最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值, 特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比 较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、 丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个 x,都存在非零常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k

2、Z,k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。分段函数的周期：设yf(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为c：y f(x),x a,b,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的图像：y f (x kT), x kT a, kT b。f (x) xa,bf (x)f (x kT) x kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f (x), x a,b 或x b, a a,b若f( x) f(x)，则称y f(x)为奇函数；若f ( x)f(x)则称y f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、

3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：点A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称；点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称；函数y f(x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称；函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称；函数F (x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ax By C 0点 A(x, y)与B(x/, y/)2A(Ax By C)B(x22, yA B2B(Ax By C)关于直线Ax By C 0成轴对称；函数y f(x)

4、与y如7吗C) f(x 2Az2 By2 C)关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。 F(x,y) 0与 F(x 2 A(空 By2 C),y 如(Ax By2 C) 0 关于直线 A BA BAx By C 0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a) f(x b),则f(x)具有周期性；若f(a x) f(b x),则f(x)具有对称性：”内同表示周期性，内反表示对称性1、f (a x)f (b x)yf(x)图象关于直线x(a x) (b x)a_b对称22推论1： f(a x) f (a x) y f (x

5、)的图象关于直线 x a对称推论2、f (x) f (2a x) y f(x)的图象关于直线 x a对称推论3、f ( x) f (2a x) y f(x)的图象关于直线 x a对称2、f (a x) f (b x) 2c yf(x)的图象关于点(>a_b c)对称2，推论1、f(a x) f(a x) 2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) f (2a x) 2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f ( x) f(2a x) 2byf (x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函

6、数y f(x)与y f ( x)图象关于Y轴对称2、奇函数y f(x)与y f ( x)图象关于原点对称函数3、函数y ”*)与丫f(x)图象关于X轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f 1(x)图象关于直线y x对称.一. ba5.函数yf (a x)与y f(b x)图象关于直线x 对称2推论1：函数y f (a x)与y f (a x)图象关于直线x 0对称推论2:函数y ”*)与丫 f (2a x)图象关于直线x a对称推论3:函数y f ( x)与y f (2a x)图象关于直线x a对称(三)抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x=a

7、轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a + x) = f(a x)(2) f(2a x)=f(x)(3) f(2a + x) = f( -x)性质2若函数y = f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(4) f(a + x) = f(a x)(5) f(2a -x) = f(x)(6) f(2a +x) = f( -x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a = 0时的特例。(7) 合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量 x,均有fg( x) =fg(x), 则复数函数y=fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量 x,

8、均有fg( x) = fg(x), 则复合函数y=fg(x)为奇函数。说明：(8) 复数函数fg(x)为偶函数，则fg( x) =fg(x)而不是f g(x) = fg(x),复合函数y = fg(x)为奇函数，则fg( x) = fg(x)而不是 f -g(x) = fg(x)。(9) 两个特例：y=f(x + a)为偶函数，则 f(x +a)=f( x + a)；y =f(x + a)为奇函数，则 f( x + a)= f(a +x)(10) y = f(x +a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数y = f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a, 0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3

9、复合函数y = f(a +x)与y=f(b x)关于直线x= (b a) /2轴对称 性质4、复合函数y = f(a +乂)与丫= f(b x)关于点(b-a) /2 , 0)中心对称推论1、复合函数y = f(a +x)与y = f(a x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y = f(a +乂)与丫= f(a x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y = f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件 之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 f(x +a)=f(x a) f(x + a) = f(x) f(x +a) = 1/f(x) f(x

10、+ a) = 1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x = a与x = b轴对称，则函数f(x)必 为周期函数，且T= 2|a-b|性质6、若函数y = f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函 数f(x)必为周期函数，且T= 2|a-b|性质7、若函数y = f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对 称，则函数f(x)必为周期函数，且T= 4|a-b|6、函数对称性的应用(1)若 yf(x)关于点(h,k)对称，则 x x/ 2h, y y/ 2k ,即f(x) f(x/) f(x) f(2h x) 2kf(xi

11、) f(x2)f(xn) f(2h xn) f (2h 4 1) f (2h 不)2nk(2)例题ax11、1、f (x)尸关于点(一,一)对称：f (x) f (1 x) 1 ；ax a2 24x 1f(x) 4x 1l 2x 1 关于(0,1)对称：f(x) f( x) 2f(x) -(R,x 0)关于( J)对称：f (x) f(-) 1x 12 2x2 、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：f (x) f ( x) 0。3 、若f(x) f(2a x)或f(a x) f(a x),则y f(x)的图像关于直线 x a对称。设f (x) 0有n个不同的实数根，则x1x2xnx1 (2a

12、x1)x2(2ax2)xn(2axn) na.22(当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1,x1a)(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f(x T) f(x)( T 0)y f (x)的周期为T , kT( k Z)也是函数的周期2、f(x a)3、f (x a)4、f (x a)5、f (x a)6、f (x a)7、 f (x a)8、f (x a)f (x b)f(x)1而1f(x)1 f(x)1 f(x)1f(x) 11 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T b ay f (x)的周期为T 2ay f(x)的周期为T 2ay f (x)的周期为T 2ay f

13、(x)的周期为T 3ay f(x)的周期为T 2ay f(x)的周期为T 4a9、f (x 2a)f (x a) f (x)y "刈的周期为丁 6a10、若 p 0, f (px) f ( px -p),则T py f(x)有两条对称轴x a和x b (b a) y f(x)周期T 2(b a)推论：偶函数y f(x)满足f (a x) f (a x) y f (x)周期T 2a12、y f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (b a) y f (x)周期 T 2(b a)推论：奇函数y f(x)满足f(a x) f(a x) y f(x)周期T 4a13、y f(x)有一条

14、对称轴 x a和一个对称中心(b,0) (b a) ”*)的丁 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1 .求函数值例1. ( 1996年高考题)设 “*)是(,)上的奇函数，f(2 x)f(x)，当0 x 1 时，f(x) x ,则 f (7.5)等于(-0.5 )(A) 0.5;(B) -0.5;(C) 1.5;(D) -1.5.例2. (1989年北京市中学生数学竞赛题)已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x 2) 1 f (

15、x)1 f(x), f (1) 2 73,求 f (1989)的值.f (1989)2、比较函数值大小3.若f(x)(x R)是以2为周期的偶函数，当 x 0,1时，f (x)1x两,试比较98f7101f(h、104 二,f ()的大小.15解:0 - 173、f (x)(x16 1419 15R)是以2为周期的偶函数，又 f (x)11998 x1,求函数解析式11614101f(-) f(-) f (匕)，即 f (山17191517在0,1上是增函数，且98)曙.4. ( 1989年高考题)设f(x)是定义在区间)上且以2为周期的函数，对k Z ,用Ik表示区间(2k1,2k 1),已

16、知当xI0时,_2f(x) x .求f (x)在Ik上的解精选析式.解：设 x (2k 1,2k1), 2k2kx 2kx I 0 时，有 f (x)2k1 得f (x2k)(x2k)2f (x)是以2为周期的函数,f (x2k)f (x),f(x)(x2k)2.例5.设f(x)是定义在()上以2为周期的周期函数，且f (x)是偶函数，在区间 2,3 上，f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 时，f(x)的解析式.解：当 x 3, 2 ,即 x 2,3 ,2_ 2f (x) f ( x) 2( x 3)42( x 3)4又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x 1,2 ,即 3 x

17、42 时,有f (x) f (x 4)2 2f(x) 2(x 4) 342(x 1)2 4(1 x 2).-2一f (x)2(x 1)4(1 x 2).4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4,且等式f(2 x) f(2 x)对任意x R均成立，判断函数f (x)的奇偶性.解：由f (x)的周期为4,得f (x) f (4 x),由f(2 x) f (2 x)得f( x) f(4 x) , f( x) f (x)，故 f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2 x) f (2 x), f (7 x)f(7 x)且f (0) 0,判断函数f

18、 (x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点解：由题设知函数 f(x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间 0,10上,f(0) 0且f(x)不能恒为零，f (0) Qf(4) f (2 2)f(2 2)故f (x)图象与x轴至少有2个交点.而区间 30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f (x)图象与x轴至少有13个交与 八、.6、在数列中的应用例8.在数列an中,、3,anaan-L(n 2),求数列的通项公式an 1aa5a9a1997 .分析：此题的思路与例2思路类似.解：令a1 tg ,则a21a11a1tg1 t

19、gtg(4)a31 a?1 a21tg(4)1tg(4)tg(2 4an1tg (n 1) 4，于是an1 an 11 an 1tg (n1)4)，且以4为周期.不难用归纳法证明数列的通项为：an tg( n4于是有1, 5, 91997是以4为公差的等差数列,a1a5a9a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得总项数为 500 项,a a5a9a1997500 a1500 3.7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可9292(91 1)92 C0 9192 C1 9191 c90

20、9 1 2 C91 91 1()92C> 92c>92929292(7 13 1)92C92(7 13)92 C92(7 13)910990(7 13)2C92(7 13) 1因为展开式中前92项中土有7这个因子，最后一项为 1,即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用z,例10.(上海市1994年高考题)设z 1 Y3i(i是虚数单位)，则满足等式zn 22且大于1的正整数n中最小的是(A) 3;(B) 4;(C) 6;(D) 7.1 3.分析：运用z - i方帚的周期性求值即可.2 2解：zn z, z(zn 1 1) 0 zn1 1,z3 1, n 1必须是3的倍数，

21、即n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1时,n最小，(n)min4.故选择(B)9、解“立几”题例11.ABCA A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AAiA1D1，黑蚁爬行的路线是ABBBi.它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i N).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处， 这时黑白蚁的距离是(A) 1;(B)显；(C j3;(D) 0.解：依条件列出白蚁的路线AA1A1D1 D1C1C1CCBBA AA1，立即可以发现白蚁走完六段后又回

22、到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期1990=6 331 4,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是 J2.例题与应用例 1 : f(x) 是 R上的奇函数 f(x)= f(x+4), xC 0 , 2时 f(x)=x ,求 f(2007) 的值例2:已知f(x)是定义在R上的函数，且满足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x), f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 X8+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-

23、x),且当x 2,0时，f(x)二2x+1，则当x 4,6时求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999x),f(x)试判断函数f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x),且当x 2,0时，f(x)是减函数，求证当x 4,6时f(x)为增函数例 6: f(x)满足 f(x) =-f(6-x), f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000) , a 5 , 9且 f(x)在5 , 9上单调.求a的值.例 7:已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)= f(4x)

24、, f(7+x)= f(7-x),f(0)=0,求在区间 1000, 1000上f(x)=0 至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2, x=7对称，类比命题 2 (2)可知f(x)的一个周期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0, 10上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根, 因此方程f(x)=0在区间 1000, 1000上至少有1 + 2 2000=401个根.10例1、函数y = f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y= f(x +4)与丫 = f(6 x)的图象之间(D )A.关于直线x = 5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5