第6章参数估计2(第1、2节 区间估计)综合讲练

1、概率论与数理统计 第6章 参数估计2 （第3、4节 区间估计） 综合讲练l 要览l 提示理解双侧置信区间的概念熟记未知参数的双侧置信区间的求法（一般步骤）熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间，了解推导熟记双正态总体的（双侧）置信区间，了解推导l 辨析在区间估计理论中, 被广泛接受的一种观点是置信区间, 它由奈曼(Neymann)于1934年提出的.一、双侧置信区间的概念设是总体分布的未知参数，是取自总体的一个样本，其观察值为.1、双侧置信区间与置信度 P159定义1定义1 对于给定的数（ ），若构造两个统计量，使得则称随机区间为未知参数的置信度为的双侧置信区间，称为双侧置信度（ ），又分别称为

2、未知参数的双侧置信下限与双侧置信上限.注: (1) 置信度的含义: 在随机抽样中, 若重复抽样多次, 得到样本的多个样本值, 对应每个样本值都确定了一个置信区间, 每个这样的区间要么包含了的真值, 要么不包含的真值. 根据伯努利大数定理, 当抽样次数充分大时, 这些区间中包含的真值的频率接近于置信度(即概率) , 即在这些区间中包含的真值的区间大约有个,不包含的真值的区间大约有个. 例如, 若令, 重复抽样100次, 则其中大约有95个区间包含的真值, 大约有5个区间不包含的真值.(2)置信区间也是对未知参数的一种估计, 区间的长度意味着误差, 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计.(3)置

3、信度与估计精度是一对矛盾:置信度越大, 置信区间包含的真值的概率就越大, 但置信区间的长度就越大, 对未知参数的估计精度就越差；反之, 对未知参数的估计精度越高, 置信区间的长度就越小, 包含的真值的概率就越低, 置信度越小. 一般准则是: 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度.2、求未知参数的双侧置信区间的方法（一般步骤） 熟记第1步 利用常用统计分布，选取的一个较优的点估计，寻找枢轴量，的分布不依赖于是已知的；（有时，需寻找切比雪夫不等式）；第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）（ ），确定数值与，使 （ 、 ）第3步 利用不等式变

4、形，导出套住未知参数的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）的置信区间，即 或 或 l 注意由第3步，求出的未知参数的置信上限与置信下限分别表示为 样本函数一旦有了样本值，可求出未知参数的置信上限与置信下限的具体取值分别表示为 数值置信区间的端点也随之确定，称区间为置信区间的一个实现，它是一个普通区间，也简称为置信区间.l 复习切比雪夫不等式中心极限定理 P112定理3，P114定理4常用抽样分布表 P137P139定理14一般总体抽样分布的极限分布 P142定理5常用的统计分布的分位数（临界值）表三、单个正态总体的均值和方差的(双侧)置信区间 了解置信区间的推导设是来自正态总体的一个样本，其观察

5、值为 ，总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的观察值1、总体方差已知时，总体均值的(双侧)置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因标准正态分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度等于的置信区间显然 （ ）所以，总体方差已知时，总体均值的置信度为（ ）的置信区间为 2、总体方差未知时，总体均值的(双侧)置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数

6、（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使 事实上 （ 因分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度等于的置信区间显然 （ ）所以，总体方差未知时，总体均值的置信度为（ ）的置信区间为3、总体均值已知时，总体方差的(双侧)置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度等于的置信区间显然 （ ）所以，总体均值已知时，总体方差的置信度为（ ）的置信区间为4、总体均值未知时，总体方差的

7、置信区间(双侧)第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度等于的置信区间显然 （ ）所以，总体均值未知时，总体方差的置信度为（ ）的置信区间为即注：样本方差的观察值l 归纳：单正态总体参数的（双侧）置信区间 熟记注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设是来自总体的一个样本，其观察值为 ，总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的

8、观察值 三、非正态总体的均值的置信区间（双侧） 了解置信区间的推导设是来自总体的一个样本，其观察值为 ，总体 一般分布（非正态总体），其中总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的观察值1、求非正态总体的均值的置信区间（双侧）（1）小样本（ ），总体方差已知时，总体均值的置信区间第1步 寻找枢轴量（切贝谢夫不等式）利用切比雪夫不等式，得即第2步 对于事先给定的置信度大于（ ），确定数值与，使即事实上，令=，则，代入上式有第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度大于的置信区间由于 （ ）所以，小样本（ ），总体方差已知时，总体均值的置信度大于（ ）的置信区间为（2）大样

9、本（ ），总体方差已知时，总体均值的置信区间（双侧）第1步 寻找枢轴量因为 利用中心极限定理P112定理3，P114定理4第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度近似于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因标准正态分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度近似于的置信区间显然 （ ）所以，大样本（ ），总体方差已知时，总体均值的置信度近似于（ ）的置信区间为 （3）大样本（ ），总体方差未知时，总体均值的置信区间（双侧）第1步 寻找枢轴量因为 利用一般总体抽样分布的极限分布P142定理5第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定

10、的置信度近似于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因标准正态分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度为近似于的置信区间显然 （ ）所以，大样本（ ），总体方差未知时，总体均值的置信度近似为（ ）的置信区间为2、求“0-1”分布参数的（双侧）置信区间设大样本（ ），总体（参数为 的“0-1”分布），求总体均值的置信区间（双侧）.第1步 寻找枢轴量因为 利用中心极限定理P112定理3，P114定理4第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度近似于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因标准正态分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数

11、的置信度为近似于的置信区间显然 （ ）其中 所以，大样本（ ），总体（参数为 的“0-1”分布）的总体均值的置信区间（双侧）的置信区间为l 归纳：非正态总体的均值的（双侧）置信区间 熟记注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设是来自总体的一个样本，其观察值为 ，总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的观察值四、双正态总体的均值的（双侧）置信区间 了解置信区间的推导设与是两个相互独立的正态总体，与分别是取自总体与的样本，其观察值分别为与，它们的样本均值与样本方差分别为 （ 其观察值为 ） （ 其观

12、察值为 ） （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ）1、双正态总体，方差比均已知时，均值差的（双侧）置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因标准正态分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度为等于的置信区间显然 所以，双正态总体，方差比均已知时，均值差的置信度等于（ ）（双侧）置信区间为2、双正态总体，方差比均未知，但时，均值差的（双侧）置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14其中，是与的加权平均,

13、 即第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上 （ 因分布是对称分布 ） 第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度等于的置信区间显然 （ ）所以，双正态总体，方差比均未知，但时，均值差的置信度等于（ ）（双侧）置信区间为3、双正态总体，均值均未知时，方差比的置信区间（双侧）第1步 寻找枢轴量因为 利用常用抽样分布表P137P139定理14第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度等于（ ），确定数值与，使事实上第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度为等于的置信区间显然所以，双正态总体，方差比均已知

14、时，均值差的（双侧）置信区间为l 归纳：双正态总体的（双侧）置信区间 熟记注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设与是两个相互独立的正态总体，与分别是取自总体与的样本，其观察值分别为与，它们的样本均值与样本方差分别为 （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ）五、单侧置信区间 了解P162定义2前面讨论的置信区间称为双侧置信区间, 但在有些实际问题中只要考虑选取满足或 的与，对不等式作恒等变形后化为 或 从而得到形如或的置信区间.例如, 对产品设备、电子元件等来说, 我们关心的是

15、平均寿命的置信下限, 而在讨论产品的废品率时, 我们感兴趣的是其置信上限. 于是我们引入单侧置信区间.定义2 设为总体分布的未知参数, 是取自总体的一个样本, 对给定的数, 若存在统计量满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信下限; 若存在统计量满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信上限.类似于双侧置信区间的求法，得1、单正态总体参数的（单侧）置信区间 了解2、双正态总体参数的（单侧）置信区间 了解概率论与数理统计 第6章 参数估计2 （第3、4节 区间估计）一、双侧置信区间的概念1、双侧置信区间与置信度2、求未知参数的双侧置信区间的方法（一般步骤） 二、单个正态

16、总体的均值和方差的(双侧)置信区间三、非正态总体的均值的置信区间（双侧）四、双正态总体的均值的（双侧）置信区间五、单侧置信区间l 提示理解双侧置信区间的概念熟记未知参数的双侧置信区间的求法（一般步骤）熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间，了解推导熟记双正态总体的（双侧）置信区间，了解推导l 辨析一、双侧置信区间的概念设是总体分布的未知参数，是取自总体的一个样本，其观察值为.1、双侧置信区间与置信度 P159定义1定义1 对于给定的数（ ），若构造两个统计量，使得则称随机区间为未知参数的置信度为的双侧置信区间，称为双侧置信度（ ），又分别称为未知参数的双侧置信下限与双侧置信上限.2、求未知参数的

17、双侧置信区间的方法（一般步骤） 熟记第1步 利用常用统计分布，选取的一个较优的点估计，寻找枢轴量，的分布不依赖于是已知的；（有时，需寻找切比雪夫不等式）；第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）（ ），确定数值与，使 （ 、 ）第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）的置信区间，即 或 或 二、单个正态总体的均值和方差的(双侧)置信区间1、求单个正态总体的均值和方差的(双侧)置信区间 了解置信区间的推导l 归纳：单正态总体参数的（双侧）置信区间 熟记注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可

18、靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设是来自总体的一个样本，其观察值为 ，总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的观察值 三、非正态总体的均值的置信区间（双侧） 了解置信区间的推导l 归纳：非正态总体的均值的（双侧）置信区间 了解注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设是来自总体的一个样本，其观察值为 ，总体均值总体方差样本均值，样本均值的观察值样本方差样本方差的观察值四、双正态总体的均值的（双侧）置信区间 了解置信区间的推导l 归纳：双正态总体的（双侧）置信区间 熟记

19、注： 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度 设与是两个相互独立的正态总体，与分别是取自总体与的样本，其观察值分别为与，它们的样本均值与样本方差分别为 （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ） （ 其观察值为 ）六、单侧置信区间 了解P162定义2定义2 设为总体分布的未知参数, 是取自总体的一个样本, 对给定的数, 若存在统计量满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信下限; 若存在统计量满足 则称为的置信度为的单侧置信区间, 称为的单侧置信上限.类似于双侧置信区间的求法，得1、单正态总体参

20、数的（单侧）置信区间 了解2、双正态总体参数的（单侧）置信区间 了解【补例6.2.1】对总体的均值作区间估计，得到置信度为的置信区间，其意指这个区间 【 】 平均含总体的值 平均含样本的值 有的机会含的值 有的机会含样本的值【提示】双侧置信区间的概念：P159定义1设是总体分布的未知参数，是取自总体的一个样本，其观察值为.定义1 对于给定的数（ ），若构造两个统计量，使得则称随机区间为未知参数的置信度为的双侧置信区间，称为双侧置信度（ ），又分别称为未知参数的双侧置信下限与双侧置信上限.【分析】利用定义1，知置信度为的置信区间，其意指这个区间总体参数的置信度为的置信区间的为： ，即，有的机会含

21、的值故选【 】【补例6.2.2】设总体，是取自总体的样本，欲使的的置信区间的长度不超过2，问在以下两种情况下样本容量至少应取多少？（1）；（2）.【提示】置信区间的应用：熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1） 的置信度为置信区间的含义 （） 置信度标志估计的可靠度 的置信度为置信区间的长度 置信区间长度标志估计的精确度【解】由题设知：总体（总体方差已知）问题类型：正态总体，总体方差已知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）知，总体均值的置信度为的置信区间（）为 欲使的的置信区间的长度不超过2，即 置信区间的长度为 解出，样本容量 （）（1

22、）时，样本容量即故，样本容量至少应取为25（由查附表3得， 分位数 ）（2）时，样本容量即故，样本容量至少应取为60（由查附表2得， 分位数 ）l 为了保证可靠度与精确度，通常只有增加样本容量置信度标志估计的可靠度；置信区间长度标志估计的精确度l 本题中欲使的的置信区间的长度不超过2 精确度不变（1） 置信度 样本容量（2）置信度 样本容量可靠度增高 样本容量增大【补例6.2.3】设、为来自总体（总体分布未知）的样本，其观察值为 ，及分别为样本均值及样本方差的观察值，则当样本容量充分大时，总体均值的置信度为的近似置信区间为 【 】 【提示】置信区间的应用：熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间表

23、（教材P171表6-4-1）【分析】问题类型：一般总体，大样本，总体方差未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1），知选【 】【补例6.2.4】设、为来自总体（总体方差未知）的样本，其观察值为 ，及分别为样本均值及样本方差的观察值，则总体均值的置信度为的置信区间为 【 】 【提示】置信区间的应用：熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）【分析】问题类型：正态总体，总体方差未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1），知选【 】【补例6.2.5】设、为来自总体（总体方差已知）的样本，其观察值为 ，及分别为样本均值及样

24、本方差的观察值，则总体均值的置信度为的置信区间为【 】 【提示】利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）【分析】问题类型：正态总体，总体方差已知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1），知选【 】【补例6.2.6】铅的密度测量值服从正态分布，如果测量次，测得，试求：铅的平均密度的置信度为的置信区间.【提示】提示】置信区间的应用：熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）代人数据求出结果【解】设铅的密度为单位，由题设知：总体（总体均值，总体方差均未知）问题类型：正态总体，总体方差未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表

25、（教材P171表6-4-1）知，总体均值的置信度为的置信区间（）为 由题设，取：样本容量置信度， 样本均值的观察值样本标准差的观察值查附表4得，分位数 将上述数据代入式得，铅的平均密度的置信度为的置信区间为【补例6.2.7】从某超市的货架上随机抽得包千克装的食糖，实测其重量分别为（单位：千克）：，从长期实践中知道，该品牌的食糖重量服从正态分布.（1）已知，求的置信度为置信区间；（2）若未知，求的置信度为置信区间；（3）求的置信度为置信区间.【提示】置信区间的应用：熟记单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）代人数据求出结果【解】设食糖重量为（单位：千克），由题设知：总体（

26、1）已知，求的置信度为置信区间问题类型：正态总体，总体方差已知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）知，总体均值的置信度为的置信区间为 由题设，取：样本容量置信度 总体方差总体标准差求出：样本均值的观察值又由，查附表3得， 分位数 将上述数据代入式得，总体均值的置信度为的置信区间为（2）若未知，求的置信度为置信区间问题类型：正态总体，总体方差未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）知，总体均值的置信度为的置信区间为 由题设，取：样本容量置信度， 求出：样本均值的观察值样本标准差的观察值查附表4得，分位数 将上述数据代入式得，的置信度为的

27、置信区间为（3）求的置信度为置信区间问题类型：正态总体，总体均值未知利用单正态总体参数的（双侧）置信区间表（教材P171表6-4-1）知，总体方差的置信度为的置信区间为 由题设，取：样本容量置信度， 求出：样本标准差的观察值 样本方差的观察值 查附表5得，分位数 将上述数据代入式得，的置信度为的置信区间为【6.3 例1】【提示】置信区间的推导：熟记求未知参数的双侧置信区间的方法（一般步骤） 第1步 利用常用统计分布，选取的一个较优的点估计，寻找枢轴量，的分布不依赖于是已知的；（有时，需寻找切比雪夫不等式）；第2步 利用常用的统计分布的分位数（临界值），对于事先给定的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）（ ），确定数值与，使 （ 、 ）第3步 利用不等式变形，导出套住未知参数的置信度为（ 等于、大于、近似于 ）的置信区间，即 或 或 【辨析】总体方差已知时，总体均值的(双侧)置信区间第1步 寻找枢轴量因为 利