圆切线证明的方法

1、切线证明法 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.切线的性质定理的推论2 :经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 a 时 他a . . .rm mia.i. imh Hi.irnaiiM.a a . .切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. iii*，r ii*inMriiri，in-i iiiiiiii.nri*，i-0r .ini，ini*nii*ii-an-.iii .，1.,»=_* nil *ii-arr 1*1 iin，iirni*ii，r ， 1, 一一* rrri*ii，

2、irii-n tli一一 n=. =-.，. 1 1 1-*= - jh * 1 1 . 1 r n切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出 过这一点的半径，证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知AB为。的直径，点D在AB的延长线上，B*OB点C在圆上，/ CAB 30o.求证：DC是。的切线.思路：要想证明DC是。的切线，只要我们连接OC证明/OCR 90o即可.证明：连接OC BC. AB为。的直径，/ AC氏90o. /CA氏 30o,B捻-AB= OB2vBD=

3、 OB . BC=3 OD ./OC及 90o.2 .DC是。的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论， 特别要注意“经过 半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切 线.【例2】如图2,已知AB为。的直径，过点B作。O的切线BC,连接OQ图2弦AD/ OC求证：CD是。的切线.思路：本题中既有圆的切线是已知条件， 又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理， 又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是。的切线，只要证明/ ODC =90o即可.证明：连接OD OC/ AR ./ 1 = /3, /2=/4. OA= OD1 = /

4、2. ./ 3=/4.又= OB= OD OC= OC .OBC2 AODC./OB* /ODC . BC是。的切线，.OB康90o. .OD&90o. .DC是。的切线.【例3】如图2,已知AB为。的直径，C为。上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为 D.求证：AC平分/ DAB思路：利用圆的切线的性质一一与圆的切线垂直于过切点的半裕建证明：连接OCA， O B. CD。的切线，；OCLCD图3,. AD!CDOC/ AD. . ./1 = /2.vOC= OA ./1 = /3. ./2=/3. AC平分/ DAB【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的.在

5、解决 有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 切线.【例4】 如图1, B C是。上的点，线段AB经过圆心0,连接AC BG 过点C作CD! AB于D, / AC®2/ B. AC是。O的切线吗为什么解：AC是。的切线.理由：连接OCOCO旦 / OC=/ B.-:/CODl BOCW外角，I图1 /COD/ OCBZB=2Z B. /ACB2/B, / AC®/ COD. CDl AB 于 D, / DCO/ COD900 / DCO/ AC=90°即 OCL AC C为。上的点, .AC是。的切线.【例5】 如图2,已知。是 A

6、BC的外接圆，AB是。的直径，D是AB的 延长线上的一点，AEE±DC交DC的延长线于点E,且AC平分/ EAB求证：DE是 。的切线.证明：连接OC则O上OC . / CA/ ACO. AC平分/EABI 卜 " ./ EAC：/ CAO/ACO,图 2.-.AE/ CO又 AE1_ D COL D .DE是。的切线.二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3, AB=AC OB=OC。与AB边相切于点D.证明：连接OD彳OEL AQ垂足为E. .AB=ACOB=OC .AO为/BAC角平分线，/ DAO： EAO 。

7、与AB相切于点D, / BD/ CEO90° . v AO=AO. .AD3zAEO 所以 OEODvOD。的半径，. OE是。的半径. .OO与AC边相切.【例7】 如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的。O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交O碗长线于F.求证：EF与。O相切.证明：连结OE AD.AB是。的直径，.ADL BC.又AB=BC /3=/ 4.BD=bE / 1=/ 2.又. OB=OE OF=OF. .BO图AEOF(SAS . ./OBFW OEF.BF与。O相切,.OBL BF.丁. / OEF=90EF与。O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明

8、垂直的【例8】如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与。O相切.证明一：作直径AE,连结EC.AD是/ BAC的平分线，. / DABW DAC.v PA=PDa Z2=Z1+Z DAC. / 2=/ B+Z DAB / 1 = /B.又./ B=/E,./ 1=/E.AE是。的直径, .AC，EC /E+/EAC=9b. / 1 + /EAC=9b 即 OAL PA. PA与。O相切.证明二：延长AD交O O于E,连结OA OE.: AD是/ BAC勺平分线,BE=CE .OEL BC./ E+/ BDE=90v OA=OEE=/ 1.PA=PD丁 /

9、PADW PDA.又. / PDAW BDE,. / 1+/ PAD=90即 OAL PA. PA与。O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例9如图，AB=AC AB是。的直径，O O交BC于D, DMLAC于M求证：DMtfOO相切._ g证明一：连结OD./AB=ACJ »C. OB=OD ./1=/ B./ 1=/C. .OD/ AC. DML AG.DM_ OD.DMW OO 相切证明二：连结OD AD.AB是。的直径, .AD，BC.又AB=AC,/ 1 = /2.,.DM_ AG. /2+/4=900v OA=OD / 1=/ 3. /

10、 3+/4=90°.即 ODLDM.DM是OO的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂 直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10如图，已知：AB是。O的直径，点C在。O上，且/ CAB=30, BD=OBD在AB的延长线上.求证：DC是。的切线证明：连结OC BC.V OA=OC. / A=/ 1 = /300. ./ BOC= A+Z 1=600.又 = OC=OB.OBO等边三角形. .OB=BC.D.OB=BD .OB=BC=BD.OCL CD.DC是。的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12 如图，AB是。的直径，CD!AB

11、,且OA=OD OP.求证：PC是。的切线.证明：连结OCoA=od op, oa=oc . OC=OD OR/oc opth L 1OD OC .AODE又1=/1, .OCD AODC. ./ OCP= ODC. CD! AB, . / OCP=90 . PC是。O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13 如图，ABC此正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CDT F.求证：CE与CFG勺外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点0,连结OC证明CE!OC即可彳#解.AD证明：取FG中点0,

12、连结OC.U7!ABC此正方形， .Bd CR ACFGi RtA O是FG的中点,.O是RtCFG勺外心. oc=o g/ 3=/ G. AD/ BC,ZG=Z 4.AD=CD DE=DE /ADEW CDE=45 . .AD图 ACDE (SASZ4=Z 1, / 1=/ 3. vZ 2+/ 3=9C0, . / 1+/ 2=9C0.即 CEL OC.CE与 CFG勺外接圆相切二、若直线l与。O没有已知的公共点，又要证明l是。的切线，只需作OAL l , A为垂足，证明OA是。的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14 如图，AB=AC D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与

13、。D相切.证明一：连结DE，彳DFL AG F是垂足.AB是。D的切线，.DEL AB.,.DF± AG ./ DEBW DFC=9h,.AB=AC.B=/ C.又 = BD=CD. .BD陷 ACDF (AASDF=DE.F在。D上.AC是。D的切线证明二：连结DE AD,彳DF±AC, .AB与。D相切， .DEL AB. AB=AC BD=CD/ 1=/ 2.,. DELAB, DF± AG .DE=DF. F 在。D上. ACt OD 相切.DF=D由勺，证明二是利用角平分线说明：证明一是通过证明三角形全等证明 的性质证明DF=D由勺，这类习题多数与角平分线有关.【例15】 已知：如图，AG BD与。O切于A