正方形专题-训练40问(上)

1、正方形内套45专题训练四十问已知正方形 ABCD, AB=6,点P在对角线BD上，AP交DC于G, PHXDC, PELPA交BC于E, PFXBC,垂足为F点，连结EG交PF于N,连结AN交 PE于M, EKLBD于K,连结AE交BD于Q点。AD第一问 求证： PAE是等腰直角三角形；方法一：在四边形 ABEP中，/ ABE=/APE=90° ,即Z ABE+Z APE=180 ,由此可知 A、B、E、P四点共圆.故/ AEP=/ABD=45 ,所以 PAE是等腰直角三角形方法二：根据对称性知 AP=CP, /PAB=/PCB.在四边形 ABEP 中，/ABE=/APE=90 ,即

2、/ PAB+/PEB=180又/ PEB+/PEC=180 ,所以/ PAB=/PEC,故/PEC=/PCB, PE=PC, AP =PE .又/APE=90° ,所以 PAE是等腰直角三角形。IBFP为正方形.方法三：过P做PI垂直AB,垂足为I,易知四边形由/ APE=/IPF=90 可得 /API=/EPF.又 PI=PF,故 RtAAIPRtAEFP,从而 AP=EP.所以 PAE是等腰直角三角形第二问 求证：EF=FC;简证：由第一问方法二可知EP=CP.又 PF± BC,故 EF=FC ( “三线合一”)。第三问 求证：PB-PD=V2BE;简证：PB=V2BF

3、, PD=V2PH=V2FC=EF, 故 PB-PD=V2 (BF-EF) =j5be。第四问 求证：EG=EB+DG ;简证：由第一问可知/ EAP=45 ,即/ BAE+/ GAD=45 ° .在CB的延长线上取一点 G',使BG'=DG.易知 RtAABG 二 RtzADG,即/G'AB=/GAD, AG'=AG.所以/ G'AE=/G'AB+/BAE=/GAD+/BAE=45 .在AGKE和4GAE中，AG'=AG, / G'AE=/GAE=45 ,AE=AE 即G'AE二zGAE, 从而 EG=EG&#

4、39;=EB+BG'=EB+DG。第五问 求证：BC+BE=V2bP;简证：由第二问可知 EF=FC,故 BC+BE=2BF.又 BP=V2BF,即 V2BP=2BF,所以 BC+BE=BP第六问 求证：GA平分/DGE;简证：由第四问可知 / AG ' E= / AGE= / AGD,故GA平分/ DGE。第七问 求证：A到EG的距离为定值；方法一：过点A作EG的垂线，垂足为N .由第六问可知 GA平分/DGE,即/AGN' = /AGD,故RtAAGN'二RtzAGD,所以AN ' =AD=6 ,即A到EG的距离为6 （定值）方法二：令A到EG的距离

5、为h, BE=x, DG=y.由等面积法，得11166-6x-6y - 6 x222由勾股定理，得6 x26 y ,即 36 xy 6 x y .6为定值。第八问 求证：zEFN的周长为定值;简证：由第二问可知F为EC的中点，所以C 由第四问可知 EG=BE+DG ,故 Cecg eg EC GC (BE EC) (DG GC) 12,所以Cefg 6。第九问 求证：FH=AP ;简证：由第一问可知 AP=CP.又四边形PFCG为矩形，所以FH=CP,故FH=AP。第十问 求证：/ BAE= /BPE;简证：由第一问可知 /QEP=45° ,又/ABQ=45° ,在AAQB

6、 和 APOE 中，/AQB=/PQE, / QEP/ ABQ=45 ,所以/ BAE=/ BPE。第H一问求证：/APB之AEG简证：同理第十问，得/APBhAEB.由第四问，可知/AEBh AEG故/ APBNAEG第十二问求证：/ DGE=2 AQD简证：同理(10)，得 /AQDNAGD.又由(6)可知 /DGE=2AGD.故/ DGE=2 AQD第十三问求证：pQ=bQ+p6；简证：将ABQ& AQB折，点B的对应点为B',并连接AB、PB .,/ BAQ廿 DAP=45 ,/ BAQN B' AQ / B' AQ吆 B' AP=45即/ B&

7、#39; AP=Z DAP.又 AB =AB=AD：A B' AE DAP.从而/AB'P=/ ADP=45 , PD=PB又/AP Q=/ ABQ=45 , BQ=QB.所以，/ QB P=90 ,pQ=qb 2+pP 2=bQ+pD。第十四问求证：ABj'EPK方法一：连接AQ易知Ad BR交点为O./ PAO+ APO=90 , / EPK吆 APO=90 .故/ PAOMEPK.由第一问可知，AP=PE即 RtA PAO2 RtAEPK,得 PK=AO.易知 AB= 2 AO,所以 AB= 2 PK.方法二：KP=BD-(BK+PD)=BD-( 彳 BE+ 2P

8、H)=BD-(二 BE+ 2 EC) 22=BD-沫(BE+EC)2=BD- BC_ 2 _=.2 AB- 2 AB=2 AB,故 ABjEPK 2第十五问若BE=2,求PF;简解：由BE=2 BC=6得EF=FC=2 PF=4,所以，PF=BF=4第十六问若/ EPF=22.5° ,求PF;简解：因为/ EPF=22.5 ,所以/ PEF=67.5易知 / PAB之 PEF,故/ PAB=67.5 .又/ ABP=45 ,故/ APB=67.5 .所以，BP=AB=6. 2、2又 BP=2PF,从而，PF=y BP=y 6=3。第十七问若PEC等边三角形，求PD的长;简解：因为 P

9、E泌等边三角形，所以/ PCH=30 .令 PH=x 则 HC=3x, PD=2x,DH=6 黎x.又 PH=DH 所以 x=6 J3x,即 x=3<13 1 .故 PD=2x 3G/6 显)。第十八问若S；AAB=6,求S ECG；简解：因为 SLabe=6, AB=6,所以 BE=2,EC=4.由第四问可知 EG=EB+DG.令 DG=x 彳导 EG=2+x GC=6-x,在RtAECGJ,根据勾股定理，得(2+x) 2=42+ (6-x) 2,即 x=3.所以，DG=3 GC=6-x=3.故 S ec(= EC GC 4 3 6 O 22第十九问若ANL EG,求PR简解：由 ANL EG,易知 EG/ BD,ANL BD,/ EAB=z EANh GAN= GAD=22.