概率论重要公式大全必看

1、概率论与数理统计公式(全)2011-1-1第1章随机事件及其概率(1)排列 组合公式Cn - m!m n!(m n)!(2)事件 的关系与 运算关系：1 . Au B , Bn A ,则 A=B2 .A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+B。3 .A-B,也可表示为 A-AB或者AB ,表示A发生而B不发生的事件。4 . A B同时发生：A B,或者AR A B=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互小相容的。运算：a3b=aCb, a1b = aUb(3)古典 概型1c = %142辐,_12P仰 1)=P(6 2)=P(M)=一。n设任T件A

2、,它是由61声26m组成的，则有P(A) = %)i)U(82)UU(sm) = P(6i)+ P(S2) + +P(sm)_ m _A所包含的基本事件数一 n 一基本事件总数(4)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P(A) = "L空。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L(C)(5)加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(6)减法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B

3、二 A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当人=时，P( B )=1- P(B)(7)条件 概率事件A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为P(B/A)=目也。_P(A)p( Q /B)=1 = p( b /A)=1-P(B/A)(8)乘法 公式P(AB) =P(A)P(B/A)P(AiA2 An) =P(Ai)P(A2| Ai)P(A3| A1A2)P(An| AiA2 . An -1)o(9)独立两个事件的独立性性设事件A、B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。P(AB) P(A)P(B)P(B | A). =P(B)若事件A、B相互独立，则P(A)P(A)

4、若事件A、B相互独立，则 其与B、A与B、3与B也都相互独立。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),那么 A B C 相互独立。(10)全概 公式P(A) = P(B1)P(A| B1)+ P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(A| Bn)。(11)贝叶 斯公式P(Bi)P(A/Bi)P(Bi / A) = n ' 八,i=1 , 2,no工 P(Bj)P(A/Bj) j(12)贝努 禾概型每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，

5、即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互/、影响的。八、- k k n-k_Pn(k) =CnP q , k =0,1,2,，n。第二章随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量 X的可能取值为 X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为P(X=Xk尸pk, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X. X1,X2, ,xk,kid|£ pk=1P(X =xk) p1, p2,，pk,。其中 kT(2)连续 型随机变 量的分布 密度X设F(x)是随机变量X的分布函数，F(X) = Uf(

6、x)dx, 上 八. f f(x)dx = 1f (x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。占 ' 。(3)分布 函数F(x) = P(XWx), P(a <X Mb) = F(b) - F(a)分布函数具有如下性质：1 °0 < F (x) <1,g<x<+2;2 F(由)= lim F(x) = 0,F(+oc)= lim F(x)=1;xWx-bCx离散型随机变量，F(x) = 2 pk ;对于连续型随机变量，F(x)=f(x)dx 。xk <-Od二项分布在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为p。P(X =k)= Pn

7、(k) =C：pkqn* , k=1,n, X B(n, p)一，一，k 1 k_ .当 n =1 时，P(X = k) = p q , k = 0.1 ,为(0-1 )分布泊松分布-kP(X =k) =±e4，九0, k = 0,1,2，则称随机变量 X服 k!从参数为人的泊松分布，记为 X n (九)或者P(AJ ,泊松分布为二项分布的极限分布(np=X , n8)。超几何分布D/Y 八 CM C此 k=0,1,2lP(X =k) =n,CNl = min(M ,n)均匀分布密度函数 XU(a, b) o1a< x< bf(X)=<b-a'其他a分布函数

8、为0,x<a,x -axb b-a,a“bF(x) = J (x)dx =1,x>b。当awxsxzWb时，X落在区间(x1,x2)内的概率为 _x2 -x1P(Xi <X <x2) - 21 ob - a指数分布e、良*,x > 0f (x) =J1 0,x<°其中九a0,则称随机变量 X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为1-eix>0F(x)=j o,L,x<0。记住积分公式：bo xnedx = n!02|_k_2正态分布1 Jxz密度函数为 f (x) = -=- e 2。，8<x<+9,2 J 2gX N(k

9、)o标准正态分布 X N(0,1),其密度函数记为分布函数 (-x) = 1-(x)且(0) =1/2 cX如果 XN (巴。2),则二一N(0,1)。P(x1 <X <x2) =G 2小 |。(6)函数 分布离散型I CT J l 仃 J已知X的分布列为Xx1, x2,，xn,P(X = Y=g(X) Yxi) p1, P2,，pn,，的分布列(5=g(xi)互分相等)如下：g(x1), g(x2)，g(xn),P(Y = yJ 若有某些g(xipL等，喻应将对应让n, pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) =P(g(X) &

10、lt;y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。第三章二维随机变量及其分布1(1)联合 分布离散型P(X,Y) =(Xi,yj) =pj(i, j =1,2,)为亡=(X, Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分工y1y2yjxipnp12p1jx2p21p22p2j-Basxipi1pij布有时也用下面的概率分布表来表示:(1) pj >0 (i,j=1,2,)(2) '、p Pj =1.(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) =PX <x,Y< y称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机

11、变量 X和Y的联合分布函(1) 0 <F(x, y) <1;(2) F (x,y )分别对x和y是非减的，即当 x2” 时,有 F (x2,y) > F(x 1,y);当 y2>y1 时,有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x, y)=F(x 0, y), F(x,y) = F(x,y 0);(4)F - = F (/ y) = F (x, 的)=0, F (+吗 +叼=1.(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为P尸P(X =k)=£pj(i, j=1,2,);Y的边缘分布为P. =P(Y =

12、yj)=£pj(i,j=1,2,)。(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y = yj |X=x)=_L;Pi.在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X =为 |Y = yj)=,，Pd(7)独立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型Pij =PiJ.后零不独立(10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) = P(Z <z) = P(X + Y<z)-bo对于连续型，f z(z) = J f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(口1 + N2,仃；+仃2)。n个相互独立的正态分布的线性

13、组合，仍服从正态分布。N=£ Ci) ,。2=£ Ci2。：Z=max,min(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x),则 Z=max,min(X 1,X2，Xn)的分布函数为：Fmax(x) = Fx1 (x) *Fx2(x)-" Fxn(x)Fmin (x) = 1 1 Fx1 (x)1 -Fx2 (x)1 -Fxn (x)72分布设n个随机变量X1, X 2，X n相互独立，且服从标准止态分布，可以证明它们的平方和2(n),其中72分布满足可加k性：设 Yi 22(ni),则2 =£

14、; Yi ，2(n1 + n2 +nk).iTt分布X N(0,1),Y 度为n的t分布，1-2(n), T -，人，称随机变量t服从自由 «Y / n,己为 Tt(n)。t1奇(n) =to(n)F分布设 X ?2(n1), Y 7 2(n2) , F =' "Y/n2F服从自由度为(n1, n 2)的F分布，记为Ff(n 1, n 2).L ，、1F1 奇(n1，n2 ) 一Fa(n2,n1)第四章随机变量的数字特征(1) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值ne(x)=£ XkPk-boE(X)= Jxf(x)dx必函数的期

15、望Y=g(X)nE(Y)=£ g(Xk)PkY=g(X)-boE(Y)= fg(x)f(x)dx2方芯 D(X)=EX-E(X), 标准差仃(X) = JD(X),D(X)=£ Xk -E(X)2Pkk-be2D(X)= fx-E(X)2f(x)6切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望 E (X)一,方差D (X) =b2,则对于2任意正数£ , P(|X N之町W工Z期望 的性 质(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(£ CjXi)=£ G E(Xi )iTiT(4) E(XY)

16、=E(X) E(Y)，充分条件：X和 Y独立；(3) 方差 的性 质(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和 Y 独立；D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。(4) 常见 分布 的期 望和期望力差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 - p)二项分布B(n, p)npnp(1 - p)力差

17、泊松分布P(九)九九均匀分布U (a,b)a +b2(b-a)212指数分布e(K)1T1TyA正态分布N (也仃2)r2 CJ二维 随机 变量 的数 字特 征期望nE(X)=£ XiPi. i =1nE(Y)=£ yjPj jm-boE(X)= Jxfx (x)dx-boE(Y)= JyfY(y)dy6函数的期望EG(X,Y) = Z 2 G(Xi,yj)pj协力差 xy或 cov(X,Y),相关系数PXY= ,cXYr, | P|=1时，称X与丫完全相关JD(X)JD(Y)X, y 不相关时, Pxy=°； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y)

18、;D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).(6) 协方 差的 性质(i) cov (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律XT N切比雪 夫大数 定律设随机变量X1, X 相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X) <C(i=1,2,)，则对于任意的正数 £ ,有111n 1n、lim P! -Z Xi E E(Xi) <® =1.Qn 曰n 11)特殊情形：若X1, X2,具有相同的数学期望E (X)二科，则上式成为|111 n、lim P! - Z Xi -卜君=1.f In y)(2)中心极限定 理2Xt N(,) n1独立 同分布 中心极 限定理设随机变量X1, X2,相互独立，