等比数列的概念课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1.1等比数列的概念

学习目标1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，并了解等比中项的概念；2.会运用等比数列的通项公式解决简单的等比数列问题；3.理解等比数列与指数函数的关系.1.等差数列:2.等差数列的通项公式:3.等差中项:第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.数学表达式:(n≥2，n∈N*)如果三个数

a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.（2A=a+b）请看以下几个实例中的数列，思考它们有何共同特征？【实例1】两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92,93,‧‧‧,9l0

;①100,1002,1003,‧‧‧,10010

;②5,52,53,‧‧‧,5l0.③知识点1：等比数列的概念【实例2】

《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：概念生成等比数列的概念若三个数a，G，b组成一个等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且根据等比数列的定义，有G2=ab.等比数列2，4，8

中4是2与8的等差中项，42=2×8.

一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列；

其中常数叫做等比数列的公比，用字母q

表示（q≠0）.1.判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比.（1）3，9，15，21，27，33；（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3）4，–8，16，–32，64，–128.练一练

（3）是；q

=–2.2.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.(1)0,1,2,4,8,…(2)2,0,2,0,2,…(3)1,a,a2,a4,a8,…a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列

Beg:0，0，1，2辨析1等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？辨析2常数列是等差数列吗？是等比数列吗？辨析3是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？常数列一定是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0知识点2：等比数列的通项公式问题1：根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.（定义：从第2项起，等比数列的每一项与它的前一项的比都等于常数）.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为：

an=a1·qn–1.例1：若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.典例剖析

∴a5=24或–24.思考：已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an解：由题意得：am=a1·qm–1①，an=a1·qn

–1②；

∴an=am·qn–m.等比数列的通项公式推广：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示；即：an=am

·qn–m1.等比数列通项公式：首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为：

an=a1·qn–1

(n∈N*)2.等比数列的通项公式推广：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示；即：an=am

·qn–m1.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1

和公比q.练一练解：∵a2

是a1与a3的等比中项，∴a22=a1·a3

=36，即a2

=6或–6；

又∵a2+a4=60，∴当q

=3时，a1=2；当q

=–3时，a1

=–2；∴②当a2

=–6时，a4=66，又等比数列中a2，a4符号一致，故此情况舍去；∴①当a2

=6时，a4=54，∴q2=9，即q

=3或–3；

综上，a1

=2，q

=3

或a1

=–2，q

=–3.注意：等比数列问题多解情况时，有时要通过隐含条件取舍.例3：数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.典例剖析

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，–48.知识点3：等比数列与指数函数的关系问题1：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列的通项与哪一类函数有关？

f(x)Ox34512a1(1,a1)(2,a2)(3,a3)(4,a4)(5,a5)

a5a3a2a4任给指数函数f(x)=kax(k，a为常数，a>0且a≠1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，

f(n)=kan，···构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.问题2：类比指数函数的性质，讨论公比不同情况时等比数列的单调性.a1a1>0a1<0q的范围0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1图象等比数列{an}的单调性单调递减不变单调递增单调递增不变单调递减anOxq>1

0<q<1q=1q>10<q<1q=1anOx

问题2：类比指数函数的性质，讨论公比不同情况时等比数列的单调性.a1a1>0a1<0q的范围0<q<1q=1q>1