随机变量相互独立的定义

1、概率论概率论 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量概率论概率论 两事件两事件 A , B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A , B 独立独立 .设设 X,Y是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 .一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义概率论概率论 )()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是

2、两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 . 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .概率论概率论 ),(yxf其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互独立相互独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性是连续型随机变量，则上述独立性的定义等价于：的定义等价于：这里这里“几乎处处成

3、立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 .)(),(yfxfYX概率论概率论 若若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称 X 和和Y 相互独立相互独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi , yj),有有概率论概率论 二、例1 若，具有联合分布律问问X和和Y是否独立？是否独立？概率论概率论 解解 PX=0,Y=1=1/6=PX=0

4、 PY=1 PX=0,Y=2=1/6=PX=0 PY=2 PX=1,Y=1=2/6=PX=1 PY=1 PX=1,Y=2=2/6=PX=1 PY=2因而，是相互独立的因而，是相互独立的再如第二节的例中随机变量和，由于再如第二节的例中随机变量和，由于D=1,F=0=1/10 D=1PF=0,因而因而F和和D不是相互独立的不是相互独立的概率论概率论 例例2 二维正态随机变量二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为的概率密度为21222112221222122()11( , )exp2(1)21()()()2xf x yxyymrsps srmmmrs ss-=- -+ 问问X和和Y是否独立？是否独

5、立？概率论概率论 ( , )( )( )XYf x yfx fy=解解 由第二节中例由第二节中例5知道知道,其边缘概率密度其边缘概率密度的乘积为的乘积为( ),( )XYfxfy因此因此,如果如果 , 则对于所有则对于所有x ,y 有有0r=2212221212()()11( )( )exp22XYxyfx fymmps sss轾-镲犏=-+睚犏镲 臌概率论概率论 0即即X , Y 相互相互 独立独立 .反之反之,如果如果X , Y 相互独立相互独立,由于由于 都是连续函数都是连续函数,故对于所有的故对于所有的x, y 有有 . 特别特别, 令令 自这一等自这一等式得到式得到 ( , ),(

6、),( )XYf x yfxfy( , )( )( )XYf x yfx fy=12,xymm=2121211,221ps sps sr=-从而从而 .综上所述综上所述,可得以下结论可得以下结论:0r=对于二维随机变量对于二维随机变量(X, Y), X和和Y相互独立的充要条件相互独立的充要条件是参数是参数 .概率论概率论 例例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时, 设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室求他们到达办公室的时间相差不超过

7、的时间相差不超过5分钟分钟(1/12小时小时)的概率的概率. 解解 设设X为负责人到达时间为负责人到达时间,Y为他的秘书为他的秘书到达时间到达时间由假设由假设X, Y的概率密度分别为的概率密度分别为1,812( )40,Xxfx其它概率论概率论 所求为所求为P( |X-Y | 1/12) ,1,79( )20,Yxfy其它1,812,79( , )( )( )80,XYxyf x yfx fy其它由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率记记G=|X-Y | 1/12,概率论概率论 所以所以( ,)Gf x y dxdy1(8G的

8、面积）被积函数为常数，被积函数为常数，直接求面积直接求面积1 6. P( | X-Y| 1/12 ) xy015451060405yx5yx(此图以分钟为单位此图以分钟为单位)概率论概率论 类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.概率论概率论 在

9、某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信求发生两信号互相干扰的概率号互相干扰的概率.概率论概率论 盒内有盒内有 个白球个白球 , 个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例4 两次两次.nm设设1,0,X 第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球1,0,Y 第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求 ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分

10、布律;,XY(2) 判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3) 若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.概率论概率论 YX01 222mnmnnmn jp ip 222mmnmnmn 01m mnn mn n mn m mn ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j ,XY故故 的相互独立的相互独立.概率论概率论 ,X Y(3) 的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示 :YX01jp ip 01nmn mmn 11m mmnmn m

11、mn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 概率论概率论 ,XY故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mP XYmnmn 0,mP Xmn 0.mP Ymn 可见可见 (0,0)00 .P XYP XP Y 概率论概率论 三、多维随机变量的一些概念三、多维随机变量的一些概念12,nx xx12(,)nX XX121122(,),nnnF x xxP Xx XxXx 上面说过，上面说过，n维随机变量维随机变量 的分布函数定义为的分布函数定义为其中其中 为任意实数为任意实数. 11121212,(,),nnnxxxnnF x xxf x x

12、xdx dxdx 如存在非负函数如存在非负函数 ,使对于任意实数使对于任意实数 有有12(,)nfxxx12,nxxx则则 称为称为 的概率密度函数的概率密度函数.12(,)nfxxx12(,)nXXX概率论概率论 1121212121211211,1212,(1),( ), ,( ,), ,.设的 分 布 函 数 F为 已 知 ， 则的 维 边 缘 分 布 函 数 就 随 之 确 定 .例 如关 于 、 关 于的 边 缘 分 布 函数 分 别 为nnnnXX XX XXx xxX XXkk nX XXXX XFxF xFx xF x x 概率论概率论 1121212121211211223,

13、121234121212,()(,),(,)(,).,()()(又若f是的概率密度，则关于、关于的边缘概率密度为若对于所有的有FnnnnXnnXXnnnnXXXnx xxX XXX XXXX Xfxf x xxdx dxdxfx xf x xxdx dxdxx xxx xxfxfxfx 12),.则称是相互独立的nX XX概率论概率论 12121212122122121212121212,)(,),),),).11若对于所有的;有其中依次为随机变量(的分布函数,则称()和(是相互独立的nnnnnnnnnnnnx xx y yyF x xxy yyF x xx F y yyF F FX XXY

14、YYX XX Y YYX XXY YY 概率论概率论 12121212.,)(1,2,)(1,2, ),)(nnijnnX XXY YYX imY jnX XXY YY 我我们们有有以以下下的的定定理理，它它在在数数理理统统计计中中是是很很有有用用的的定定理理 设设( () )和和( (是是相相互互独独立立的的，则则和和相相互互独独立立. .又又若若h h, ,g g 是是连连续续函函数数，则则h h( () )和和g g( (是是相相互互独独立立. .证证明明略略）概率论概率论 四、课堂练习四、课堂练习 1. 设随机变量设随机变量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 1,01,0,yxxfx y 其其它它. .问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立? 2. 证明证明 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量 (X,Y) , X 和和 Y 相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 . 0 概率论概率论 这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念