用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

1、用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化1 . 曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以

2、直接代入公式pcosO =x, psin 8 =y, p 2=x2+y2,但有时需要作适当的变化，如将式 子的两边同时平方，两边同时乘以 p等.2 .直角坐标(x, y)化为极坐标(p , 8)的步骤：(1)运用 p = , tan 0 =(x#0);(2)在0 , 2兀)内由tan 6 =(x?0)求8时，由直角坐标的符号特征判断点 所在的象限(即8的终边位置).解题时必须注意： 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可. 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定p >0, 0W 8 <2兀，使得平面上的点与它的极坐

3、标之间是一一对应的，但仍然不包括极点 .进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：I.注意p, e的取值范围及其影响.n .重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.例如、(2015年全国卷)在直角坐标系xOy中。直线Ci： x 2,圆C2：x 12 y 22 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(I)求Ci, C2的极坐标方程；(II )若直线C3的极坐标方程为 R ,设C2与C3的交点为M , N,求4VC2MN的面积解：(I)因为x cos ,y sin ,所以C1的极坐标方程为 cos 2, C2的极坐标方程为2 2 cos 4 sin 4 0(n)将 /弋入

4、2 2 cos 4 sin 4 0, 得2 3四4 0,解得i 2衣，2衣，故12 后，即|MN |五由于C2的半径为1 ,所以VC2MN的面积为12二、简单曲线的极坐标方程及应用1 .求曲线的极坐标方程，就是找出动点M的坐标p与0之间的关系，然后列 出方程f( p , 0尸0,再化简并检验特殊点.2 .极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解三角形.3 .极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解，然后再转化为极坐标方程， 注意方程的等价性例如、(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C: x tcos (t为参 y tsin数，t ?0),其中0W a兀，在以。为极点，X轴正半轴

5、为极轴的极坐标系中，曲线 G： 2sin , C：273cos 。(1)求C与G交点的直角坐标；(2)若C与G相交于点A, C与G相交于点B,求|AB|的最大值。解：(I)曲线C2的直角坐标方程为X2 y2 2y 0,曲线C3的直角坐标方程为 x2 y2 2、3x 0.22-C X心联立2 2 2 ya解得，或 2 'x y 2、.3x 0 y 0，3y 2.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(。,3)(H)曲线Ci的极坐标方程为(R, 0),其中0因此A的极坐标为(2sin , ), B的极坐标为(2&C0S ,)所以 |AB|2sin 2、.3cos | 4|sin

6、( -)|当 ，时，|AB|取得最大值，最大值为4三、简单参数方程及应用1 .将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参，消参过程注意两点：准确把握参数形式之间的关系；注意参数取值范围对曲线形状的影响.2 .已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同 的参数方程.3 . 一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用 参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过 程简单明了.22例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线 C： 上上1,49直线l： x 2 t （t为参数）.y 2 2t（I）写出曲线C的参数方程，直线l的

7、普通方程；（H）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A,求|PA| 的最大值与最小值.解：（I）曲线C的参数方程为x 2cos , （为参数）y 3sin ,直线l的普通方程为2x y 6 0（H）曲线C上任意一点P（2cos ,3sin及打的距离为、一514cos3sin6|则1PAi品 竽15sm） 61，其中为锐角，且tan g当阿）1时，1PAi取得最小值，最小值为学四、参数方程与极坐标方程的综合应用第一步：消去参数，将曲线C1的参数方程化为普通方程第二步：将曲线C1的普通方程化为极坐标方程第三步：将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；第四步：将曲线C1与曲线C2的直

8、角坐标方程联立，求得交点的直角坐标第五步：把交点的直角坐标化为极坐标.x 2+t, y kt,(t为参数)，直线l 2的参数方程为2 m,m(m为参数).设l i与l 2的交点为k ,P,例如、(2017年全国卷)在直角坐标系xOy中，直线li的参数方程为当k变化时，P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 A: p (cos6 +sin。)？强=0, M为l3与C的交点，求 M的极径.解：将参数方程转化为一般方程li：y k x 2l2：y 7 x 2 k消k可得：x2 y2 4即P的轨迹方程为x2 y2 4 ;将参数方程转化为一般方程

9、13：x y&0联立曲线C和l3y2 43 22 J2x 解得y, x cos A ,由ysin解得强即M的极半径是3.五、极坐标方程解圆锥曲线问题如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。227 1，点F是其左焦点，在2例如、（20。7重庆理改编）中心在原点。的椭圆36椭圆上任取三个不同点PiHB使/P1FP2/P2FP3Z P3FP1 1200 .FPiFP2L为定值，并求此定值.FP3解：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:设点Pi对应的极角为,则点P2与P3对应的极角分别为1200、92 cos '120

10、6;, P1 > F2与P3的极径就分别是IFPil9、2 cosIFP2I991与IFP3I 2 cos( 120 )2 cos( 120 )FPiFP2iFP32 cos 2 cos(991200) 2 cos(产，而在三角函数的学习中，我们知道因此11FPiFP2FP3I为定值六、参数方程解圆锥曲线问题1 .参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范2 .消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。2例如、(2016年天津卷)设椭圆二a2卜4的右焦点为F,右顶点为A.已知11 3eOF0AFA其中。为原点，e为椭圆的离心率.(I )求椭圆的方程;(H)

11、设过点A的直线l与椭圆交于点B (B不在X轴上)，垂直于l的直线与l交于点M ,与y轴交于点H .若BFHFMOA < MAO ,求直线l的斜率的取值范围.解：(I )设 F(c,0)由“3c访1 3c一 i ?，a a(a c)可得 a2 c2 3c2,又a2 c2 b2 3,所以c2 1,因止匕a224,所以椭圆的方程为-4(II)设直线l的斜率为k (k 0)则直线l的方程为y k(x 2).设B(xb»b),22x y由方程组7 T 1 ,消去y ,整理得(4k2y k(x 2)3)x2 16k2x 16k212 0.普，由题意得xb8kp,从而4k 3yB12k4k2 3由(I)知，F(1,0),设 H(0,yH),有 FH ( 14)BF-2_(9 4k _) 由(4k2 3,4k2 3). 由三.因此直线MH2yHBF HF