数理经济学茹少峰课后题及答案

1、1 .求下列函数的极值。.22 -一2X(1) y x xy y 3ax 3by(2) y 1 2x二ln x(3) y x 116(4) y x 1x解：(1)根据二元函数极值的必要条件，可得fx 2x y 3a 0, fy x 2y 3b 0解得，(x,y) (2a b,2b a)为可能的极值点。根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为H| 3 0,因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点， 极值为 3a2 5ab 3b2。(2)根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。(3)根据一元函数极值的必要条件

2、，可得求得极值点为x 10由充分条件知y 6x 6。当x 1时y 0 ,所以该函数极值不存在。(4)根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为x e由充分条件知y2x ln x 3x当x e时，y4 0 ,因此该函数存在极大值为 1。ee2.讨论函数fx,y xy x2y2 1的极值。解：根据二元函数极值的必要条件，可得1 1111 111、(x, y) (0,0),(x,y) (x),(x,y)仁，), (x, y) ( T ,T),(x, y) ( 二，)为可目匕2 22 22 222的极值点。根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的 Hessian矩阵为(x,y) (0,0)

3、时，H1 0,因此函数在该点无极值;1 1 一(x,y) (n)时，H2 2极小值为 1;8117(x,y) (二, 二)时，H22格极小彳i为 1 ；83 12 2 2 0,海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格 132 212 2 0,海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严3231(x，y) (2，2)时，H1223 2 0, ( 1) A| 0,( 1)2A222矩阵，因此函数在该点有严格极大值为1；80,则海赛矩阵为负定3111,O O _2(x,y)(1二)时，|H|12232 0, ( 1)A1 0,( 1)2|A22 213221矩阵，因此函数在该点有严格极大值为180,则海赛

4、矩阵为负定3.试说明对于任意的0,生产函数f(x) AK L是凹函数证明：f K A K 1 L , fKL A K 1 L 1 -2-2fKK A (1)K L , fLLA (1)K L所以函数的Hessian矩阵为因为 01,01,所以 |H(K,L) 0;且(1)A 0,( 1)2|A20,Hessian 是负定的，因此生产函数是严格凹函数。4. 考虑生产函数y 1*。如果01,01,1,试说明该生产函数对于L和K的任意取值都是严格凹函数。如果1 ,该函数是什么形状?证明：(1)同上，可求得函数的 Hessian矩阵为Hessian 是负定的，该函数对于 K、L任意取值都是严格凹函数5

5、. 某完全竞争厂商由单一可变投入 L (劳动)，每期工资率为 Woo若该厂商每期的固定成本为F ,产品的价格为P。，要求:(1)写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数;(2)何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；(3)什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解：(1)生产函数为：Q f(L)收益函数为：R P Q P f(L)成本函数为：C L W。F禾1J润函数为：R C Pf(L) (LW0 F)利润最大化的一阶条件为：一 PdflL) W0 0,即史坦 W0 0该条件L LL P的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。因

6、为p 0,所以出(L)2d2L(3)要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件:,也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能0实现利润最大化6. 某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q：C 1Q3-7Q2 111Q 50, 3Q 100 P.请回答下列问题:(1)确定总收益函数R与总利润函数。(2)确定利润最大化的产出水平及最大利润。解：(1) R PQ Q(100 Q)(2) 利润最大化的一阶必要条件为：解得，Q 1,Q11。利润最大化的二阶充分条件为： 2Q 12,2Q当Q 1时， 0,函数取得极小值为-55.33 ; 2q当Q 11时，0,函数取得极大值为111.3

7、3; 2q所以，在产出水平为11时，利润最大为111.33。7. 设有二次利润函数Q hQ2 jQ k,试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：(1) 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；(2) 证明利润函数为严格凹函数；(3) 求在正的产出水平Q下的最大化利润。解：(1)由题可知，当Q 0时， k o由于固定成本存在的关系，禾1J润为负，因此系数必须满足的条件为k 0o(2)因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为 一 2hQ j 0, Q求得Q j；二阶充分条件为2ho2h2Q函数为严格凹函数满足的充要条件：f(x) 0,即丁 0,2Q因此，h 0o(3)在正的产出水平下

8、，Q j 0,因此j 0。2h8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为R和P2 ,产品的需求函数Q及成本函数C为：Qi 40-2R-P2, Q235-P1-P2, C Q12 Q； 10,求利润最大化的价格水平。解：禾I润函数P1Q1P2Q2C7Pl23P228Plp2270185P22835利润最大化的一阶必要条件为：14P1 8P2 270 0,8R 6P2 185 0RP2解得，P,7, P221.5,2又 11140, 2260, ii 2212200所以，在利润最大化是价格水平为P1 7,P221.5,9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为P

9、1和P2,单位时间内i产品的产出水平为Qi,厂商成本函数为C 2Q； Q1Q2 2Q；,求：(1)利润最大化的产出水平；(2)若总成本函数为C 2Q； 2Q；,两产品的生产是否存在技术相关性，Q1与Q2的新最优水平是多少？(3)对参变量P1和P2进行比较静态分析。解：(1)P1Q1 P2Q2 (2Q 12 Q1Q2 2Q22)P1 4Q Q2 0 P2 4Q2 Q10Q112 Q2221,可得 Q1*,Q22,3322(2) Q1 P2Q2 (2Q 12 2Q22)P 4Q10 ,P1 4Q20 ,Q1Q1-11可得，Q11 R,Q2-P244而 0 ,即在最优产量下，Qi,Q2不存在技术相关

10、性。QlQ2(3)由(1)问中的最优产量Qi空2013P1死,33Qi4Qi1Q213Q24一, 一, 一P3P23R3P23即，产品1价格上升1单位，产量上升4,价格下降短；33产品1价格上升1单位，产量下降-,价格下降-； 3310. 一个公司有严格凹的生产函数 QK,L。给定P产品价格，r资本的利用 率， 工资。要求：(1)对利润达到最大化的投入要素 K与L进行比较静态分析，并作简要的分析 说明；(2)假定生产函数是规模报酬递减的 Coob-Douglas函数，做同样的比较静态分 析。解：(1) PQ(K,L) rK wL利润最大化时，最优解为 K K(P,r,w), L L(P,r,w

11、)PQ (K ,L ) rK wL为最优值函数。r变化对最大利润的影响为： P r P w Kr K r r L r r利润最大化时有P-Q- r 0, P-Q- w 0 KL则 K ， L rr ww即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。(2) PK L rK wL利润最大化时，最优解为 K K (P,r,w), L L(P,r,w)PQ (K ,L ) rK wL为最优值函数。 K ， L , (K ) (L ) rr ww P11. 考虑参数为a的极大化问题函数f x；ax2 3ax 4a2 a 0：(1)利用包络定理求函数f x;a的最大值关

12、于参数a的导数;(2)分析参数a对目标函数的最大值的影响。解：(1)假设最优解为x x( a),一阶条件为f(x (a),a) 0,即 2x (a) 3a 0所以，参数a与木匾函数的最大值同向变动。12. 考虑参数最优化问题 max f x, aa3x4 23x3 eax2 13 (a为参数)：(1)求目标函数的极大值关于参数 a的导数；(2)分析参数a对目标函数的极大值的影响(假设这个问题的最优解x a 0) o解：(1)假设最优解x x (a)利用包络定理(2) x (a) 0,由(1)中结果，df (x,a) 0 ,所以参数a对目标函数极值 da的影响是同增同减的。13. 给定依赖于投入

13、参数y的短期总成本函数cq, y ay bq察，这里2ya, b, d 0,求长期总成本函数Cl q o解：长期总成本函数 C(q) minCs(q,y) ay bq dq a, b, d 0 2y要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件：与川a粤0,即y 眄y4y2. 4a代入可得 C(q) a.dq bq dq dq- 4a 2 : 4a14. 航空公司在甲乙两地之间有固定的航班。他比预定航班的商务乘客和预定 周六晚上过夜航班的乘客的需求看作两个单独的市场。假设商务乘客的需求函数为Q 16 p ,旅游乘客的需求函数为 Q 10 p ,对于所有乘客的成本函数为CQ 10 Q2。该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润？解：总利润函数 4P2 78P 376由一阶必要条件可得,394二阶充分条件可得,8 0,即该点为极大值。15. 给定一个价格接受的厂商的生产函数Q K,L。假设Qkl 0,即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格P,资本的租金率r和工资%则它的利润函数为 冗K,L PQ K,L冗K coL。假设厂商利