第6讲函数的单调性学生(新高一培优十六讲系列)

1、第6讲函数的单调性玩前必备1 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A区间任思两个值 X1, X2,M? A如果取区间M中的定义改变量 A x = x2-xi0,则当A y=f (x2) f (xi) 0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数改变量 Ax=x2-xi0,当 A y =f侔)f (xi) v 0时，就称函数 y= f(x)在区间M上是减函数增函数减函数图象描述，可自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y = f(x)在这一区间具有(严 格的)单

2、调性，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.2 .函数的最值前提设函数y = f(x)的定义域为I ,如果存在实数 M满足条件(1)对于任意xe I,都有f(x)wM(2)存在 xoC I ,使得 f(xo) = M(1)对于任意x C I ,都有f(x) RM(2)存在 xoC I ,使得 f (xo) =M结论M为最大值M为最小值玩转典例题型一函数单调性的判断和证明一 一一 x*2,例1判断并证明函数 y=x-在(一1, +8)上的单调性.x+ 11, x0,例2.设函数f(x)= 0, x=0,g(x) =x2f (x1),则函数g(x)的递减区间是 1, x v 0,例3.函数yx2

3、2x 3的单调递增区间为玩转跟踪2- x 、_.1一，一 一1 .已知函数f(x) =-7,证明：函数f(x)在(一1, +8)上为减函数. x-I- 12 .定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a, b,总有f a f b 0,则必有()a bA.函数f(x)先增后减B.f(x)是R上的增函数C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数3 .画出函数y=x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.题型二函数单调性的应用 角度一：利用函数的单调性求最值1,一，x 1 ,例4(1)函数f(x)= x的最大值为x2+ 2, x0),且f(x)在0,1上的最小值为g(a),求g

4、(a)的最大值. a角度二：利用函数的单调性求解不等式 例5 1.(1)已知y=f(x)在定义域(一1,1)上是减函数，且 f (1 a)f(a + 3),则实数a的取值范围为2.探究与创新 设f(x)是定义在(0, +8)上的函数，满足条件: (1)f(xy) = f(x)+f(y);(2)f(2) = 1;(3)在(0, +8)上是增函数.如果f(2) + f(x-3)1.题型三分类讨论二次函数单调性和最值例7 求函数f(x) x2 2ax 1在闭区间0,2上的单调性和最小值.【玩转跟踪】1 .已知函数f(x) x2 2ax 2,求f(x)在 5,5上的最大值与最小值.22 .已知函数f(

5、x) x2 2x 3,当x t, t 1时，求f(x)的最大值与最小值.题型四抽象函数单调性和最值例8 已知函数f (x)对于任意x, yC R,总有 2f=-3.(1)求证：f (x)在R上是减函数；(2)求f(x)在 3,3上的最大值和最小值.f(x) + f(y) = f(x + y),且当 x0 时，f(x)v0,【玩转跟踪】1.已知函数f(x)的定义域为(0,)，且当x 1时，f (x) 0且f(xy) f(x) f(y).(1)求f(1)的值；(2)证明f (x)在定义域上的增函数；，一 J一一- 11(3)解不等式 fx(x -) 0.玩转练习1.下列说法中，正确的有()f Xf

6、 Xo若任意Xi,X2CI,当X1VX2时，10,则y=f(x)在I上是增函数；X1 X2函数y=X2在R上是增函数；1函数y= 1 在定义域上是增函数； X一 ,，,，1 一函数y=的单倜区间是(一00, 0)U (0,). XA.0个 B.1个 C.2个 D.3个2 .下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A.y= |x|B.y = 3xC.y= D.y=-x2+4X3 .若函数f(x)=4x2-kx-8在5,8上是单调函数，则 k的取值范围是()A.(-oo, 40)B.40,64C.(-oo, 40 U 64, +8)D.64 , +o )4 .若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是()A.k为任意实数B.k0C.kv0D.k 一1B.4C. 2wavOD. a 0449 .已知函数f(x) = x2+bx+c的图象的对称轴为直线x= 1,则()A.f( 1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f( 1)C.f(2)f( 1)f(1)D.f(1)f( 1)f(2)10 .讨论函数y=x22(