高中复数知识点及相关练习

1、高中复数知识点及相关练习复数基础知识一、复数的基本概念(1)形如a + bi的数叫做复数(其中a, bwR);复数的单位为i;它的平 方等于一1;即a, bwR.其中a叫做复数的实部；b叫做虚部实数：当b = 0时复数a + bi为实数虚数：当a, bWR时的复数a + bi为虚数；纯虚数：当a = 0且a, bwR时的复数a + b i为纯虚数(2)两个复数相等的定义：a, b 三 R(3)共腕复数：z = a+bi的共腕记作Z = a-bi ；(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z = a + bi ；对应点坐标为p a,b(5)复数的模：对于复数z = a+bi；把2=

2、八八7叫做复数z的模；二、复数的基本运算设z i = a +bj . z2 =a2 +0(i)加法：z1+z2 =g+屯)+也x ；(2)减法：ZiZiai-azkbiF”(3)乘法：zi z2 =(aia2 bib2 )+(a2bi *aib2 " 特别 z-2 =a2+b2。.1 一 23. . 45. .6(4)哥运算：i =i i = _1 i = i i =1 i =i i = T 三、复数的化简_ c diz a+bi (a，b是均不为0的实数)；的化简就是通过分母实数化的方法将分c di c di a - bi ac bdad -bc iz = = - =2母化为实数:

3、a bi a bi a -bia bc diz =a对于 a - bib :0c d当a - b时z为实数；当z为纯虚数是z可设为c diz = = Xia + bi 进一步建立方程求解一、知识梳理1、复数的有关概念(1 )复数的概念：形如a + b(i a由 屈数叫做复数；其中a，b分别是它的。若；则a+bi为实数；若 ；则a+bi为虚数；若；则a + bi为纯虚数。(2)复数相等： a +bi =c + di u (a，b，c，d 匚 R) o(3)共轲复数：a+bi 与 c + di 共轲 u (a，b，c，d e R)o(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面；叫做复平面；x轴叫做

4、； y轴叫做。实轴上的点都表示；除原点外；虚轴上的点都表 示；各象限内的点都表示 。T(5)复数的模：向量 OZ的模r叫做复数z= a + bi的模；记作： ；即 z =a+bi =o2、复数的几何意义 一一对应(1)复数z=a + bi复平面上的点Z(a，b)(a，bR)。对应T(2)复数z=a+bi复平面上的向量OZ。3、复数的运算(1)复数的四则运算设 4=a+bi. z2 =c+di (a,b,c,d 乏 R).则2 / 12加法：减法：z1 -z2)乘法：z1 z2=Zi 二除法：z2(c+di =0)。(注：分母实数化)(2)复数的运算定律:z1 . z2 =z1 , z2 , z

5、3 =;4 22=. zi(z2 +z3)=.nm nz -zzi z24、几个重要的结论2222(1)|zi +z2|2 +|zi z2 |2=2(|zi |2 +%|2)；-2 一 2z3|形|, .22若z为虚数；则|z| "z 。复数最重要的一点就是：记住i2二例 i：已知 z=arrb-4)i ；求(D当a，b为何值时z为实数(2)当a，b为何值时z为纯虚数(3)当a，b为何值时z为虚数zi=z2(4)当a，b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。例 2:已知 zi =3*4i; z2 =(a3)*(b4)i ;求当 a，b为何值时例 3:已知 z=1 -i ；求

6、z ； z z ；变式：1a, bwR是虚数单位，等于()a, b 三 RD. -1A. iB. -iC. 12i3 _变式2：已知i是虚数单位； Li ()Al+iB 1 + ic 1-iD. -1 -i1 -3i变式3:已知i是虚数单位；复数1-i =()A2 i B2 -i C-1 2i D-1 -2i-1 3i _变式4:已知i是虚数单位；复数1 +2i ()(A)1 +i (B)5 +5i (C)-5-5i(D)-1-ii3 i 1 二变式5：已知i是虚数单位；则i-1()(A) -1 (B)1(C)-i (D) i变式6:已知 _ =2+i,则复数z=() a, b w r(A)

7、-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i变式7: i是虚数单位；若 _ ;则乘积a, bWR的值是 a, b R(A) 15(B) -3(C) 3(D) 15真题实战：1. ( 2005)若(a -2i)i =bi ；其中 a、bC R; i 是虚数单位；贝U a2 +b2=()A. 0B. 25C. 2D. 52. ( 2005)已知向量 a =(2,3),b =(x，6)，且20则 x=.3. (2007)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位；b是实数)；则b=11A. -2 B .2 C.2 D . 24. ( 2008)已知0<a <2 ；复数z =

8、a+i( i是虚数单位)；则1z|的取值 范围是( )A. (1,5)B (1,3)C (1,洞D (1,两n5. (2009)下列n的取值中；使i =1(i是虚数单位)的是A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=56. (2011)设复数z满足iz=1 ;其中i为虚数单位；则A. -iB. iC. -1D. 17. (2012)设i为虚数单位；则复数=()a, b 二 RA.3 B.1 C.-5 D.-68. (2013)若 i(x + yi)=3+4i ； x,yWR；则复数 x + yi 的模是A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、例题分析类型一：复数的有关概念及复数的几

9、何意义22【例1】当实数m为何值时；z = lg(m -2m-2) (m 3m 2)i(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内。14 / 12类型二：复数相等【例 2】已知集合 M =上+3)+92-1儿8；集合 N=3i，(a2-1) + (b + 2)i同时满足Min匚M,M nN #；求整数a，b的值。2【例3】已知x，y为共轲复数；且（x + y） 3xyi =4 6i ；求x，y。练习：已知复数z的共轲复数为Z；且满足z z + 2iz = 9 + 2i ；求z。类型三：复数的代数运算一 一 4(2_2i) _【例4】计算：(1 )(1一百i)5 ；1 +

10、i : 4G +而 11-373-6.-2.3 i 2(2)1十2百g201222012(4) 1 +i +i +|+i类型四：复数加减法的几何意义【例5】如图；平行四边形OABC；顶点O，A，C分别表示°，3 + 2i，-2+4i ；试求:T T(1)AO、BC表示的复数;(2)对角线CA所表示的复数。练习：若z为复数；且z =1;求z i的最大值。类型五：复数综合【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数z。1 < z 10 < 6(1)z2) z的实部和虚部都是整数。练习：已知虚数z使得z1 =z1 z2一 z2和 1+z都为实数；求z。巩固提高i i3i5 i33B

11、 -iz2、当1 -io ,100W2 时；z50.z +1的值是3、4、B -1(-1.3i)3(1 i)6-2 i1 2iC -1a bia、c、若c+di为实数；则(A)bc ad 井0(B) bc - ad U0(C)bc -ad =0(D) bc ad = 01-i一2 (1-i)2(A) i(B) -i(C) 1(D) -16、7、1 -i)2005A.9 20052 2005对于1001 iz 二22001-i, 2卜列结论成立的是z是零3 - ,3i第一象限9、设非零复数1989z是纯虚数=z (2 3i)2x, y 满足 x + xy + yz是正实数么复数zz是负实数平面内

12、对应的点位于第四象限199019901011、复数z在复平面内对应的点为A;移一个单位;向下平移一个单位；得到点12x1x + y)的值是则 |z|Ji将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转2 ；再向左平B;此时点B与点A恰好关于坐标原点对称；则4 =1+i, z2 =x+2i(x R),若z1z2 为实数)A. -2 B . - 1 C . 113、若复数z满足方程z j =i -1 ；则z =14、设复数z1 =2 -i,z2 =1 3i则复数z15的虚部等于15、已知f (x) =x5 +5x4 10x3 +10x2 5x +1 求 f(1 +僚i)的值16、已知复数z0 =3+2i ；复数z

13、满足z z0 =3z + z0；则复数z =1，二一一- i n17、知 22;求使(Y：i )匚N *的最小正整数n =.一一八 3024-2V3 +i V21 (4 -8i)2 _(H+8i)2+ +-19、设 z1 =入 + i ；18、计算：-2向Ui)«一"n _ ,n4 1 T ；试求满足z1 一马的最小正整m，n的值。20、是否存在复数 z ；使其满足z,z + 2iz=3+ai (a' R)；如果存在；求出 z的值；如果不存在；说明理由21、设等比数列Zi,Z2,Z3Zn"'其中 zi =1,z2 =a+bi,Z3 =b + ai(a,bw R .且a 0)(1)求a，b的值； 试求使z1 +Z2