课件：第11章_计数原理―排列与组合

1、一课资料网 排列与排列数组合与组合数定义L排列：一般地，从口个不同元素中取 tkm(m<n)个元素, 按照一定居顺序排成一列 叫做从口个 列.特别地，当n个n时，叫做n个不同元素 的一个全排列.2.排列数：从11个不同元素中取出 m (m < n)小元素的所有不同有利的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数1 .组合：一般地，从n个 不同元素中吧出 个元素合成一姐.叫 做从n个不同元素中取 出m个元素的一木组合.2 .组合数：从n个不同 元素中取出m(tn£n)个不 同元亲所有不同组 合的不敷,叫做从n个 不同元素中取出m个元 素的组合数.表示法A：组合数C：公式

2、排列数公式* - n(n-1 )(n-2).(n*m-k1 J r n _ :组合数公式：=兰=n(n 1 Nn 2)(n -m +1)nl或 A g(n - m)!m!或 c mi(n-m)E性质AJJ=n!；0!=1皿 _in1 H _ L|C： = lc，y y备注n,mE N*且mqn描国治城考点一有关排列.蛆合的计算解方程：3A>2A+1 + 6A;计算：c#+o【分析】利用排列数和组合数公式进行解答.考点二排列问题有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列 的种数.(1 )选其中5人排成一行；(2)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置；(3)全体舞成一行，其

3、中甲、乙必须在两头；(4)全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；(5)全体排成一行，其中男、女生各站在一起；(6)全体排成一行，其中男生*女生都各不相邻；(7)全体排成一行，其中男生不能排在T;(8)全体排成一行，其中甲.乙、丙按自左至右的顺序保 持不变.(9)全体排装一行，甲、乙两人间恰有3人；(10)全体排成前后两排，前排3人，后排4人.I分析】本题包括了有限制条件的排列问题的 几种基本类型，注意在处理这类问题时一艘应遵循： "先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或 特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于兴必相 邻”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻” 元素常采用

4、插空法”的技巧，此外“正难则反”是 处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正 确的重要手段.【解析】C )由排列的定义可知不同排列的种数为A；=2 520.(2)首先在中间或两头之一排甲，共有A；种方法； 其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有A#+ 方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为A&J 6=2 160.(3)份(2)先排甲，乙共A；种排法，其余5人尚 有A；种排法，故共有A；A； =24。种不同排法.(4)当乙排在首位时，共有A：种排法;当乙不在首位 时，先排乙有A：种方法，再排甲也有A1种方法，最后其 余各元素有A：种方法，我共有a!a；a：种不同排法

5、.，所有不同的排列种数为A：+A；A：A； =3 720.返回目录(5)将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有 A；种，又男生的排列有A：种，女生的排列有A：种,由分 步展法计数原理，所有不同的排列数为A；A；A：=288.(6)先排男生有A：种排法，此三人中间及两端恰 有4空供女生排列，有A：种排法，从而共有Aj A：=144不 同的排列.(7)从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可， 故所求不同排列数为=4 320.(8)只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列， 再将3名男生按顺序插入，共有A； =840种不同排法.(9)先选3人排在甲、乙之间，有A；种排法，又 因甲、乙排列有A缈，

6、再将此5人看作一本元素与其余 2人进行全排列有A；种，故共有A；A；A； =720种不同 排法.一(10)前后二排形式变化，顺序之实犹存？其排法 仍有A；种.【评析】本题主要考查解排列.组合的一些基本方法.返回目录漳对应演练*给定数字0,123,5,9,每个数字最多用一次.(1 )可以组成多少个四位数？(2)可以组成多少个四位奇数？(3)可以组成多少个四位偶数？(1)解法一：从"位置"考虑，由于0不能放在首位，因 此首位数字只能有A拊取法，其余3个数位可以从余下的5 个数字中任取3个排列，所以可以组成：A；=300 (个) 四位数.解法二：从。元素”考虑，组成的四位数可以按

7、有无数字0 分成两类，有数字0的有A；A：个，无数字0的有a；个， 所以共组成 A；A； +A； =300 (个)四位数.解法三：间接法，从6个元素中取出4个元素的所有 排列中，减去0在首位上的排列数即为所求.所以共有A2 A：=300 (个)四位数.(2)从*位置R考虑，个位数字必须是奇数有 排法，首位数字不能是口，则在余下的4个非0数字中取1个 有A：种取法，其余两个数位的排法是A；,所以共有A：=192 (个)四住奇数,(3)'解工一：间接法，由(1), (2)知共有300 192=108 (个)四位偶数.解法二：从“位置*考虑，按个位数字是否为0分成 两种情况，0在个位时有 A

8、：A；个四位偶数，2在个位时， 有A：A；A；个四位偶虬 共有A：A： +A；A；A：=108 (个)四位偶数.返回目录考点三蛆合问题7名男生和5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种？必须当选；(2)A,B必不当选；(3)A,B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种 不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女 生担任.【分析】 属于组合问题，可用直接法,(4)属于组合问 题，可用间接法，属于先选后排问题，应分步完成.【解析】(1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中 选取3人即可3 C：0 =120种.(2)从

9、陵去A,B两人的10人中选5人即可，有c；。=252种(3)全部选法有C：2种,A,B全当选有C禽种，故A,B不全当选有Co=672种.(4)注意到"至少有2名女生”的反面是只有一名女生 或没有女生，故可用间接法进行.J有C：j C" C)C；=596种选法.返回目录(5)分三步进行：第一步:选1男1女分别担任两个型务为第二步:选2男1女补足5人有C： C：种；第三步:为这3人安排工作有由分步乘法计数原理共有C%C；. CC.A； =12 600种选法.返回目录学习资料下载网站一课资料网 【评析】在解组合问题时,常遇到至多、至少问 题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量.如

10、果同 一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则.返回目录劝史为缥*设集合A=(1,2,3,10.(1)设A的3个元素的子集的个数为n,求口的值；(2)设A的3个元素的子集中,3个元素的和分别为c日不一.门, +2+33+ .+右门.(1)A的3元素子集的个数为n=C；此=120.(2)在A的3元素子集中，含数k(1Wk£10)的集合个数有因此ai+a/i"+a/ Cj = (1+2+3+10)=1 980.返回目录考点旧 排列组合的综合应用从6名短跑运动员中选出4个人参加4 x 100m的接力 赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共 有多少种参赛方案？【分析】此

11、翘是有限制条件的排列，组合问题， 可从以下三点进行考虑：(1 )先考虑特殊元素或先考虑特殊住置；(2)直接解法和间接解法；(3)注意重复与遗漏.返回目录【解析】解法一(直接法)：把问题分为三类，甲、 乙两人均不参赛，参褰方案种数为A：;甲、乙两人有且 只有一人参赛，参赛方案种数为C；C； (4!-3!);甲. 乙两人均参蹇，参蹇方案种数为C，(4! -2 x3!+2!) .因 此，所求的参赛方案种数为A：+C；C： (4!3! ) -2x3! ±2! ) =252.解法二(间接法)：6人中取4人参赛的种数为A：； 去除甲、乙两人至少有1人排在不恰当的位置种数 为C；A；因为前面把甲“

12、乙两人都排在不恰当的位置种 数减去了两次，因此应加上甲、乙两人都排在不恰当位置 的种数为A：.因此，所求的参赛种数为A：C；A/ A：= 252.”【评析】对于较复杂的排列，组合综合题，往往 还要根据受限元素或受限位置进行分类或分步处理， 但必须层次清楚，不重不漏，也可以先不考虑受限条 件，然后扣除不符合条件的种数.返回目录2流射*带有编号123,4,5的五个球.(1 )全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里,每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒.各有多少种不同的放法？(1 )由分步乘法计数原理，五个球全部投入4个不 同的盒子里共有牛种放法.(2)由排列数公式，产个不同的球放进不同的4个 盒子里(每盒一个)共有A5种放法.(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C；C： =20种放法.(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有 C；A：种不同的放法.返回目录J1 .对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题 思想方法：(1)有转殊元素或特殊位理的排列r通常是先排 将珠元素城希珠位置，(2)元素必须相邻的排列，可以先将相邻的无素 看作是一个要体.(3)尢素不相邻的排列，可以制造空档抽