直线方程专题精讲

1、直线方程专题精讲考点一：直线的倾斜角与斜率一.知识梳理:1 .倾斜角的定义当直线l与X轴相交时, 叫做直线L的倾斜角.我们取 x轴为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的(1)定义中含三个条件：直线向上方向； X轴正方向；小于平角的正角.(2)直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.(3)倾斜角的范围：0180 ,当直线L与x轴平行或重合时，规定 0 .(4)倾斜角的几何意义：表示直线对X轴正方向的倾斜程度，它是刻划直线倾斜程度的形(5)平面直角坐标系中的每条直线都有一个确定的倾斜角.(6)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上一个定点；直线的倾斜角.试一

2、试：如图中所标直线倾斜角正确的是 2 .斜率的概念及公式(1)斜率的定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为 k ,则 k tan斜率的取值范围：当 0时，k 0；当 090 时，k 0；当 90时，k不存在；当 90180 时，k 0.k tan 在0,90 和90 ,180 上单调递增.所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.斜率是刻划直线倾斜程度的数”.试一试：过点(1, 0)作倾斜角分别为30 ,45 ,135 ,150的直线，并分别求出斜率。(2)过两点的直线的斜率公式：设任意P1(x1,y1)、P2(x2,y2) L , x1 X2 ,则斜率公式

3、为y2yiXiX2在同一条直线 L上，R、P2的选取具有任意性，但直线 L的斜率k唯一确定.斜率公式与Pi、P2的顺序无关，保持字母下标顺序一致即好.如果yi、2,Xi X2,则直线与x轴平行或重合，k 0；如果yi、2,XiX2 ,则直线与x轴垂直，直线的倾斜角等于 90 , k不存在.3 .两条直线平行与垂直的判定(一)、两条直线平行的判定：(i)如图i,两条不重合的直线 Li和L2,它们的斜率存在，分别为 ki和k2,它们的倾斜角分 别为01和02.(二)、两条直线垂直的判定：(i)如图3,两条直线Li和L2,它们的斜率都存在，且斜率分别为和 02 ( M、 0290 ° )如

4、果 Li L2,有 2 i 90 ,贝U tan 2 tan i 90一i一故k2一,即 kik2i .反之，若 kik2i,有LiL2kiki和k2,斜角分别为 aii tan i .则 k1k2iLi L2 .右 Li/L2 i= 2ki=k2,反之，若 ki=k2i= 2Li / L2.贝U Li / L2k1 二k2.(2)如图2,两条不重合直线 Li、L2,它们的斜率都不存在，则Li X轴，L2 x轴，故Li/ L2.则Li/L2 Li, L2斜率都不存在.(3)两条直线有可能重合且斜率存在时，则ki = k2Li/ L2或Li与L2重合.(2)如图4,两条直线中，一条直线斜率不存在

5、，另一条直线斜率为0,此时两直线垂直.综合(1)、(2),LiL2ki k21或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率为0.y*lil2二.典例剖析:题型一直线倾斜角的概念【例1】 直线Li与x轴相交于点P,若Li绕P点逆时针旋转120 °与x轴重合，根据下 列情况，求L2的倾斜角.(1)L1L2；(2)L1 L2.题型二 倾斜角与斜率的关系基础自测：下列叙述中不正确的是()A、若直线的斜率存在，则倾斜角存在B、每一条直线都唯一对应一个倾斜角C、与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90 °或0°D、若直线的倾斜角为 %则直线的斜率为tan”2、已知直线L的倾斜角 150

6、,则k ()A、石 B、g C、D、«【例2】已知直线L1的倾斜角1 = 30°,直线L1 L2,求L1, L2的斜率.变式练习：已知L1的倾斜角1=15°, L1与L2交于A, L1与L2向上方向所成角为120°,求L2的斜率. 一一 3【例3】设直线的斜率为k,且，3 k 卫，求直线倾斜角的取值范围.3变式练习：(1).已知直线L的倾斜角满足一6k的取值范围.(2).直线斜率A. 0,7t4AB 37t则直线的倾斜角的取值范围是冗C. 0, 了 U7t2 57t7t题型三由斜率公式求斜率基础自测1、若过点(一2,a)和点(a, 4)的直线斜率不存在，

7、则 a =2、已知点P(3, 2),点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角150°,则点Q的坐标为【例4】(1)已知两点A(-1,2), B(m,3),求：(I)求直线AB的斜率；(II)已知实数mC 乎一1,寸31,求直线AB的倾斜角”的范围.3(2)(苏州模拟)若直线l过点P(1,2),且与以A( 2, 3),B(3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是.变式练习1、过点M(1, m), N(m+1,4)的直线的斜率等于 1,则实数m的值为()A. 1B. 1C. 2D. 1232、已知A 3,4、B3,2 ,过点P 1,0的直线L与线段AB有公共点，(1)求直线L的斜率

8、k的取值范围；(2)求直线L的倾斜角的取值范围。题型四点共线问题【例5】已知三点A(0,a), B(2,3), C(4,5a)在一条直线上，求 a的值，并求这条直线的倾斜 角.变式练习1、求证：A(1,1), B(-2-7), C(0,3)三点共线.2、已知 A(3, 5), B(4, 7), C(-1, x)三点共线，则 x=题型五两条直线平行问题基础自测1、下列命题中，正确的是()A、如果两直线平行，则它们的斜率相等B、如果两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C、如果两直线斜率之积为-1,则它们互相垂直D、如果一直线的斜率不存在，则它一定平行于y轴2、经过两点A(2,3), B(1,x)的直

9、线Li与斜率为一1的直线L2平行，则实数x的值为 ()A、0 B、一6C、6 D、3【例 6】已知 Li 经过 A(3,3), B(-8,6), L2 经过 M( 21 ,6), N(9, 3),求证:L1/L2. 22变式练习：经过两点A(2,3), B( 1,x)的 直线Li与经过点P(2,0)且斜率为1的直线L2平行, 求x的值.题型六两条直线垂直问题基础自测：1、经过点(m,3)和(2,m)的直线L与斜率为一4的直线互相垂直，则 m=2、已知 A(1,1), B(2,2), C(3, 1)是 ABCD的三个顶点，则点 D的坐标是 【例7】判断下列各题中的直线L1, L2是否垂直：(1)

10、 L1经过 A 1, 2 , B 1,2 , L2 经过 P 2, 1 , Q 2,1 ; L1 经过 A (3,4), B(3,6), L2经过 P(5,20), Q(5,20).【例8】已知直线m经过点A(3,a), B(a-2,3),直线m2经过点M(3,a), N(6,5),若m1 m2, 求a的值.【变式练习】：已知点A(2,3), B(-1,1),在y轴上求一点C,使？ABC为直角三角形，且 A为直角.课堂小结:1 .要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式:y2 y1k=-乙，该公式X2 X1与两点顺序无关，已知两点坐标(X1欢2)时，根据该公式可求出经过两点的

11、直线的斜率.当= X2, y1号2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° .X1割，牢记： 斜率变化分两段，90。是分界,遇到斜率要谨记，存在与否需讨论2 .求斜率可用k=tanaw 90；其中“为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分三.课堂练习:1、直线x= 1的倾斜角和斜率分别是()A. 45°, 1B. 135°,C. 90°,不存在D. 180°,不存在2、给出下列命题：任何一条直线都有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30倾斜角为0的直线只有一条，即X轴; 按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合180与直线集合建立了一一映

12、射关系.其中正确命题的个数是()A、 1 B、 2 C、 3D、43、直线 Li 过点 P 3 73,6J3、Q 3 273,3J3，直线L2的倾斜角与L1的倾斜角互补，则直线A、 150B、 120°L2的倾斜角是(C、60°)D、30°4、如图，直线L1,L2, L3的斜率分别是k1 , k2k3,则有 (A、k1k2k3B、k3k1k2 C、k3k2k15、若直线l经过点(a 2, 1)和(a 2,1),且与经过点(-2,1),D、k13则实数a的值是().23A. 3B. 22C" 33D.26、直线 l 经过 A(2,1)、B(1m2)(mC

13、R)两点,那么直线的倾斜角的取值范围是(A. 0,兀)B. 0,加卓C. 0,兀4兀 兀D. 0, 4U(-,B(2,1)为端点的线段 AB有公共点，求L的斜7、已知直线 L过点P(3,4),且与以 A(1,0) 率k的取值范围.考点二：直线的方程一.知识梳理：(一)、直线的方程1、直线的点斜式方程:如图，直线L经过P0 X0,y0 ,且斜率为k,设点P x,y是直线L上不同于点F0的任意一点，则ky0 ,x X0即 y y0 k x X0方程由直线上一定点及斜率确定，叫做 直线的点斜式方程(i)斜率不存在的直线不能用点斜式方程来表示，通过点 的直线可以表示为 x x0.(2)过R X0,y0

14、平行于x轴的直线为y y0,当y°2、直线方程的斜截式方程：若P0 0,b ,斜率为k,则由点斜式可得P00时,简称点斜式.x0 , y0且垂直于x轴y 0即x轴.b是直线L与y轴交点的纵坐标，叫做 直线L在y轴上的截距.方程由直线的斜率 k与直线在y轴上的截距b确定，叫做直线的斜截式方程 斜截式.(i)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例，斜率不存在的直线不能用斜截式表示.(2)直线L与y轴交于点 0,b , b叫L在y轴上的(纵)截距，直线L与x轴交于点b R.b是直线，但不是一次函数.叫L在X轴上的(横)截距. a、b是坐标，不是距离， 当k 0时，y kx b即是一次函数

15、；当 k=0时, (4)两直线用斜截式方程表示时，平行、重合的判定：Li ： y kix b ； L2: y k2x b2 .Li II L2k1 =k2 且 nLi与L2重合k=k2且bi3、直线的两点式方程：已知直线L经过Pi (xi, yi)P2(X2丫2), (XiX2),的斜率kyy1 ,则由Pi和k得X2XiL的点斜式方程yiy2yi xXX2xiXi当yiy2时，方程可写为yyiy2yix xX2 XiXiX2, yiy2 .这个由直线上两个不同点所确定的方程称为直线的两点式方程(i)两点式方程的特点是表达式对称，且知直线经过的两个点.(2)不能表不斜率不存在以及斜率为当 xi

16、= x2, yi y2,当 xi x2, yi=y2,4、直线的截距式方程： 已知直线L过A(a直线方程为0的直线.X= Xi ,此时直线垂直于直线方程为y=yi,此时直线垂直于0), B(0, b)两点，其中 a 0, bX轴;y轴.0,则直线的两点式方程为y 0 x ab 0 0 a即221.a b这个方程由直线L在两个坐标轴上的截距 a和b确定，故称为 直线的截距式方程，简 称为截距式.方程的特点：右边为 1,左边两分式用 午”联结，a、b R且ab 0.(2)直线的截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.过原点的直线可表本为 y= kx,垂直于 x(y)轴的直线可

17、表本为 x=X0(y=y0).5、直线的一般式方程：直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式经过一定的变形均可化为Ax + By+C =0(A, B不同日为0)的形式，这是二元一次方程.反之也可实现将 Ax+By+C=0(A, B不同 时为0)化为直线方程的某一种形式.把 Ax+ By + C=0(A, B不同日寸为0)叫做直线方程的一 般式，简称一般式.(1)直线方程的一般式可表示任何直线；(2)在解求直线方程的问题时，要将所求得的方程化成一般式.(二)、求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件，选择适合形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设直线方程，利用已知条件求待定方程中的待定

18、字母的值，确定直线方 程.(三)、线段的中点公式x x2什x 2,若点P3P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2),设M(x,y)是线段P1P2的中点,则y 122此公式为线段P1P2的中点坐标公式.二、典例剖析：题型一求直线的点斜式方程【例1】根据下列条件写出直线的方程.(1)经过点A(1,4),倾斜角135°(2)经过点B(1,-2),且与y轴平行;(3)经过点C(-1,2),且与x轴平行.变式练习：(1)、根据条件写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点A(1,4),倾斜角为45°(2)经过点B(4,2),倾斜角为900；(3)经过原点，倾斜角为60。；(4)经过

19、点D(1,1),与x轴平行.(2)、已知直线L的倾斜角为，且经过点(1, 2),求直线L的方程.题型二直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2,在y轴上的截距为5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距为2;(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为 2.变式练习：写出斜率为2,在y轴上截距m的直线方程，当 m为何值时，直线过点(1,1)?题型三综合运用求直线方程【例3】已知直线L过点A(2,-3).若L与直线y=2x+5平行，求其方程；(2)若L与直线y=2x+5垂直，求其方程.变式练习：(1)、求过点A(1, 4)且与直线2x+

20、3y+5 = 0平行的直线方程.(2)、下列四个命题：经过定点P0 Xo,yo的直线都可用方程 y yo k x xo表示；经过任意两个不同的点Px1,y1,P2x2, y2的直线都可用方程x2x1xx1y2y1y y1表示；不经过原点的直都可用方程 - y 1表示；经过定点 A 0,b的直线都可用方 a b程y kx b表示.其中真命题的个数是()A、0B、1C、2D、3(3)、直线2x 3y=6在x轴、y轴上的截距分别为()A、3, 2B、-3, 0C、3, - 2D、一 3, - 2(4)、已知A(2,0), B(4,8),线段AB的垂直平分线的方程是 题型四直线的两点式与截距式【例4】

21、(1)、已知三角形的顶点 A(-2,-1), B(1,5), C(3,-3),求BC边上的中线所在直 线的方程；(2)、(沈阳模拟)若A(1, 2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等, 则直线l的方程为 .【变式练习】三角形的顶点A(-5,0), B(3-3), C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程;2,两截距之差为3,求直线L的(2)直线L与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 方程.题型五 直线方程形式的互化【例5】(1)经过 A 1,5 ， B 2, 1 两点写出直线的方程，并化为一般式方程；(2)把直线L的一般方程x 2y 8 0化为斜截式，求出

22、直线 L的斜率以及它在x轴与y轴 上的截距。变式练习1、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1)在y轴上的截距为3,且平行于x轴；(2)斜率为 4 ，在 Y 轴上的截距为 2.222、 (思考)设直线 L 的方程为 m 2m 3 x 2m m 1 y 2m 6 ，根据下列条件分别确定 m 的值。(1) L在x轴上的截距是-3;( 2 ) L 斜率是 -1题型六 综合运用直线方程6】 直线 L 过定点 A 2,3 ，且与两坐标轴围成三角形面积为4，求L 的方程。变式练习1、直线L过定点P 5, 4 ,且与两坐标轴围成三角形面积为5,求L的方程。三.课堂练习：1 .已知直线的方程是

23、y+2 = x1,则（）.A.直线经过点（1,2）,斜率为1B.直线经过点（2, 1）,斜率为1C.直线经过点（1, 2）,斜率为一1D.直线经过点（ 2, 1）,斜率为12 .经过点A（2,5）, B（3,6）的直线在x轴上的截距为（）.A.2B.3C. 27D. 273 .过点A（5,2）,且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为（）.A. x-y- 3=0B. 2x-5y= 0C. 2x- 5y= 0 或 x y3=0D. 2x+5y= 0 或 x+y3= 04 .直线ax+by1 = 0(abw 0)与两坐标轴围成的三角形的面积为().1111A.2abB.2|ab|C.2abD.2

24、1abi5、已知A（0,1）,点B在x+y=0上运动，当线段 AB最短时，点B的坐标为6、已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点且线段AB的中点为P（4,1）,求直线L的方程.考点三：直线方程应用一.知识梳理1.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y= kx+ b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y yg= k(x x©两点式过两点y yi x xiy2 yi -x2 xi与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距x y / 一+工=i a b不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一M式Ax+ By+C= 0(A2+ B2w 0)所有直线2.线段的中点坐标公式若点

25、Pi,P2的坐标分别为（xi,yi）,（x2,y2）,线段P1P2的中点M的坐标为（x, y）,则xi+ X2一 此公式为线段PlP2的中点坐标公式. yi +y2y=2，二.典例剖析：题型一直线方程与位置关系的判定i、 Li： y kix bi ； L2: y k?x b2 .Li/L2ki=k2 且 bi b2；Li 与 L2重合ki = k2且 bi = b2；Li L2kik2 = i.2、Li：AixB1yCi0,L2：A2xB2yC20.设A2B2c2 0成立.若 Ai： A2= Bi： B2 Ci： C2Li/L2；若 Ai： A2= Bi： B2 = Ci： C2 Li, L2

26、 重合；若 Ai：A2 Bi： B2LiL 相交；若 A1A2 BiB2 0Li L2 .(2)没有A2B2 c20这个条件(无论有没有都可以).若 AB2 A2Bi 0且 AC2 a2cl 0(或 B1c2 B2cl 0)L1/L2 ；若 A1B2 A2B1 0LiL相交；若 AB2 A2B1 AC2 A2C1 0L,L2 重合；若 A1A2 B1B2 0L1 L2 .3、平行直线系： 与L:Ax By C 0平行的直线为 Ax By m 0 m C垂直直线系：与L: Ax By C 0垂直的直线为Bx Ay m 0或Bx Ay m 0【例1】(1)若直线 li： ax+ 2y6=0 与直线

27、 12： x+ (a1)y+ a21 = 0 平行，则 a=(2)若直线13： (a+2)x+(2 a)y= 1与直线14： (a 2)x+(3a4)y=2互相垂直，则 a的值为变式练习1、(济南模拟)已知两条直线y ax 2和3x (a 2)y 1 0互相平行，则a等于2、(提高)使三条直线4x + y=4,mx+ y=0, 2x3my= 4不能围成三角形的 m值最多有()A. 1个B.2个C. 3个D.4个【例2】 已知点A(2, 2)和直线L ： 3x+4y20=0,求过点A和直线L平行的直线方程；(2)过点A和直线L垂直的直线方程.变式练习1、求与直线2x y 10 0垂直，且在x轴、

28、y轴上的截距和为12的直线方程。2、求平行于直线 3x+ 2y-6=0,且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程.题型二直线方程的综合应用【例3】已知直线1： kx y+1+2k= 0(kC R).证明：直线l过定点；若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B, 4AOB的面积为S(O为坐标 原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.变式练习1、已知实数a,b满足a 2b 1, ax 3yb 0为直线L的方程，求证：直线L必过定点, 并求出这个定点的坐标.2、已知直线ax y 2 a 1 0 ,若x1,1时，图象在x轴上方，求a的取值范围。B 3,5处，

29、你知【例4】x轴表示一条河，骆驼队从 A 6,4地出发前往河中取水，然后到 道在何处取水，行程最短吗？变式练习：一条光线从点A(2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7),求点P的坐标.(选讲)【例5】一条直线l过点P 2,1 ,并且与x, y轴的正半轴交于 A,B两点.(1)求 AOB面积最小值，及此时直线 l方程；(2)当PA PB取得最小值时，求直线l方程.变式练习：(沈阳质量监测)如图，射线OA, OB分别与x轴 正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA,1 一OB于A,B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时， 则直线AB的方

30、程为.三.家庭作业:1、已知直线(a-2)x+ ay1=0与直线2x+3y+5=0平行，则a=A、 6 B、6C、4D、4552、若方程(6a2- a- 2)x+(3a25a+ 2)y + a1 = 0表示平行于y轴的直线，则 a=()A、2B>C、1D、不存在323、直线(2m)x+ my+3=0与直线xmy 3 = 0垂直，则 m为.4、若直线(2t3)x+ y+6=0不经过第一象限则t的取值范围是 .5、求与直线2x y 10 0平行，且在x轴、y轴上的截距和为12的直线方程6、设直线 L 的方程为(a+1)x+y+2 a= 0(a R).(1)求出直线L经过的定点；(2)若L在两

31、坐标轴上的截距相等，求 L的方程；(2)若L不经过第二象P求实数 a的取值范围.考点四：直线交点坐标与距离公式一.知识梳理1.直线方程的五种形式及比较.名称方程已知条件适用条件点斜式yyok x x0x0,y0是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于 x轴斜截式y kx bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式yyixx1y2yix2xx1，yi , x2,y2是直线上的两个定点直线不垂直于 x轴和y 轴截距式x y i a ba, b分别是直线在x轴，y轴上的截距直线不垂直于x轴和y 轴，且不过原点一式Ax By C 0任何情况特殊 直线x= a （y 轴：x= 0） y=

32、b （x 轴：y= 0）过点A(a,0)且垂直于x轴 过点B(0,b)且垂直于y轴斜率不存在斜率k 02.点与坐标一一对应.几何兀素及关系代数表示点AA a,b直线LL: Ax By C 0点A LAa Bb C 0L1 I L2AAx By C 0方程组。？y 1的解A2x B2y C203、直线系方程(1)平行于直线 Ax+ By+C=0的直线系：Ax+By+m=0(m为参数且 m C);(2)垂直于直线 Ax+ By+C = 0的直线系：Bx-Ay+ m= 0(m为参数)；(3)过直线 Li ： Aix+Biy+Ci = 0 与 L2 ： A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系：(Ai

33、x+ Biy+Ci) + (A"+B2y+C2)= 0(为参数且这些直线中不含L2).4、两条直线的交点坐标Li : Aix+Biy+ Ci = 0,L2： A»+B2y + C2= 0,两条直线的交点坐标就是下面方程组的解.Ax Biy Ci 0(*)A2x B2y C20(i)方程组(*)有唯一的解两直线相交；(2)方程组(*)无解两直线平行；(3)方程组(*)有无数解两直线重合；当AiB2 A,Bi0时，方程组(*)有唯一的解.5、三种距离(i)两点间的距离P xi,yi , P2 x2,y2 ,则 RP2/xi_xr_yy7T.当 Pi, P2在直线 y=kx+b

34、上时，PP2| Jik2|xi x2 .(2)点到直线的距离已知点 R xo,yo ,直线 L: Ax By C 0 .设A 0, B 0,则L与两坐标轴都相交，如图，过 P0分别作x轴和y轴的平行线，交L于R和S,则直线P°R的方程为y y0, R的坐标为By。AC ,yO ;直线F0S的方程Ax 一 C 一.为x x0, S的坐标为 x0, 0C .于是有: BP°SRSBy。 CAx0Ax0 C广0 By° C除几 By° CI B ，乐B2|Ax0 By0 C|a b设PQ d ,由d RS |RR RS ,于是得d F0R| |F0S| = A

35、x0 By° C|rs|尿B2又当A 0或B 0时，上式也成立.Ax0 By0 CF0到L的距离为d=一 、A B2注意：使用公式的前提是直线的方程必须是一般式.(3)两条平行线间的距离定义：夹在两平行线间公垂线段的长叫做两平行直线间的距离.求两平行线间的距离：a.可转化为点到直线的距离，如在两平行直线Li, L2中的一条Li上取其与x轴的交点M, M至ij L2的距离即L与L间的距离.b.两平行直线Li, L2间的距离公式设 Li： Ax+By+Ci = 0, L2： Ax+By+C2=0,在 L 上任取 M(x0, (Ax0+C)七),M到L2的距离可代点到直线的距离公式.故Li

36、, L2间的距离公式为,A2 B2利用公式时，两直线必须是一般式，且 x, y的系数对应相等.基础自测:i、思考辨析(i)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()kx0 b(2)点P(x°, y°)到直线y kx b的距离为1 /1 .()i k2(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离.()，i 若点A, B关于直线l： y kx b(k 0)对称，则直线 AB的斜率等于一，且线段ABk的中点在直线l上.() 2、直线x+ 2y2=0与直

37、线2x+y3=0的交点坐标为A、(4,1)B、(1,4)C、D、3、已知点 A(1,2), B(a,6)，且 |AB| 5,则a=A、 4B、4或 2 C、2 D、2或 44、点（0, 5）到直线y=2x的距离是（A、B、.5C、D、5、两平行直线A、2B、C、0之间的距离为D、336、已知点2, 3M 1,1 ,且 PQPM7、在过点8、若直线A（2,1）的所有直线中，距离原点最远的直线方程为L与直线L1； 5x12y+6=0平行，且L与L1的距离为2,则L的方程为三.典例剖析题型一直线的交点问题【例1】求经过两直线L1：x-2y+4= 0和L2：x+y- 2=0的交点P,且与直线L3；3x

38、 4y+ 5=0垂直的直线L的方程.变式练习1、求经过两直线 2x 3y3=0和x+ y+2=0的交点且与直线 3x+y1= 0平行的直线方 程.2、（重庆模拟）已知两条直线l1：y 2 , l2: y 4,设曲线y 3x与卜人分别交于点A,B , 曲线y 7x与l1/2分别交于点C,D,求直线AB与直线CD的交点坐标.3、经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点 A(8,-4)的直线方程为 题型二两点间距离公式的应用【例2】已知直线3x 2y 3 0和6x my 1 0互相平行，则它们之间的距离是 (B." C.5 J131326D. 71326变式练习1、已知

39、等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是 3x y 2 0,直角顶点是C(3, 2),则两条直角边AC , BC的方程是(A3x y 5 0, x 2y 7 0B. 2x y 4 0, x 2y 7 0C.2x y 4 0, 2x y 7 0D.3x 2y 2 0, 2x y 2 0题型三对称问题(1)点A(x。，y。)关于直线L： Ax+By+C = 0的对称点M(x, y)可由方程组求得.y y。A1x x0BA x - B y y022x x0事实上，通过解上述方程，我们可以得到y y0(AB 0).C 02AA% By° CA2 B2,有结论(可以称之为定2BAx°

40、By° CA2 B2理)：P(x0,y0)关于直线l ： Ax By C 0对称的点为P(x,y),记向量Ax- B C uuun (A,B), dAx0 2 By02 C ,则 PP 2dn 0A B(2)常用对称的特例有：A(a,b)关于x轴的对称点为 A'a(b);B(a,b)关于y轴的对称点为 Ba,b)；C(a,b)关于直线y=x的对称点为 C'b(a);D(a,b)关于直线y= x的对称点为D'b, a);P(a,b)关于直线x=m的对称点为P' m2-a,b);Q(a,b)关于直线y=n的对称点为 Q'a(2nb).(3)直线关于

41、直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况: 一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.【例3】入射光线线在直线11 ： 2x y 3 0上，经过x轴反射到直线12上，再经过y轴反射到直线上，则直线I3的方程为()Ax 2y 3 0 B.2x y 3 0 C.2x y 3 0 D.2x y 6 0变式训练：一束平行光线从原点。出发，经过直线 L: 8x+6y=25反射后通过点P(4,3),求反射光线的方程.【例4】已知直线1 :2x 3y 1 0,点A( 1, 2).求：点A关于直线1的对称点A'的坐标.(2)()直线1关于点A( 1, 2)对称的直线1的方程.

42、(3) ()直线m：3x 2y 6 0关于直线1的对称直线 m的方程.变式练习5、(兰州模拟)一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线1:x-y+1=0上白P点，再从P点出发爬行 到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是()A. 2B.2C.3D.46、()、设？ABC的顶点A(2,1),内角B的平分线所在直线方程为x+ y+2=0,AB边上的中线所在直线方程为2x y1=0,求BC边所在直线的方程.题型四点到直线的距离【例5】求点P°(1,2)到下列直线的距离：(1)2x+y10 = 0;(2)x= 2;(3)y-1 = 0.【例6】(南昌模拟)过点P(1,2)引直线，使A(2,3) , B(4,-5)到它的距离相等