第1节角与弧度制、三角函数的概念

1、2 / 6§第1节 角与弧度制、三角函数的概念考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制， 能进行弧度与角度的互化， 体会引入弧度制的必要性； 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.I知识百祀佰验I回比教小务实这础知识梳理1 .角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形、来按旋转方向不同分为正角、负角、零角.分类:按终边位置不同分为象限角和轴线角 .(3)终边相同的角：所有与角“终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 S=2 .弧度制的定义和公式(1)定义：犯,长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作

2、rad.(2)公式角a的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形面积公式3 .任意角的三角函数(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y),那么sin a=, cos a=, tan a(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1, 0).如图中有向线段 MP, OM, AT分别叫做角a的、和第四象限角：口1叫旧等湍叮+2而/£/就限耨集含（一兀I.0, 25则tan介介sin a.2 .角度制与弧度制可利用180 =兀radt行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3

3、 .象限角的集合4 .轴线角的集合学如逆水行舟，不进则退终边落在轴上的用:也I我,A-E£|轴线A的集合终边落俯轴上的如旧诲=9辐终边存在坐标轴匕的用:丘学如逆水行舟，不进则退8 / 6基础自测疑误辨析1 .判断下列结论正误（在括号内打”或“X”）小于90 °的角是锐角.（）（2）锐角是第一象限角，反之亦然 .（）（3）将表的分针拨快 5分钟，则分针转过的角度是 30 .（）（4）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.（）则m的值为（）2 .（必修4P17A1改编）已知角 ”的终边过点 P（8m, 3）,且cos e=i 1a. 一 21B.2c 3D.y3 .（必

4、修4P7A6改编）在 720°0°范围内，所有与角a= 45°终边相同的角3构成的集合为 4 .（2019 衡水*II拟）若 sin 0 cos X0 , taf >0,则角。是（）sin uA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角5 .若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角代（0,兀的弧度数为 .6 .（2019石家庄模拟）已知角a的终边在直线 y= x上，且cos a<0,则tan a=.I考点聚焦突破|霎|雪雪鬟矍沈蟀臻麴睫例求法考点一角的概念及其集合表示【例1】（1）若角a是第二象限角，则2是（）A.第一象限角B

5、.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角（2）终边在直线y=43x上，且在2为 2兀的的角a的集合为 .规律方法1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.7 .若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kTt+ &0W ”<2兀KC Z）的形式，然后再根据a所在的象限予以判断.一、，一 一、一“kk【训练 1】（1）设集合 M=*x|x= 2 180 +45 , kCZ ； N = xx = 180 + 45 , kCZ ；那么（）A.M=N B.M? N C.N?M

6、 D.MAN=?（2）已知角”的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角a用集合可表示考点二弧度制及其应用.典例迁移【例2】（经典母题）已知一扇形的圆心角为 %半彳空为R,弧长为l.若 kJ R= 10 cm,求扇形的面积 3【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角 a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？规律方法1.应用弧度制解决问题的方法：（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决2

7、.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量【训练2】（一题多解）（2019青岛质检）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1弦X矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为察半径等3于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）考点三A.6平方米三角函数的概念B.9平方米C.12平方米D.15平方米【例3】(1)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P sin 3,cosA.一当C 1b. 2C.2D.3,则 sin( + a)

8、=()2(2)若 sinotan a<0,cos a , 一且嬴1<0，则角是(A.第一象限角规律方法1.三角函数定义的应用B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解 xOy中，角a, 3的顶点与坐标原点重合,A, B两点，若点A, B的坐标分别为【训练3】(1)(2019西安一中月考)如图，在平面直角坐标

9、系 始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于4, 3 'j,则 COS( a+ 3)的值为(24A.-257B.-251 ,一(2)满足COS 2的角a的集合为C.024吗思维升华1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|= r 一定是正值.2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养易错防范1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90。的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏

10、终边在坐标轴上的情况§第1节 角与弧度制、三角函数的概念限时训练基础巩固题组（建议用时：35分钟）一、选择题1 .给出下列四个命题：315。是第一象限角.一3421是第二象pm角；4戛第三象限角；一400。是第四象限角；一 其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.42 .下列与94%勺终边相同的角的表达式中正确的是A.2 k tt+ 45 °(k Z)_。 9 ,B.k 360 + 4 兀KC Z)C.k 360 °-315 °(k Z)5兀D.kTt+ (k Z)3.（2019北京朝阳区模拟）已知角a的终边经过点3(赤，Vm)A.271B.27

11、C.9，若a= 9则m的值为（）1D.94.已知点M在角。终边的反向延长线上，且A.(2cos 0, 2sin。B.( 2cos 0, 2sin |OM|=2,则点M的坐标为()C.( 2cos 0, 2sin D.(2cos 0, 2sin 5.设。是第三象限角，且0cos 2=-cos 2,则乳()A.第一象限角6.已知角。的顶点与原点重合，始边与B.第二象限角C.第三象限角x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上,D.第四象限角则 cos 2 0=（）A.-5B 3B.-5C3C.5D.57.（2019潍坊一模）若角a的终边过点八25 A.5D .5B.-tA(2, 1),则 sing兀一

12、a!=()5* 18.已知角a的终边上一点P的坐标为sincos 2fj,则角a的最小正值为（D 11兀5兀 A.-6二、填空题9 .（2019上海徐汇区调研）已知角。的终边经过点 P（4, m）,且sin 0= 3.,则m等于5兀 . 兀 一-.10 .已知扇形的圆心角为面积为鼻，则扇形的弧长等于 631 一11 .（2019许昌倜研）设a是第二象限角，P（x, 4）为其终边上的一点，且 cos a= "x,则tan a=12 .已知角a的终边经过点（3a-9, a + 2）,且cos盛0, sin o>0,则实数a的取值范围是 一 能力提升题组（建议用时：15分钟）而他噬耳中学13 .给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin a= sin 8则a与3的终边相同；若cos长0,则。是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.414.（2018全国I卷）已知角a的顶点为坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1, a）,B(2, b),且 cos 2a= 2,则 |ab|=( 3D.1A，1B."T5515 .函数y=,2sin x 1的定义域为16 .已知