七年级数学下册培优新帮手专题29归纳与猜想试题新版新人教版

1、29 归纳与猜想阅读与思考当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法.归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径：1.数与式的特征观察.2.几何图形的结构观察.3.通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明.【例 1】下图是飞行棋的

2、一颗骰子，根据图中 A,B,CA,B,C 三种状态所显示的数字，推出”处的数字是.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）(A A)(B B)(Q解题思路：认真观察 A,B,CA,B,C 三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。【例 2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为 1,则第 n 个正方形的面积是(湖北省武汉市竞赛试题)【例 3】如图，平面内有公共端点的六条射线 OAOBOCODOEOFOAOBOCODOEOF 从射线 OAFOAF 始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1,2,3,4

3、,5,6,7,.(1)“17”在射线上.(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律.(3)“2007”在哪条射线上？(贵州省贵阳市中考试题)解题思路：观察发现每条射线上的数除以 6 的余数相同.【例 4】观察按下列规则排成的一列数：1 121231234123451(/)1，2，1，3，2，1，4，3，2，1，5，4，3，2，1，6，(X)解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n=1,2,3,4 时的简单情形，进而作出猜想.2(1)在()中，从左起第 m m 个数记为 F F(n),n),当 F F(n n)=1-时，求 m m 的值和这 m m 个数的积.(2)在()中，未经约分且分母为

4、2 的数记为 c.它后面的一个数记为 d,是否存在这样的两个数 c c 和 d,使 cd=cd=2001000?如果存在，求出 c c 和 d;d;如果不存在，请说明理由.(湖北省竞赛试题)解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为 2 的数在每组中的位置，这是解本例的关键，一，、”，2+3”，、一 2+57【例 5】在 2,3 两个数之间，第一次写上。=5,第二次在 2.5 之间和 5,3 之间分别写上一二=万-5+3和一 2 2=4,=4,如图所不:第。次操作：23第1次操作工253第2次操作：2y543第3次操作；第 k

5、k 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的(1)请写出第 3 次操作后所得到的 9 个数，并求出它们的和.(2)经过 k 次操作后所有的数的和记为 0,第 k+1 次操作后所有数的和记.为S Sk+i,写出 S+1 与&之间的关系式.(3)求&的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：(1)先得出第 3 次操作后所得到的 9 个数，再把它们相加即可.(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数 2 和3 之外，中间的n2 个数均重复计算了 2 次，用&表示出 S+1(3)根据(1),(2)可算出&的值.能力训练1 .有数组(

6、1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),，则第 100 组的三个数之和为(广东省广州市竞赛试题)2 .如图有一长条型链子，其外形由边长为 1cmcm 的正六边形排列而成.其中每个黑色六边形与6 个白色六边形相邻，若链子上有 35 个黑色六.边形，则此链子有个白色六边形.（2013 年“实中杯”数学竞赛试题）3.按一定规律排列的一串数：112312345123，”，一11 1，33W W，5 5，5 5，（山东省竞赛试题）4.给出下列丽列数5,4,6,8,10,，19946,13,20,27,34,，1994则这两列数中，相同的数的个数是（A.J42B.143（浙江省竞赛试题）5 .如图

7、，/AOB=AOB=45,对 OAOA 上到点 O 的距离分别为 1,3,5,7,9,11,的点作 OAOA 的垂线且与 O O 斯目交，得到并标出一组黑色梯形，面积分别为 S,S,S,S,SB,则 So=So=L L6 .一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为 4 部分，设五条直线最多分平面为 n n 部分，则 n n 等于（）C.24D.31（北京市“迎春杯”竞赛试题）7 .观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律.那么 2013 这个数标在（）55777（2013 年浙江省衢江市竞赛试题）8 .自然数按下表的规律排列：求上起第 10 行，左起第 13 列的数.（2）数 127

8、 应在上起第几行，左起第几列.（北京市“迎春杯”竞赛试题）9 .一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1,从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55-问：这串数的前 100 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？（“华罗庚金杯”竞赛试题）A.第 503 个正方形的左下角C.第 504 个正方形的左下角B.第 503 个正方形的右下角D.第 504 个正方形的右下角10 .将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片.，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由.（“五羊杯”竞赛试题）11.下面是按定

9、规律排列的一列数:.11.11第 1 个数：（1+三）；第 2 个数：1111211；323411,2,3第 3 个数：111，14234一，11第n个数：11n122n1那么，在第2n10 个数，第 11 个数，第 12 个数，第 13 个数中，最大的数是哪一个?12.有依次排列的 3 个数：3,9,8.对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3,6,9,-1,8,这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3,3,6,3,9,10,-1,9,8,继续依次操作下去，问：从数串 3,9,8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所

10、有数之和是多少？专题 29 归纳与猜想例 16 提示：5 的对面是 2,4 的对面是 3,1 的对面是 6.-1一111111例2z-y 提不：S1=1,S2=,S3=2,S4=3,进而推出 Sn=2n124228232例 3(1)(1)OEOE(2)(2)射线 OAOA 上数字的排列规律：6n6n5(n5(n 为自然数，下同)；射线 OBOB 上数字的排列规律：6n n4;4;射线 OCOC 上数字的排列规律：6n n3;3;射线 ODOD 上数字的排列规律：6n n2;2;射线 OEOE数字的排列规律：6n n1 1；射线 OFOF 上数字的排列规律：6n.n.(3)在 6 条射线的数字规

11、律中，只有 6n3=2007 有整数解，解围 n=335,故“2007”在射线 OCOC. .112123123412341),(1,2),(11),(1,2),(1，2 2,3),(1,3),(1，2 2, ,三，三，4),(4),(，上，上，- -, ,- -, ,1213214321543252一，)，可知各组数的个数依次为 1,2,3,.当 F(m)=时，m=(1+2+2001)120011+2=2003003,这 2003003 个数的积为.2003001例 5(1)第 3 次操作后所得到的 9 个数为：2,7,5,3,4,3.6263它们的和为 2+11+7+17+5+3+4+3=

12、匡.62632(2)由条件知S0=5,则Sk1=Sk+至 3=上 3=k1k1k1k155,657585145(3)因&.故S4=6S3-=40；S5=7S45=55,S6=-S5-5=.24455662【能力训练】1.10101002.142 提示：若有 n n 个黑色六边形，则白色六边形个数为 4n n+2.故=35 时，4n+2=4X，35=142 个.3.4.B195.76 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为 2,上底分别对 OA 上白 11,5,9,，下底分别对应 OAOA 上白 33,7,11,7,11,. .而上、下底的长度恰好和它在 OAOA 上对应的数值是一样的.以

13、上底为例，1=1,5=1+4X1,9=1+4X2,，故第 10 个梯形的上底对应 OAOA 上的数为 1+4X9=(1)可分组为(99 项中有99=33 个偶数.310 .设至少要画 k k 条直线.k k 条直线最多将圆分成 1+1+2+3+4+k k 块，当 k=9 时，1+1+2+3+9=46,当 k=10 时，1+1+2+3+10=56,故至少要画片分成不小于 50 块.11 .若对前三个先进行计算:最大的数是第 10 个数.37,下底的长正好为 39,于是。= =3739237392=76.=76.6. A7.D 提示：2013+4=5031,故在第 504 个正方形右下角.8.(1

14、)第 1 列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方.第10 行起，左起第213 歹 U,应该是第 13 列的第 10 个数，即131+10=144+10=154.数 127 满足关系式 1.27=112+6=1212+6,即 127 在左起第 12 列,上起第 6 行的位置.9.观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前100 项中, 第 100 项是奇数，前10 条直线，可以将圆纸第 1 个数:1-（1+2-）21八一=0;2第 2 个数:1-（1+3-）21第 3 个数:1-（1+）14212+13C15+一*1按此规律，第 n n 个数：n11（1+）211+-1312nT1T=42n由此可知 n n 越大，第 n n 个数越小，那么在第10 个数，第11 个数，第 12 个数，第 13 个数中,12.一个依次排列的 n n 个数组成一个数串：a1,a2,a3,an.依题设操作方法可得新增的数为：a2“，a3