等差数列前n项和性质

1、2.3.2 等差数列的前n项和的性质【学习目标】1 .熟练掌握等差数列前n项和公式，等差数列前n项和的性质以及其与二次函数的关系；2 .在学习等差数列前n项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数 列前n项和公式求其通项公式.【自学园地】1 .等差数列的前n项和的性质：已知数列an是等差数列，0是其前n项和.(1)若 m, n, p, q, k是正整数，且 m + n=p+q=2k,则 am+ an= ap+ aq = 2ak.(2)am, am+k, am+2k, am+3k,仍是等差数列，公差为 kd.(3) Sn,S2n Sn,S3n Szn ,L仍成等差，且公差为 Nd.(4)若

2、项数为2n ,则S奇与S偶中项数相等，且S偶& nd；看淮朔三S禺：(a2 a2n)an 1若项数为2n 1 ,则S奇 S偶(n 1)( d) a2n 1 a2n 1 (n 1)dan ; Sw nan，S禺(n 1他； S2n1(2n 1注；n星 2(q a2n1)nS 号 a2n2) n V(5)两个等差数列an, bn的前n项和Sn, Tn之间的关系为=.(6)若数列an, bn是公差分别为d1, d2的等差数列,则数列pan, an+p,pan+qbn都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为 pd1，d，pd+qd2.3成等差.2 . an为等差数列 其前n项和Sn An

3、2 Bn .3 .若数列an为等差数列4 .等差数列的单调性的应用a° 0(1)当ai 0,d 0时，&有最大值，n是不等式n的正整数解时取得；an 10a° 0 (2)当ai 0,d 0时，&有最大值，n是不等式n的正整数解时取得.an 10(II)当数列中有某项值为0时，n应有两解.Sm Sm 1ami 0.5 .知三求二问题：等差数列数列前 n项和公式中各含有4个元素：Sn,n,a1,an与&,n,a1,d ,已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量.【典例精析】1 .(1)已知等差数列an

4、, aa4a8a12a152,求§5.(2)等差数列an前m项和为30,且前2m项和为100,求其前3m项和.(3)有一个项数为2n 1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.(4)有一个项数为2n 1的等差数列中，若所有的奇数项的和是165,所有偶数项的和是150,则项数n等于(5)等差数列an前12项之和为354,其中奇数项之和与偶数项之和的比为 27:32,求公差d .(6)等差数列an前n项和为Sn,Snm,Smn,(m,n N且m n),求Smn2 .等差数列an和bn的前n项和分别为Sn ,Tn之比为Sn 电/，求肥及包 Tn 2n 3b15bn3 .等差数列an中

5、，Sn为前n项和，a1 13, S3 Si1 ,问此数列前多少项的和最大？4 .在等差数列 an中，a3 12,&2 0 ,&3 0.(1)求公差d的范围；(2)问G,S2,S3,L ,§2中哪个值最大？5 .已知数列an中,a1= 60, an+1=an+3,则 |a1|+|a2|+|a3|+ |a30|等于()6 .等差数列an中，S3 21, S6 24,求数列an|的前n项和为Tn . 1，、一7 .已知正项数列an的前n项和为Sn,且an ,求&ng(n 1)8.已知正项数列an的前n项和为Sn,且anng(n2)求Sn【巩固练习】1 . 一个有11

6、项的的等差数列，奇数项之和是 30,则它的中间项是A.8B.7C.6D.52 .设&是等差数列an的前n项和，若2 L则包 （）S6 3S12A.-B.1C.1D.1103893 .等差数列an的前n项和为Sn,若d=2, S3=12,则26等（）A. 8B. 10C. 12D.144 .下面是关于公差d>0的等差数列an的四个命题：P1：数列an是递增数列；P2：数列nan是递增数列；P3:数列是递增数列；P4:数列an + 3nd是递增数列.其中的真命题为（）A. P1, P2B.P3, P4C. P2, P3D.P1, P45 .已知等差数列an中，a7 + a9=16,

7、Sn=,则为2的值是（）A. 15B.30C. 31D.646 .在递减等差数列an中，若a + a5= 0,则S取最大值时n等于（）A. 2B.3C. 4D.2 或 37 .在等差数列an中，若 a+ a4 + ae+a&+a0= 80,则a7 a8的值为（）A. 4 B.6C. 8D.108 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和是15,偶数项之和为 30,则其公差为（）A.2B.3C.4D.59 .已知等差数列an中，a5|,公差d>0,则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是()A.4 和 5B.5 和 6C.6 和 7D.7 和 810 .已知等差数列an的前n

8、项和Sn满足&= 0, S5=-5.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.11 .等差数列an中,S 21,S6 24,求数列an的前n项和Tn。【课后作业】1 .设Sn为等差数列an的前n项和，S8=4a3, ay=-2,则a9=()A. 6 B.-4C. -2D.22 .在等差数列an中，a9 = a12+6,则数列an的前11项和2尸()A. 24B.48C. 66D.1323 .设数列an是等差数列，其前 n项和为Sn,若a6=2且S5= 30,则S8等于()A. 31B.32C. 33D.344 .设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3, a6=11,则S7等于()A. 13B.35C. 49D.635 .已知等差数列an的前n项和为S,满足a13=S13=13,则a1的值等于.6 .在等差数列an中，a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值， 则d的取值范围为.