因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

1、因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考题)解： a +4ab+4b = ( a+2b)3、 分组

2、分解法要把多项式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a,把它后两项分成一组，并提出公因式 b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n从而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于 mx +px+q形式的多项式，如果 axb=m,cx d=q且ac+bd=p,贝U多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c)例 4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 2

3、2-21=-19解： 7x -19x-6=( 7x+2) (x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式， 有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+

4、ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时， 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -

5、5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知， f(x)=0 根为 ， -3 ， -2 ， 1则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令 y=f(x) ，做出函数y=f(x) 的图象，找到函数图象与X 轴的交点x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为f(x)=f(

6、x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 9、因式分解x +2x -5x-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与x 轴交点为 -3 ， -1 ， 2则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解： a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=

7、(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将2 或10还原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2,则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3X 5X7注意到多项式中最高项的系数为 1， 而 3、 5、 7分别为 x+1， x+3， x+5，在 x=2 时的值则 x +9x +23x+15= (x+1) (x+3) (x+5)12、待定系数法首先判断出分解因式的形式

8、， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式， 因而只能分解为两个二次因式。解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)多项式因式分解的一般步骤2007-10-28 13:19如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分

9、组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f (a) =0,则f (x)必含有因式(x-a)。如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,贝U可确定(x+2)是 x2+5x+6 的一个因式另外，在多次多项式内，还可以用双十字相乘法，轮换对称法解决。主要注意事项：初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材代数第二册，在初二上学期讲授， 但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。 学习它，既可以复习初一的整式四则运算， 又为本册下一章分式打好基础； 学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提

10、高学生综合分析和解决问题的能力。 其中四个注意， 则必须引起师生的高度重视。因式分解中的四个注意散见于教材第 5 页和第 15 页，可用四句话概括如下：首项有负常提负， 各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解：a2b2+2ab+ 4= ( a2 2ab+b24) =- (a b + 2) (a b 2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号， 使括号内第一项系数是正的。 防止学生出现诸如9x2 4y2=(3x) 2- (2y) 2= ( 3x + 2y) (-3x-2y

11、) = (3x2y) (3x+ 2y)的错误？膊荒落 汉啪拖取疤帷保 匀 饨 蟹治傩？/p>如例2 zabc的三边a、b、c有如下关系式：c2+a2+2ab 2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。明： c2+a2+2ab 2bc=0,(a + c) (a c) +2b (a c)=0,.(ac) (a+2b+ c) =0.又a、b、c是Aabc 的三条边，. a+2b + c>0,ac = 0,即2=5 zabc为等腰三角形。例 3 把 12x2nyn 18xn 2yn 1 6xnyn 1 分解因式。解：12x2nyn +

12、 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn 1 (2xny 3x2y2 + 1)这里的“公”指“公因式”。 如果多项式的各项含有公因式， 那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“ 1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉 1。防止学生出现诸如 6p (x-1) 3 8p2 (x-1) 2+ 2p (1-x) 2=2p (x-1) 23 (x-1) 4p=2p (x-1) 2 (3x-4p-3)的错误。例4在实数范围内把x45x2 6分解因式。解：x4-5x2-6= (x2+1) (x2-6) = (x2+1) (x + 6) (x-6

13、)这里的“底”， 指分解因式， 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”， 不留“尾巴”， 并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如 4x4y2 5x2y2 9y2= y2 (4x4 5x2 9) =y2 (x2 + 1) (4x29)的错误。由此看来， 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中， 与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话： “先看有无公因式，再看能否套公式， 十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。例题： 3ab+5b -22y2+35y-3aA2+bA2+ab+a+b+

14、a+1所有因式分解的破解法2007-10-28 13:20因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一， 它被广泛地应用于初等数学之中， 是我们解决许多数学问题的有力工具 因式分解方法灵活，技巧性强， 学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、 运用公式法、分组分解法和十字相乘法而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等提公因式法公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，

15、将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.ann+ bnn+ cnn= m (a+b+c)具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的 最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最 低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内 的第一项的系数是正的.运用公式法平方差公式：.aA2 - bA2 = (a + b)(a b)完全平方公式： aA2 ± 2ab+ bA2 = (a ± b)A2能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式 ，其中有两项 能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的

16、积 的2倍.立方和公式：aA3+bA3= (a+b)(aA2-ab+bA2).立方差公式：aA3-bA3 = (a-b)(aA2+ab+bA2).完全立方公式：aA3 ± 3aA2b + 3abA2 ± bA3 = (a ± b)A3 aAn-bAn=(a-b)aA(n-1)+aA(n-2)b+bA(n -2)a+bA(n-1)aAm+bAm=(a+b)aA(m-1)-aA(m- 2)b+-bA(m-2)a+bA(m-1)(m为奇数)分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法 .分组分解法必须有明确目的， 即分组后， 可以直接提公因式或运用公式

17、.拆项、补项法拆项、 补项法： 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项 (或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.十字相乘法乂八2+ (p q) x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是： 二次项的系数是1； 常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和 . 因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：xA2 + (p q) x+pq= (x+p)( x q)kxA2 + m肝n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac, n = bd,且有ad+bc=m时，那么kxA2 + m奸 n= (

18、ax b ) (cx d )a /b ac= k bd = nc /d ad+bc=m 多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f (a) =0,则f (x)必含有因式(x-a)。如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,贝U可确定(x+2)是 x2+5x+6 的 一个因式。经典例题：1 .分解因式(1+y)A2-2xA2(1+yA2)+xA4(1-y)

19、A2解：原式=(1+y)A2+2(1+y)xA2(1+y)+xA4(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2 )=(1+y)+xA2(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-(2x)A2=(1+y)+xA2(1- y)+2x (1+y)+xA2(1 -y)-2x=(xA2-xA2y+2x+y+1)(xA2-xA2y-2x+y+1)=(x+1)A2-y(xA2-1)(x-1)A2-y(xA2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y ,下式的值都不会为33乂八

20、5+3乂八4y-5xA3yA2+4xyA4+12yA5解：原式=(xA5+3xA4y)-(5xA3yA2+15xA2yA3)+(4xyA4+12yA5)=xA4(x+3y)-5xA2yA2(x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5xA2yA2+4yA4)=(x+3y)(xA2-4yA2)(xA2-yA2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=xA5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种

21、变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、 分解因式 x -2x -x(2003 淮安市中考题 )x -2x -x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考题)解： a +4ab+4b = ( a+2b)3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a,

22、把它后两项分成一组，并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n从而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于 mx +px+q形式的多项式，如果 axb=m,cxd=q且ac+bd=p,贝U多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c)例 4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解： 7x -19x-6=( 7x+2) (x-3)5、配方法对于那些不能利用

23、公式法的多项式， 有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

24、 =(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时， 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式2x -x -6x -x+2解： 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x

25、,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 8、分解因式2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知， f(x)=0 根为 ， -3 ， -2 ， 1则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图像法令 y=f(x) ，做出函数y=f(x) 的图像，找到函数图像与X 轴的交点x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x -x )例 9、因式分解x +2x -5x

26、-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其图像，见右图，与x 轴交点为 -3 ， -1 ， 2则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解： a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数

27、，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将2 或10还原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2,则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3X 5X7注意到多项式中最高项的系数为 1， 而 3、 5、 7分别为 x+1， x+3， x+5，在 x=2 时的值则 x +9x +23x+15= (x+1)( x+3)(x+5)12、待定系数法首先判断出分解因式的形式， 然后设出相应整式的字母系数， 求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式x -x

28、 -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式， 因而只能分解为两个二次因式。解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材代数第二册，在初二上学期讲授， 但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。 学习它，既可以复习初一的整式四则运算， 又为本册下一章分式打好基础； 学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能

29、力。 其中四个注意， 则必须引起师生的高度重视。5 页和第 15 页，可用四句话概括如下：首项有负常提负， 各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解：a2b2+2ab+ 4= ( a2 2ab+b24) =- (a b + 2) (a b 2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号， 使括号内第一项系数是正的。 防止学生出现诸如 9x2 4y2=(3x) 2- (2y) 2= ( 3x + 2y) (-3x-2y) = (3x2y) (3x+ 2y)的错误？膊荒落 汉啪拖

30、取疤帷保 匀 饨 蟹治傩？/p>如例2 zabc的三边a、b、c有如下关系式：c2+a2+2ab 2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。明： c2+a2+2ab 2bc=0,(a + c) (a c) +2b (a c)=0,. (a-c) (a+2b+ c) =0.又a、b、c是Aabc 的三条边，a+2b + c>0,ac = 0,即2=5 zabc为等腰三角形。例 3 把12x2nyn 18xn 2yn 1 6xnyn 1 分解因式。解：12x2nyn + 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn

31、 1 (2xny 3x2y2 + 1)这里的“公”指“公因式”。 如果多项式的各项含有公因式， 那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉 1。防止学生出现诸如 6p (x-1) 3 8p2 (x-1) 2+ 2p (1-x) 2=2p (x-1) 23 (x-1) 4p=2p (x-1) 2 (3x-4p-3)的错误。例4在实数范围内把x45x2 6分解因式。解：x4-5x2-6= (x2+1) (x2-6) = (x2+1) (x + 6) (x-6)这里的“底”， 指分解因式， 必须进行到每一个多项式因式都不能

32、再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”， 不留“尾巴”， 并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如 4x4y2 5x2y2 9y2= y2 (4x4 5x2 9) =y2 (x2 + 1) (4x29)的错误。由此看来， 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中， 与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话： “先看有无公因式，再看能否套公式， 十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。参考资料： zhidao因式分解因式分解( factorization )因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学

33、中最重要的恒等变形之一， 它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力， 都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等提公因式法公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公 因式。提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 。amn+

34、 bmn+ cmn= m (a+b+c)具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数； 字母取各项的相同的字母， 而且各字母的指数取次数最低的 . 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 .运用公式法平方差公式：.aA2 - bA2 = (a + b)(a b)完全平方公式：aA2 ±2ab+ bA2 = (a ± b2能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式 , 其中有两项能写成两个数(或式 ) 的平方和的形式，另一项是这两个数(或式) 的积的 2倍.立方和公式：aA3+bA3= (a+b)(aA2-ab+b

35、A2).立方差公式：aA3-bA3 = (a-b)(aA2+ab+bA2).完全立方公式：aA3 ± 3aA2b+3abA2 ± bA3 = (a ± b3aAn-bAn=(a-b)aA(n-1)+aA(n-2)b+bA(n-2)a+bA(n-1)aAm+bAm=(a+b)aA(m-1)-aA(m-2)b+-bA(m-2)a+bA(m-1)(m 为奇数)分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或 运用公式.拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的 两项(或几项)，使

36、原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形十字相乘法x2+ (p q) x + pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和 . 因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：xA2 + (p q ) x + pq =(x+p) (x + q) kxA2 mx n 型的式子的因式分解如果能够分解成k= ac, n = bd,且有ad+bc=m时，那么kxA2 + mx+ n = (ax b ) (cx d )a /b ac= k bd = nc /d ad

37、+bc=m多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来 分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补 项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为 止。(6)应用因式定理：如果f (a) =0,则f (x)必含有因式(x-a)。 如 f (x) =xA2+5x+6, f (-2) =0,则可确定(x+2)是 xA2+5x+6 的 一个因式。经典例题：1 .分解因式(1+丫)八2-2乂八2(1+丫八2)+乂八4(1+)八2解：原式=(1 +y)A2+2(1 +y)xA2(1 +y)+xA4

38、(1-y)A2-2(1 +y)xA2(1-y)-2xA2(1 +yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-2(1+y)xA2(1-y)-2xA2(1+yA2)=(1+y)+xA2(1-y)A2-(2x)A2=(1+y)+xA2(1- y)+2x (1 +y)+xA2(1-y)-2x=(xA2-xA2y+2x+y+1)(xA2-xA2y-2x+y+1)=(x+1)A2-y(xA2-1)(x-1)A2-y(xA2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y ,下式的值都不会为33乂八5+3乂八4y-5xA3yA2+4xyA4+12yA5解：原式=

39、(xA5+3xA4y)-(5xA3yA2+15xA2yA3)+(4xyA4+12yA5)=xA4(x+3y)-5xA2yA2(x+3y)+4yA4(x+3y)=(x+3y)(xA4-5xA2yA2+4yA4)=(x+3y)(xA2-4yA2)(xA2-yA2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式二乂八5不等于33;当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下

40、：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、 分解因式 xA3 -2xA2 -x(2003 淮安市中考题 )xA3 -2xA2 -x=x(xA2 -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式aA2 +4ab+4bA2 (2003 南通市中考题 )解： aA2 +4ab+4bA2 = ( a+2b)3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+b分解因式，可以先把它前两项分成一 组，并提出公因式a,把它后两项分成一组，并提出

41、公因式 b,从而 得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式mA2 +5n-mn-5m解：mA2+5n-mn-5m= mA2-5m -mn+5n= (mA2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于 mxA2 +px+q形式的多项式，如果 axb=m,cxd=q且 ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7xA2 -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解： 7xA2 -19x-6= ( 7x+2) (x-3)5、配方法对于那些不能利用

42、公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式xA2 +3x-40解 xA2 +3x-40 =xA2+3x+拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另

43、一 个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式 2xA4 -xA3 -6xA2 -x+28、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,xn ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn )例 8、分解因式 2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6解：令 f(x)=2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 , -3, -2, 1贝U 2xA4 +7xA3 -2xA2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图像法令 y=f(x) ，做出函数y

44、=f(x) 的图像，找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3 , xn ,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn )例9、因式分解xA3 +2xA2 -5x-6解：令 y= 乂八3 +2xA2 -5x-6作出其图像，与x 轴交点为 -3 ， -1 ， 2则 xA3 +2xA2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解： a (b-

45、c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将2或10还原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式 xA3 +9xA2 +23x+15解：令 x=2,贝U 乂八3 +9乂八2 +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3X5X7注意到多项式中最高项的系数为 1，而3、 5、 7 分别为 x+1，x

46、+3, x+5,在x=2时的值贝U xA3 +9xA2 +23x+15 可能=(x+1) (x+3) (x+5),验证后 的确如此。12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4=(xA2 +ax+b)(xA2 +cx+d)= xA4 +(a+c)xA3 +(ac+b+d)xA2 +(ad+bc)x+bd所以 解得则 xA4 -xA3 -5xA2 -6x-4 =(x +

47、x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材 代数 第二册，在初二上学期讲授， 但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。 学习它， 既可以复习初一的整式四则运算， 又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 其中四个注意， 则必须引起师生的高度重视。因式分解中的四个注意散见于教材第 5 页和第 15 页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公” ，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” 。现举数例，说明如下，供参考。例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。

48、解：a2 b2 + 2ab+4= ( a22ab+b24) =- (a b 2) ( a b 2)这里的“负” ，指“负号” 。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号， 使括号内第一项系数是正的。 防止学生出现诸如9x2 + 4y2= (3x) 2- (2y) 2= (3x+2y) (-3x-2y) = ( 3x-2y) (3x+2y)的错误？如例 2 abc 的三边a、 b、 c 有如下关系式： c2 a22ab2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。mE明： c2 + a2 + 2ab 2bc= 0,(a+c) (ac) +2b

49、(ac) =0, 二(a c) (a+2b+c) =0.a c又a、b、c 是Aabc 的三条边，a + 2b+c>0,=0,即a=c, zabc为等腰三角形。例 3 把一12x2 n yn + 18xn+ 2yn+ 1 6xnyn 1 分解因式。 解：一12x2nyn + 18xn + 2yn + 1 6xnyn 1 = 6xnyn 1 ( 2xny 3x2y2 1)这里的“公”指“公因式” 。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“ 1” ，是指多项式的某个整项是公因式时， 先提出这个公因式后， 括号内切勿漏掉 1。防止学生出现诸如6p( x 1) 3 8p2( x 1) 2 2p( 1