两类压轴大题解答

1、 两类压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的高考是选拔性的考试，同时又是一场智者的竞争，真正的高考高手是坦然的，他们懂得有舍才有得的真正道理，面对高考大题，特别是压轴题，哪些应该勇于割舍，哪些应努力争取本讲教你四招，让你在考试中尽可能多得分、巧得分如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得

2、出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”典例1(12分)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程解题规范与评分细则(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2| 2，所以a.2分又由已知，c1，所以椭圆C的离心率e.4分(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为.6分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N

3、在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得Z，即.8分将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化简，得x2.9分因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.10分由及k2，可知0x2b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程

4、；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解题规范与评分细则(1)因为e1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，2分从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.4分(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1，0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.5分易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的

5、中点为M，6分故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.7分由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|22.9分设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.11分故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而02m22，故当m0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.12分来源：特别提醒本题有一定难度，要想得到全分很难，这就应该学会缺步解答在第(2

6、)问中，要求四边形APBQ的面积的最小值应表示出其面积，其难度较大，若两次把直线方程和椭圆方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，由根与系数的关系及弦长公式求出PQ长，这是一些学生能够完成的即使剩余的步骤全部放弃，考生也可得9分左右.解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答典例2(12分)设函数fn(x)xnbxc(nN*，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21，1，有|f2(x1)f2(

7、x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性解题规范与评分细则(1)证明：b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在区间内存在唯一零点.4分(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21，1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1，1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：5分当1，即|b|2时，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾.6分当10，即0b2时，Mf2(1)f24恒成立.7分当01，即2b0时，Mf2(1)f24

8、恒成立综上可知，2b2.8分故a的取值范围为2，2(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2)，fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)又由(1)知fn(x)在上是单调递增的，故xnxn1(n2)，所以数列x2，x3，xn，是递增数列.12分法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，则fn1(x)的零点xn1在(xn，1)内，故xn0)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且焦点重合(1)求C1，C2的方程；(2)在椭圆上

9、x轴的两侧取异于短轴端点的两点C，D，若|AC|BD|，求证：C，D关于x轴对称；(3)若过焦点F的直线l与两曲线交于P，M，N，Q四点，是否存在斜率为k的直线l使其满足|PN|2|MQ|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解题规范与评分细则(1)因为C1，C2的焦点重合，所以，中华资源库 又a0，所以a2，因此C1：1，C2：y24x.2分(2)联立C1，C2的方程得解得A，B.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由|AC|BD|得，故xx(x2x1)yy2(y2y1)而yy(xx)，代入上式，得xx(x2x1)8(y2y1)0.(*)5分根据图中点C，D的位置可以得到y1 ，y2 ，

10、代入上式(*)得，xx(x2x1)8()0，xx(x2x1)80，(x1x2)0，由于x1x2的值不恒为零，所以x1x2一定等于零，即x1x2，此时y1y2，因此C(x1，y1)，D(x2，y2)关于x轴对称.8分(3)假设存在斜率为k的直线l使其满足|PN|2|MQ|，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)与y24x联立消去y得k2x2(2k24)xk20，解得|PN|.将yk(x1)与1联立消去y得(34k2)x28k2x4k2120，解得|MQ|.11分若|PN|2|MQ|，则2，解得k.综上可知，存在k满足条件.12分特别提醒本题第(2)问难度较大，但我们可以跳过第(2)问，直接

11、求解第(3)问，这就是所谓的跳步解答，这样虽然没能解出第(2)问，但第(3)问同样可以得到相应的分数对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证典例3(12分)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立解题规范与评分细则(1)f(x)ln x1，1分当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的最小值为f.3分(2)2xln xx2ax3，则a2ln xx.设

12、h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，4分当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增，5分所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即a的取值范围为(，4.7分(3)证明：问题等价于证明xln x(x(0，).8分由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取得.9分设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，且两函数不会同时取得.所以有xln x，11分从而对一切x(0，)，都有ln x成立.12分解答本题第(3)问利用了逆向解答，把不等式ln x巧妙地转化为xln x，不等式左边是

13、f(x)，右边看作一个新的函数m(x)，只需说明f(x)minm(x)max即可对点演练设实数数列an的前n项和Sn满足Sn1an1Sn(nN*)(1)若a1，S2，2a2成等比数列，求S2和a3；(2)求证：对k3有0ak1ak.解题规范与评分细则(1)由题意得S2S2，由S2是等比中项知S20，因此S22.2分由S2a3S3a3S2，解得a3.4分(2)证明：由题设条件有Snan1an1Sn，故Sn1，an11且an1，Sn，从而对k3，有ak.因aak110且a0，由得ak0.7分要证ak，由只要证，即证3a4(aak11)，即(ak12)20，此式明显成立，因此ak(k3).9分最后证

14、ak1ak，若不然ak1ak，又因ak0，故1，即(ak1)20，b10)和椭圆C2：1(a2b20) 均过点 P，且以C1 的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且 |？证明你的结论解题规范与评分细则(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12.从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以1.故b3.2分由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.4分(2)不存在符合题设条件的直线.5分若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有

15、一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.7分若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.9分由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得m22k23，10分因此x1x2y1y20.于是222222，即|2|2，故|.综

16、合可知，不存在符合题设条件的直线.12分在求解第(2)问时可采用退步解答，若不能正确判断其结论也应说明直线是否存在，同时应对直线垂直于x轴时给予说明，这就是所谓的从一般到特殊对点演练如图，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解题规范与评分细则(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|.1分由y1，得y1，3分从而xyx.当x，y时，Smax6.从而t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6

17、.5分(2)设点M(x，y)，由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3，0)，A2(3，0)，知直线AA1的方程为y(x3)，6分直线A2B的方程为y(x3)7分由得y2(x29)9分又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0).11分因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0).12分特别提醒第(2)问要求交点M的轨迹方程，不易求解，考生可以利用图形的对称性设出A、B两点的坐标，再由两点式可写出两直线方程这类根据图形或题意写出一些点的坐标、方程、公式或正确做出图形等的方法，为辅助解答法，像这种情况，阅卷老师一般会酌情给分压轴解答题专项练(一)函数与导数(一)1(20

18、15东城模拟)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点(1)求b的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)设g(x)f(x)，试问过点(2，5)可作多少条直线与曲线yg(x)相切？请说明理由解：(1)x1是f(x)2xln x的一个极值点，f(x)2，f(1)0，即2b10，b3，经检验，适合题意，b3.(2)由f(x)20，得0，x0)，当ke时，h(x)，若0xe，则h(x)0；若xe，则h(x)0.h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故h(x)minh(e)2e，故函数h(x)的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e，)，极小值为2e，无极大值(2)由(1

19、)知h(x)，当k0时，h(x)0对x0恒成立，h(x)是(0，)上的增函数，注意到h(1)0，0x1时，h(x)0不合题意当k0时，若0xk，h(x)0；若xk，h(x)0.h(x)是(0，k)上的减函数，是(k，)上的增函数，故只需h(x)minh(k)ln kk10.令u(x)ln xx1(x0)，u(x)1，当0x1时，u(x)0; 当x1时，u(x)0.u(x)是(0，1)上的增函数，是(1，)上的减函数故u(x)u(1)0当且仅当x1时等号成立当且仅当k1时，h(x)0成立，即k1为所求3(2015包头模拟)已知函数f(x)ex，a，bR，且a0.(1)当a2，b1时，求函数f(x

20、)的极值；(2)设g(x)a(x1)exf(x)，若存在x1，使得g(x)g(x)0成立，求的取值范围解：(1)当a2，b1时，f(x)ex，定义域为(，0)(0，)所以f(x)ex.令f(x)0，得x11，x2，列表X(，1)1(1，0)f(x)00f(x) 极大值 极小值由表知f(x)的极大值是f(1)，f(x)的极小值是f4 .(2)因为g(x)ex，所以g(x)(axa)ex.由g(x)g(x)0，得ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0.存在x1，使g(x)g(x)0成立等价于存在x1，使2ax33ax22bxb0成立因为a0，所以.设u(x)(x1)，则u(x).因

21、为x1时，u(x)0恒成立，所以u(x)在(1，)是增函数，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范围为(1，)4已知f(x)x2axln xaR.(1)若a0，求函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：(1)当a0时，f(x)x2ln x，f(x)2x，f(1)1，又f(1)1，函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy0.(2)函数f(x)在1，2上是减函数，f(

22、x)2xa0在1，2上恒成立令h(x)2x2ax1，由得a，即a的取值范围为.(3)假设存在实数a，使g(x)axln x在(0，e上的最小值是3，g(x)a，当a0时，g(x)0，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，解得a(舍去)当e，即0a时，g(x)0在(0，e上恒成立，g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，解得a(舍去)当0时，令g(x)0，得0x0，得x，g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming1ln a3，解得ae2，满足条件综上所述，存在实数ae2，使g(x)f(x)x2在(0，e上的最小值是3.压轴解答题专项练(二)

23、函数与导数(二)1(2015青岛模拟)已知函数f(x)1ln(a为实数)(1)当a1时，求函数f(x)的图象在点处的切线方程；(2)设函数h(a)3a2a2(其中为常数)，若函数f(x)在区间(0，2)上不存在极值，且存在a满足h(a)，求的取值范围；解：(1)当a1时，f(x)1ln，f(x)，则f422，f12ln 2ln 21，函数f(x)的图象在点处的切线方程为：y(ln 21)2，即2xyln220.(2)f(x)，由f(x)0xa，由于函数f(x)在区间(0，2)上不存在极值，所以a0或a2，由于存在a满足h(a)，所以h(a)max，对于函数h(a)3a2a2，对称轴a，当0或2

24、，即0或时，h(a)maxh2，由h(a)max2，结合0或可得：或；当01，即0时，h(a)maxh(0)0，由h(a)max0，结合0可知：不存在；当12，即时，h(a)maxh(2)68；由h(a)max68，结合可知：.综上可知：的取值范围为.2(2015郑州模拟)已知函数f(x)ln x.(1)若yf(x)在x1处的切线的斜率为，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)0在e2，e2上恰有两个实根，且a恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(x)ln x得f(x)，若yf(x)在x1处的切线的斜率为，f(1)2a1，解得a，即f(x)，(x0)，由f(x)0得x，由f(x)0得0x，

25、即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由f(x)0得ln x0，得ax2ln x，在e2，e2上成立，设g(x)x2ln x，则g(x)2xln xxx(2ln x1)，由g(x)0得2ln x10，解得xe，当xe2，e)时，g(x)0，当x(e，e2，g(x)0，故g(x)在e2，e)上单调递增，在(e，e2上单调递减，故g(x)在e2，e2上的极大值为g(e)，而g(e2)，g(e2)2e4，显然g(e2)g(e2)，故a的取值范围是，令h(a)a，a，则h(a)1，令h(a)0，解得a，则a时，h(a)0，故h(a)在上单调递增，故h(a)的最小值为h，故只需要，即m23m20

26、，解得1m2，即实数m的取值范围是(1，2)3(2015濮阳模拟)已知函数f(x)x2，g(x)eln x.(1)设函数F(x)f(x)g(x)，求F(x)的单调区间；(2)若存在常数k，m，使得f(x)kxm，对xR恒成立，且g(x)kxm，对x(0，)恒成立，则称直线ykxm为函数f(x)与g(x)的“分界线”，试问：f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由解：(1)由于函数f(x)x2，g(x)eln x，因此，F(x)f(x)g(x)x2eln x，则F(x)x，x(0，)，当0x时，F(x)0，F(x)在(0，)上是减函数；当x时，F(

27、x)0，F(x)在(，)上是增函数；因此，函数F(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)(2)由(1)可知，当x时，F(x)取得最小值F()0，则f(x)与g(x)的图象在x处有公共点.假设f(x)与g(x)存在“分界线”，则其必过点.故设其方程为：yk(x)，即ykxk，由f(x)kxk对xR恒成立，则x22kxe2k0对xR恒成立，4k24(2ke)4k28k4e4(k)20成立，因此k，“分界线”的方程为：yx.下面证明g(x)x对x(0，)恒成立，设G(x)eln xx，则G(x)，当0x时，G(x)0，当x时，G(x)0，当x时，G(x)取得最大值0，则g(x)x对x(0

28、，)恒成立，故所求“分界线”的方程为：yx.4(2015沈阳模拟)已知函数f(x)exmex，e为自然对数的底数(1)若f(x)在xln 2处的切线的斜率为1，求实数m的值；(2)当m1时，若正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)a(x3x0)成立试比较ae1与ea1的大小，并说明埋由解：(1)f(x)exmex，由题意得，f(ln 2)21，则m2.(2)当m1时，f(x)exex，设h(x)f(x)ax33ax，则h(x)f(x)3ax23a，当x1时f(x)0，且3ax23a0，h(x)0，即h(x)在1，)上单调递增，存在x01，)，使得f(x0)a(x3x0)，即存在x01，)，

29、使得h(x0)0，h(1)e2a.lnln ae1ln ea1(e1)ln aa1，设m(a)(e1)ln aa1，则m(a)1，a，当a时至多有两个零点，而m(1)m(e)0，且1，当ab0)的离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论解：(1)由短轴长为2，得b，由e，得a24，b22.椭圆C的标准方程为1.(2)结论：以MN为直径的圆过定点F(，0)证明如下：设P(x0，y0)，则Q(x0，

30、y0)，且1，即x2y4，A(2，0)，直线PA方程为：y(x2)，M，直线QA方程为：y(x2)，N，以MN为直径的圆为(x0)(x0)0，即x2y2y0，x42y，x2y2y20，令y0，则x220，解得x.以MN为直径的圆过定点F(，0)4(2015郑州模拟)已知F1(0，1)，F2(0，1)分别为椭圆C1：1(ab0)的上、下焦点，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F1，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|.(1)求抛物线C2及椭圆C1的方程；(2)与圆x2(y1)21相切的直线l：yk(xt)，kt0交椭圆C1于A，B两点，若椭圆C1上存在点P满足，求实数的取值范围解：(1

31、)由于抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F1(0，1)，设抛物线C2的方程为x22py，即1，即有p2，则抛物线方程为x24y；由题意得a2b21，又由抛物线定义可知|MF2|yM1，得yM，所以M，从而|MF1|，由椭圆定义知2a|MF1|MF2|4，得a2，故b2a213，从而椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由知，x1x2x0，y1y2y0，且1，又直线l：yk(xt)，kt0与圆x2(y1)21相切，则有1，由k0，可得k(t1，t0)，又联立消去y得(43k2)x26k2tx3k2t2120，且36k4t24(43k2)(3k2t212)

32、0恒成立，且x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2kt，所以得P，代入式得1，所以2，又将式代入得，2，t0，t1，易知11且13，所以2，所以的取值范围为|22，且0，且压轴解答题专项练(四)解析几何(二)1(2015南昌模拟)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45时，AB的中垂线交y轴于点Q(0，5)(1)求p的值；(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值解：(1)抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，当l的倾斜角为45时，l的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，

33、y2)，由得x22pxp20，x1x22p，y1y2x1x2p3p，得AB中点为D，AB中垂线为yp(xp)，把x0代入得yp5.p2.(2)设l的方程为ykx1，代入x24y得x24kx40，|AB|y1y22k(x1x2)44k24，AB中点为D(2k，2k21)，令MDN2，S2|AB|AB|，D到x轴的距离|DE|2k21，来源：cos ，当k20时cos 取最小值，取得最大值为.故的最大值为.2(2015濮阳模拟)如图，已知椭圆C：y21，A、B是四条直线x2，y1所围成的矩形的两个顶点(1)设P是椭圆C上任意一点，若mn，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求OMN的面积是否为定值，说明理由解：(1)证明：易求A(2，1)，B(2，1)设P(x0，y0)，则y1.由mn，得所以(mn)21，故点Q(m，n)在定圆x2y2上(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则.平方得xx16yy(4x)(4x)，即xx4.因为直线MN的方程为