数数唯唯一一从从而而注记注记.0)1( VV没没有有基基且且维维线线性性空空间间2021/4/2811.2例例.维维线线性性空空间间为为维维向向量量空空间间上上的的数数域域nKnKn11.3例例元素组元素组由例由例,10.7,000111 I,001012 I,010021 I 100022I中中任任意意元元素素都都可可且且的的一一个

10、个线线性性无无关关组组为为2222, KK,4个个元元素素线线性性表表示示由由这这且且元元素素因因此此, 4dim22 K.,2222211211一一组组基基为为组组 KIIII元元素素组组维维线线性性空空间间为为可可验验证证一一般般地地,mnKnm ,ijInjmi, 2 , 1, 2 , 1 其其它它位位置置元元素素为为表表示示其其中中1),(jiIij,的一组基的一组基为为nmK .0矩矩阵阵的的元元素素为为nm 11.4例例为为元元素素组组由由例例1, 110.8 nxx 的线性无的线性无xKn关组关组总总可可表表示示成成中中任任意意多多项项式式而而且且)(xfxKn2021/4/29

11、., 1dim1一组基一组基为为且且因此因此xKxxnxKnnn 11.5例例中能中能在线性空间在线性空间对任意给定的正整数对任意给定的正整数,xKN., 1:12 NxxxN个个线线性性无无关关元元素素找找到到是是因此因此xK.无穷维线性空间无穷维线性空间11.6例例,为为无无穷穷维维线线性性空空间间baC.,baCxR 因因为为线线性性空空间间较较以以前前向向量量存存在在无无穷穷维维线线性性空空间间是是)1(.量量空空间间复复杂杂的的一一个个体体现现注记注记研究研究由于对无穷维线性空间由于对无穷维线性空间,涉涉及及更更深深的的分分析析知知识识.情情形形本本课课程程主主要要研研究究有有限限维

12、维.)(1110 nnxaxaaxf.)2(关关线线性性空空间间维维数数与与数数域域有有看作实数看作实数如复数集如复数集C下下的的线线性性但但看看作作复复数数维维空空间间下下的的线线性性空空间间是是CR,2,按此前约定按此前约定.,下下进进行行讨讨论论在在数数域域无无特特别别说说明明K.1维维空空间间空空间间是是2021/4/210.上线性空间上线性空间为为容易验证容易验证KS定义定义11.4 KkkkkkkxSmmm , 212211 ,21中的一组元素中的一组元素为线性空间为线性空间设设Vm 张成的线张成的线称其为称其为m ,1,性性空空间间.,1mL 记记做做示示性质性质11.1.1个元

13、素必线性相关个元素必线性相关维线性空间中任意维线性空间中任意 nn证明证明为为任任取取的的为为空空间间一一组组基基设设111, nn 个元素个元素1 n线线性性表表能能被被则则元元素素组组nn ,111 可知可知的推论的推论由定理由定理311.3.),(11nrn 因此元因此元.,11线线性性相相关关素素组组 n .行完成行完成证明留作练习请大家自证明留作练习请大家自性质性质11.2.,11tmLL ).,(,(1)dim11mmrL 则则线线性性表表示示能能被被若若,)2(11tm 2021/4/211证明证明nnV ,11因因此此的的一一组组基基为为空空间间已已知知.,1线线性性相相关关元

14、元素素但但对对任任意意 nV .,10.21线线性性表表示示唯唯一一可可由由知知由由定定理理n 由此可得由此可得,|111KkkkkVnnn 即即存存在在唯唯Kkkkn ,21使得使得.2211nnkkk 一一组数一一组数.,运运算算封封闭闭性性可可得得反反向向包包含含由由加加法法与与数数乘乘显显然然,|111KkkkkVnnm 所以所以.,1nL 存存在在唯唯一一线线性性表表示示对对任任意意V 那那么么的的一一组组基基为为线线性性空空间间若若,21Vn 命题命题11.1 V进进而而,2211nnkkk Kkkkn ,21.,1nL ,线性无关线性无关2021/4/212空空个线性无关元素都是

15、该个线性无关元素都是该维线性空间中任意维线性空间中任意nn推论推论.间的一组基间的一组基.,1线线性性无无关关使使得得n .,1n 都都能能扩扩充充为为空空间间一一组组基基mVn ,1的的任任一一线线性性无无关关组组维维线线性性空空间间定理定理11.4证明证明nm ,1 可可得得,1mLVnm 若若时时当当,V 任取任取线线由由性性质质 ,11.11n.,10.21线线性性表表示示总总能能被被由由定定理理n 此时此时.,1的的一一组组基基就就是是Vn 时时当当nm 于是存在于是存在.,1线线性性表表示示m 不能被不能被此时此时1 m .,11必线性无关必线性无关 mm ,如此继续如此继续那么那

16、么时的论证可知此即为时的论证可知此即为由由nm ,dimnmV .,11mmLV 10.2由由定定理理,1线性无关线性无关但但m .性相关性相关!矛矛盾盾.的的一一组组基基空空间间V2021/4/213都都可可唯唯一一地地表表示示为为对对任任意意V ,2211mmkkk 在在基基为为元元素素称称数数组组 mkkk,21下的下的m ,21对对的一组基的一组基为线性空间为线性空间设设,21Vm 定义定义11.53 线性空间元素的坐标线性空间元素的坐标Kkkkm ,21.),(,21Tmkkk记记做做坐坐标标11.6例例的的一一为为线线性性空空间间, 11xKxxnn ,组基组基中多项式中多项式在该

17、组基下在该组基下,xKn112210)( nnxaxaxaaxf的坐标为的坐标为.),(110Tnaaa , 3 .11由由例例特别特别中多项式中多项式4xK32234)(xxxxf .)1 , 2 , 3 , 4(, 132Txxx下下的的坐坐标标为为在在基基2021/4/214,00011 G,00112 G,01113 G 11114G,22的一组基的一组基也是也是 K在该组基下仍有在该组基下仍有44332211GkGkGkGkA 即即44321 kkkk3432 kkk243 kk14 k. 14321 kkkk解得解得下下的的坐坐标标为为在在基基即即4321,GGGGA.)1 , 1

18、 , 1 , 1(T11.7例例矩矩阵阵中中在在,22 K 1234A在基在基22211211,IIII下的坐标为下的坐标为.)1 , 2 , 3 , 4(T同时容易验证同时容易验证2021/4/215可表示可表示若元素若元素 mmkkk 2211我我们们可可以以形形式式地地记记成成),(21m mkkk21,这这种种记记法法只只是是形形式式的的因因为为对对线线性性空空间间的的元元,1一一般般而而言言素素组组m 未必是未必是符号符号),(21m 并并借借用用矩矩阵阵行行矩矩阵阵分分块块但但记记法法上上把把它它看看作作,)(注记注记那么那么对多个元素对多个元素类似类似,mmkkk 12211111 mmkkk 22221122 mmnnnnkkk 2211,矩阵矩阵.乘法表示乘法表示最后为了便于表示元素的线性组合与元素组之间最后为了便于表示元素的线性组合与元素组之间的线性表示的线性表示, ,我们引入一种形式记法我们引入一种形式记法. .2021/4/216我我们们可可以以形形式式地地记记成成 mnmmnnkkkkkkkkk212222111211.,下面的运算规律成立下面的运算规律成立对此形式记法对此形式记法nmijmk